<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />로저 W. Hoerl, PhD, Brate-Peschel 통계학 조교수, Union College
로널드 D. Snee 박사, Snee Associates 회장
비선형 모델을 사용한 효율적인 혼합/공정 실험
2015년 9월
로널드 D. Snee, Snee Associates, 뉴어크, 델라웨어
로저 W. Hoerl, Union College, 스키넥터디, 뉴욕
Gabriella Bucci, Out of Door Academy, 플로리다주 새러소타
저작권: Ronald D. 스노우, 로저 W. 호얼, 가브리엘라 부치 2015
참고: 이 문서는 현재 "공정 변수를 사용한 혼합물 실험에 대한 통계적 공학적 접근 방식"이라는 제목으로 편집 검토 중입니다.
추상적인: 특히 이 두 변수 세트 사이에 상호 작용이 있을 가능성이 있는 경우 혼합물 구성 요소와 공정 변수를 모두 사용하여 실험하는 방법이 논의됩니다. 우리는 실제 혼합/공정 문제를 해결하는 맥락에서 설계 및 분석 문제를 모두 고려합니다. 우리는 주어진 데이터 세트에 대해 가능한 최상의 설계나 최상의 모델을 찾는 것이 아니라 이러한 문제를 해결하기 위한 전략에 중점을 둡니다. 이러한 의미에서 통계공학 프레임워크가 사용됩니다.특히 더 큰 선형 모델과 달리 간결한 비선형 모델을 피팅할 수 있는 가능성을 고려할 때 실험 설계의 크기를 줄일 수 있는 중요한 기회를 찾습니다. 실제로 결과 데이터에 가장 적합한 모델 유형을 아는 것은 어렵습니다. 따라서 통합적이고 순차적인 설계 및 분석 전략이 권장됩니다. 두 개의 게시된 데이터 세트와 하나의 새