Eine 2x2-Kontingenztabelle enthält Häufigkeiten der Variablen X1 und Y aus retrospektiven Daten. Ziel ist es, einen Zusammenhang zwischen X1 und Y zu untersuchen. In einer von vier (25 %) Zellen der Kontingenztabelle wird eine Häufigkeit von weniger als 5 erwartet, weshalb der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest nicht anwendbar ist.
Ist der Fisher-Exakt-Test eine valide Alternative, wenn die Daten retrospektiv sind und die Zählwerte von X1 und Y nicht "fest" waren (d. h. X1 und Y waren kein geplantes Experiment, sondern wurden einfach beobachtet und der Test wurde ad hoc durchgeführt)?
Diese Website (und andere) legen nahe, dass der Fisher-Exakt-Test konservativ ist, wenn eine oder beide Variablen im Voraus festgelegt werden: https://www.biostathandbook.com/fishers.html
In Ihrem Fall betragen die p-Werte 0,00000202645594483411 für den Pearson-Chi-Quadrat-Test und 0,000101189787981198 für den Fisher-Exakt-Test. Beide p-Werte sind klein, daher können Sie meiner Meinung nach beide Ergebnisse verwenden (da man üblicherweise nur „p < 0,001“ sagt, wenn der p-Wert kleiner als 0,001 ist).
„Gültig“ bedeutet in der statistischen Testung, dass der Test den Fehler 1. Art stets kontrollieren kann, d. h. die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art muss für den Test immer kleiner oder gleich dem nominalen Alpha-Niveau sein.
Der Pearson-Chi-Quadrat-Test ist ein asymptotischer Test und kontrolliert nicht den Fehler 1. Art. Diese Einschränkung des Chi-Quadrat-Tests wird besonders deutlich, wenn einige erwartete Häufigkeiten klein sind. Die Faustregel, dass einige erwartete Häufigkeiten kleiner als 5 sein müssen, wird auch als „Cochran-Regel“ bezeichnet.
Der Fisher-Exakttest kontrolliert stets den Fehler 1. Art. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist beim Fisher-Exakttest immer kleiner oder gleich dem nominalen Signifikanzniveau (α). Wenn Sie in Ihrer Situation falsch-positive Ergebnisse vermeiden möchten, ist der Fisher-Exakttest möglicherweise eine gute Wahl. Wenn Sie falsch-negative Ergebnisse vermeiden möchten, ist der Pearson-Chi-Quadrat-Test unter Umständen besser geeignet.
Wie Sie bereits sagten, ist der Fisher-Test nicht wirklich „exakt“. Er ist fast immer konservativ (zumindest im Sinne von Neyman-Pearson). Der Fisher-Test ist nur in diesem Sinne „gültig“. Alle „exakten“ Tests und „exakten“ Konfidenzintervalle für diskrete Variablen (ohne Randomisierung zur Aufhebung der Diskretität) sind konservativ. Beispielsweise sind auch exakte Tests und exakte Konfidenzintervalle (auch bekannt als Clopper-Pearson-Konfidenzintervall) für Binomialverteilungen konservativ.
Professor DRCox nannte diese Art der „Korrektur“ „technische Konditionierung“. Obwohl dies unbewusst geschieht, ist die gängigste technische Konditionierung die Regressionsanalyse (wie lineare Regression, logistische Regression usw.). Selbst wenn die X-Variablen in Regressionsmodellen oft Zufallsvariablen sind, werden sie bei der Berechnung von Konfidenzintervallen und Tests üblicherweise „fixiert“. Die Beziehungen innerhalb der X-Variablen sind meist irrelevant. Diese Störfaktoren lassen sich durch „technische Konditionierung“ entfernen.
Werden die Daten zweier Gruppen aus zwei unendlichen, unabhängigen Binomialverteilungen gezogen, legt das Versuchsdesign lediglich die Zeilensummen (z. B. n1 und n2) fest. Sind die beiden Binomialwahrscheinlichkeiten jedoch gleich, kann man sich diesen Prozess so vorstellen, als würde man zunächst n1 + n2 Individuen aus einer unendlichen, unabhängigen Binomialverteilung ziehen und diese erste Stichprobe anschließend in n1 und n2 aufteilen. Diese zweistufige Stichprobenziehung entspricht exakt der einstufigen Stichprobenziehung aus zwei unendlichen Grundgesamtheiten. Zieht man zunächst n1 + n2 Individuen, ist die Anzahl der Ereignisse und Nicht-Ereignisse in dieser ersten Stichprobe festgelegt.
In Ihrem Fall können die Daten als Zufallsstichprobe von 108 Individuen aus einer Multinomialverteilung betrachtet werden, und die Nullhypothese H0 lautet: „p11/p12 = p21/p22“. Nehmen Sie an, dass Ihre unendliche Grundgesamtheit unendlich viele rote und schwarze Kugeln enthält. Ziehen Sie zunächst 108 Kugeln aus dieser unendlichen Grundgesamtheit. Diese erste Stichprobe legt die Spaltensummen (in Ihrem Fall 98 und 10) wie im obigen Binomialfall fest. Teilen Sie diese Stichprobe anschließend in zwei Gruppen auf. Dadurch legen Sie die Zeilensummen (in Ihrem Fall 90 und 18) fest. Diese zweistufige Stichprobenziehung erzeugt dieselbe Verteilung wie die ursprüngliche Stichprobenziehung aus einer Multinomialverteilung.
Beachten Sie, dass der Freiheitsgrad einer 2x2-Tabelle eins beträgt, nicht zwei, drei oder vier. Dies bedeutet, dass der Chi-Quadrat-Test auch die Spalten- und Zeilensummen „fixiert“.
Der Fisher-Exakttest ist jedenfalls immer konservativ. Diese Konservativität wird bei kleineren Stichproben deutlicher. Der Chi-Quadrat-Test ist ein asymptotischer Test. Er zeigt diese „zu konservativen“ Ergebnisse nicht, obwohl er den Fehler 1. Art manchmal nicht vollständig kontrollieren kann.
Beachten Sie außerdem, dass man in diesem Fall keine Aussagen über „kausale Zusammenhänge“ zwischen X1 und Y treffen kann. Die obige Erklärung bezieht sich ausschließlich auf die Berechnung „gültiger“ statistischer Tests.
