Un tableau de contingence 2x2 contient les effectifs des variables X1 et Y issus de données rétrospectives. L'objectif est de tester l'association entre X1 et Y. Un quart (25 %) des cellules du tableau présente un effectif théorique inférieur à 5 ; le test du χ² d'indépendance n'est donc pas valide.
Le test exact de Fisher est-il une approche alternative valable si les données sont rétrospectives et que les comptages X1 et Y n'étaient pas « fixés » (c'est-à-dire que X1 et Y n'étaient pas une expérience conçue ou planifiée, ils ont simplement été observés et le test a été réalisé ad hoc) ?
Ce site web (et d'autres) suggère que le test exact de Fisher est conservateur lorsqu'une ou aucune des variables n'est « fixée » au préalable : https://www.biostathandbook.com/fishers.html
Dans votre cas, les valeurs p sont de 0,00000202645594483411 pour le test du χ² de Pearson et de 0,000101189787981198 pour le test exact de Fisher. Ces deux valeurs p étant faibles, vous pouvez probablement utiliser les deux résultats (car on dit généralement « p < 0,001 » uniquement lorsque la valeur p est inférieure à 0,001).
« Valide » en statistique signifie que le test peut toujours contrôler l'erreur de type I, c'est-à-dire que la probabilité d'erreur de type I pour le test doit toujours être inférieure ou égale au niveau alpha nominal.
Le test du χ² de Pearson est un test asymptotique qui ne contrôle pas l'erreur de type I. Cette limitation du test du χ² est d'autant plus manifeste lorsque certains effectifs théoriques sont faibles. La règle empirique, très approximative, selon laquelle « certains effectifs théoriques sont inférieurs à 5 », est parfois appelée « règle de Cochran ».
Le test exact de Fisher contrôle toujours l'erreur de type I. Autrement dit, la probabilité d'une erreur de type I pour ce test est toujours inférieure ou égale au seuil alpha nominal. Si le risque de faux positifs est important dans votre situation, le test exact de Fisher peut être un bon choix. En revanche, si le risque de faux négatifs est important, le test du χ² de Pearson pourrait être plus approprié.
Comme vous l'avez dit, le test exact de Fisher n'est pas réellement « exact ». Il est presque toujours conservateur (du moins au sens de Neyman-Pearson). Le test exact de Fisher n'est « valide » que dans ce sens. Tous les tests et intervalles de confiance « exacts » pour les variables discrètes (sans randomisation pour lever la discrétisation) deviennent conservateurs. Par exemple, les tests et intervalles de confiance exacts (également appelés intervalles de confiance de Clopper-Pearson) pour les probabilités binomiales sont aussi conservateurs.
Le professeur DRCox a qualifié ce type de « correction » de « conditionnement technique ». Bien que souvent inconscient, le conditionnement technique le plus courant est l'analyse de régression (comme la régression linéaire, la régression logistique, etc.). Même si les variables X des modèles de régression sont souvent des variables aléatoires, on les « fixe » généralement lors du calcul des intervalles de confiance et des tests. On s'intéresse rarement aux relations entre les variables X. Le « conditionnement technique » permet d'éliminer ces éléments parasites.
Si les données de deux groupes sont échantillonnées à partir de deux distributions binomiales infinies et indépendantes, le plan d'échantillonnage ne fixe que les totaux des lignes (par exemple, n1 et n2). Toutefois, si les deux probabilités binomiales sont égales, on peut considérer ce processus comme celui où l'on échantillonne d'abord n1 + n2 individus à partir d'une distribution binomiale infinie et indépendante, puis où l'on divise ce premier échantillon en n1 et n2. Cet échantillonnage en deux étapes est exactement identique à l'échantillonnage en une seule étape à partir de deux populations infinies. De plus, lorsque l'on échantillonne d'abord n1 + n2 individus, le nombre d'événements et de non-événements dans ce premier échantillon est fixé.
Dans votre cas, les données peuvent être considérées comme un échantillon aléatoire de 108 individus issus d'une distribution multinomiale, et H0 doit être « p11/p12 = p21/p22 ». Supposons que votre population infinie contienne une infinité de boules rouges et de boules noires. Commencez par prélever 108 boules dans cette population infinie. Ce premier prélèvement fixe les totaux des colonnes (98 et 10 dans votre cas), comme dans le cas binomial décrit précédemment. Ensuite, divisez cet échantillon en deux groupes. Cela fixe les totaux des lignes (90 et 18 dans votre cas). Cet échantillonnage en deux étapes génère la même distribution que l'échantillonnage initial issu d'une distribution multinomiale.
Il est important de noter que le degré de liberté d'un tableau 2x2 est de un, et non de deux, trois ou quatre. Cela signifie que le test du χ² « fixe » également les totaux des colonnes et des lignes.
Quoi qu'il en soit, le test exact de Fisher est toujours conservateur. Et ce conservatisme est d'autant plus marqué que l'échantillon est petit. Le test du χ² est un test asymptotique. Il ne présente pas ce biais de conservatisme excessif, même s'il ne maîtrise pas toujours le risque d'erreur de type I.
Il est important de noter que, dans ce cas précis, on ne peut pas parler d'« effets causaux » de X1 sur Y. L'explication ci-dessus concerne uniquement le calcul de tests statistiques valides.
