Concernant les estimations des paramètres issues de l'analyse de régression, je peux afficher les coefficients de régression partielle standardisés (bêta standardisé), mais je ne sais pas comment afficher leur intervalle de confiance à 95 %. Si quelqu'un sait comment faire, je lui serais reconnaissant de me l'indiquer.
Merci de votre coopération.
PS : Je pensais que l'intervalle de confiance à 95 % du coefficient de régression partielle standardisé pouvait être calculé à l'aide de la formule « Coefficient de régression partielle standardisé = Coefficient de régression partielle x (Écart type de la variable explicative / Écart type de la variable dépendante) ». J'ai donc essayé de calculer le coefficient de régression partielle standardisé (β standardisé) à l'aide de l'« Écart type de la variable explicative » et de l'« Écart type de la variable dépendante » obtenus à partir de la « Distribution univariée », mais la valeur était légèrement différente du coefficient de régression partielle standardisé (β standardisé) figurant dans le rapport.
(En japonais)
■ Concernant les estimations ponctuelles : comme vous l’avez mentionné, les estimations ponctuelles des coefficients de régression partielle dans l’estimation par les moindres carrés ordinaires (MCO) pour les modèles d’analyse de régression linéaire sont les suivantes :
Coefficient de régression partielle standardisé = Coefficient de régression partielle × (Écart type de la variable explicative / Écart type de la variable dépendante)
Voilà la relation.
Toutefois, par défaut, dans « Ajustement du modèle », les valeurs manquantes sont traitées à l’aide de la méthode « listwise ». Cette méthode exclut du calcul toute ligne présentant au moins une valeur manquante dans la paire de variables dépendantes y et indépendantes x1, x2, ..., x_p.
Si toutes les variables explicatives sont continues, vous pouvez trouver la moyenne et l'écart type après suppression des données manquantes en utilisant la méthode de « corrélation multivariée » .
(1) Sélectionnez [Analyser] > [Corrélation multivariée] .
(2) Dans la fenêtre de démarrage qui s'affiche, sélectionnez « Listwise » dans la liste déroulante « Estimation de la variance » en bas à gauche.
(3) Spécifiez toutes les paires de variables dépendantes (y) et de variables indépendantes (x1, x2, ... x_p) dans [Y, Colonne] et cliquez sur le bouton [D'ACCORD] .
(3) Cliquez sur le bouton triangle rouge à côté de « Multivarié » en haut, et sélectionnez [Statistiques de base] > [Statistiques de base pour multivarié] .
Vous pouvez également créer un tableau de données ne contenant que des données sans valeurs manquantes en suivant ces étapes :
(1) Sélectionnez [Tableau] > [Afficher les modèles de valeurs manquantes] .
(2) Spécifiez toutes les paires de variables dépendantes (y) et de variables indépendantes (x1, x2, ... x_p) dans [Ajouter une colonne] et cliquez sur le bouton [D'ACCORD] .
(3) Sélectionnez la première ligne du tableau de données créé. Sur cette première ligne, le « Nombre de colonnes avec des valeurs manquantes » est égal à 0 et tous les « Modèles » sont égaux à 0.
(4) Activez le tableau de données d'origine. À la suite de l'opération (3) ci-dessus, seules les lignes sans valeurs manquantes sont sélectionnées.
(5) Sélectionnez [Tableau] > [Sous-ensemble] .
(6) Sélectionnez les boutons radio [Lignes sélectionnées] et [Toutes les colonnes] , puis cliquez sur le bouton [D'ACCORD] .
S'il n'y a pas de valeurs manquantes dans les données et que l'écart avec les calculs manuels est minime, cela peut être dû à un arrondi lors des calculs manuels. Les rapports JMP affichent les nombres arrondis. Pour afficher plus de décimales, cliquez avec le bouton droit sur une colonne du tableau et sélectionnez « Format de colonne » dans le menu contextuel, puis définissez le nombre total de décimales sur « 20 » ou une valeur similaire. Vous pouvez également cliquer avec le bouton droit sur le tableau et sélectionner « Exporter vers un tableau de données » dans le menu contextuel. Les résultats seront alors exportés vers un tableau de données JMP, où vous pourrez cliquer sur une cellule pour copier les nombres non arrondis et détaillés.
La méthode de traitement par liste des valeurs manquantes n'est valide que si le mécanisme de données manquantes est complètement aléatoire (MCAR). Si vous utilisez JMP Pro ou JMP Student Edition, vous pouvez effectuer une estimation du maximum de vraisemblance à information complète en supposant une distribution normale multivariée dans la plateforme « Modèles d'équations structurelles ». Cette plateforme est accessible via [analyseur] > [Multivarié] > [Modèles d'équations structurelles ] . L'utilisation de cette plateforme nécessite la spécification du modèle à l'aide d'un diagramme de chemin. N'hésitez pas à me contacter si cela vous intéresse. L'estimation du maximum de vraisemblance à information complète, sous l'hypothèse d'une distribution normale multivariée, est valide si la distribution de la population est normale multivariée et si le mécanisme de données manquantes est aléatoire (MAR).
■ Concernant les intervalles de confiance : pour l’intervalle de confiance des coefficients de régression partielle standardisés, étant donné que l’estimation ponctuelle est b sy/sx_j (où b est le coefficient de régression partielle, sy l’écart-type de la variable dépendante et sx_j l’écart-type de la j-ième variable indépendante), il est envisageable d’utiliser (l sy/sx_j, u sy/sx_j) comme intervalle de confiance approximatif. Ici, l représente la borne inférieure de l’intervalle de confiance et u sa borne supérieure. Cependant, cette approximation n’est valable que si sy et sx_j sont estimés avec une précision considérable et si sy/sx_i peut être considéré comme une constante. En général, comme b, sy et sx_j présentent une certaine variabilité ; cette méthode est donc considérée comme peu performante.
Dans le cas des coefficients de régression simple, les coefficients de régression partielle standardisés coïncident avec les coefficients de corrélation. La distribution d'échantillonnage du coefficient de corrélation, lorsque la distribution de la population suit une loi normale bivariée, est présentée dans Cramer (1946, p. 397-401). Bien qu'une intégration numérique soit nécessaire, il est théoriquement possible d'obtenir des intervalles de confiance précis (lorsque la distribution de la population suit une loi normale bivariée). Cependant, en raison de cette intégration numérique, la méthode de transformation en z de Fisher est traditionnellement et largement utilisée pour les obtenir. Le module « Corrélation multivariée » de JMP utilise également cette méthode pour calculer les intervalles de confiance des coefficients de corrélation.
Le bootstrapping est une méthode statistique couramment utilisée lorsqu'il est difficile de trouver une distribution d'échantillonnage offrant une bonne approximation, et pas seulement pour les coefficients de régression partielle standardisés. Le bootstrapping peut également être mis en œuvre dans le cadre d'une analyse de régression linéaire, via les modules « Correspondance de modèles » et « Modèle d'équations structurelles » .
"Correspondance de modèles" >
(0) Le calcul dans (5) ci-dessous prendra un certain temps, donc si vous avez une analyse ou un traitement de données en cours dans JMP, enregistrez-le par précaution.
(1) Cliquez avec le bouton droit sur le tableau « Estimations des paramètres » dans le rapport et sélectionnez [Standard β] .
(2) Cliquez avec le bouton droit sur la colonne « Standard β » affichée et sélectionnez [Bootstrap] .
(3) Spécifiez la [taille de l'échantillon bootstrap] (par exemple, 10 000 fois)
(4) Spécifiez une valeur de graine de nombre aléatoire pour la reproductibilité.
(5) Cliquez sur le bouton [D'ACCORD] .
→ L'échantillonnage bootstrap va commencer. Cela prendra un certain temps.
(6) Dans le tableau de données créé, cliquez sur le bouton triangle vert dans le coin supérieur gauche du script du tableau « Distribution univariée » .
Les étapes ci-dessus afficheront la distribution bootstrap et l'intervalle de confiance calculé à partir de celle-ci.
« BC » signifie « corrigé du biais », et l’intervalle de confiance bootstrap est calculé à l’aide de la méthode des percentiles corrigés du biais, comme décrit dans Efron (1982, pp. 82-84).
Lors de l'application d'une analyse de régression linéaire avec « Correspondance de modèles » en présence de valeurs manquantes, si vous utilisez la méthode bootstrap, il est préférable d'effectuer l'analyse après avoir obtenu des données complètes à l'aide de la fonction « Afficher les modèles de valeurs manquantes » décrite précédemment. Dans tous les cas, comme pour les estimations ponctuelles, cette méthode n'est valable que pour des données manquantes complètement aléatoires (MCAR).
(0) Le calcul dans (2) ci-dessous prendra un certain temps, donc si vous effectuez une analyse ou un traitement de données dans JMP, enregistrez-le par précaution.
(1) Après avoir dessiné un diagramme de chemin et ajusté un modèle de régression linéaire multiple, sélectionnez « Estimations des paramètres standardisés » dans le rapport du modèle.
(2) À partir du bouton triangle rouge en haut du rapport, sous « Modèle d'estimation structuré », sélectionnez [Méthode d'estimation] > [Estimation par bootstrap] .
■Supplément
Bien que non prise en charge par JMP, JMP Pro et JMP Student Edition, l'imputation multiple permet de traiter les données manquantes. À l'instar de la méthode bootstrap, il s'agit d'une technique statistique générale ne nécessitant pas de calculs complexes. Il est envisageable d'effectuer simultanément une régression bootstrap et une imputation multiple, mais JMP, JMP Pro et JMP Student Edition ne prennent pas en charge cette dernière. De plus, même si cela était possible, le temps de calcul serait probablement considérable.
■参考文献
Cramér, H. (1946) Méthodes mathématiques de la statistique . Presses universitaires de Princeton.
Efron, B. (1982) Le Jackknife, le Bootstrap et autres plans de rééchantillonnage . Société de mathématiques industrielles et appliquées.
En utilisant la méthode bootstrap expliquée dans « < Pour l'analyse de régression linéaire par ajustement de modèle> » , j'ai pu obtenir l'intervalle de confiance à 95 % pour les coefficients de régression partielle standardisés dans l'analyse de régression simple. Merci !
J'ai une question complémentaire : cette méthode est-elle applicable à l'analyse de régression multiple ? J'ai pu sélectionner la « méthode bootstrap » dans la colonne des coefficients bêta standard de l'analyse de régression multiple, et lors de son exécution, j'ai obtenu des valeurs proches de celles calculées à partir de l'intervalle de confiance à 95 % du coefficient de régression partielle multiplié par (écart-type de la variable explicative / écart-type de la variable dépendante). Veuillez m'excuser pour cette question supplémentaire, et je vous remercie d'avance pour votre aide.
La méthode bootstrap permet d'approximer les intervalles de confiance par rééchantillonnage itératif des données originales et peut également être utilisée en analyse de régression multiple. Bien que les échantillons bootstrap à l'origine d'un échec de l'estimation en régression multiple soient fréquents lorsque la taille de l'échantillon est trop petite ou le nombre de variables explicatives trop élevé, cette méthode reste applicable aussi bien à la régression simple qu'à la régression multiple. La ligne rouge du graphique ci-dessous représente l'intervalle de confiance bootstrap calculé par la méthode des percentiles corrigée du biais.
Le bootstrap échoue systématiquement lorsqu'il s'agit d'estimer des paramètres aux extrémités de la distribution, comme les valeurs maximales ou minimales, ou les 1er et 99e percentiles. Puisque la valeur maximale (ou minimale) d'un échantillon bootstrap ne peut jamais dépasser la valeur maximale (ou minimale) des données, l'estimation par bootstrap échouera toujours.
Merci encore pour votre réponse. Je comprends maintenant les cas où la méthode Bootstrap ne fonctionne pas.
J'utilise au moins 400 points de données et je n'ai pas besoin d'estimer les paramètres aux extrémités de la « distribution », donc je pense que cette méthode est parfaitement acceptable.
Cependant, le nombre maximal de variables explicatives utilisées dans une analyse de « régression multiple » est de 19, et si ce nombre est trop élevé, il peut être préférable de ne pas l'utiliser.
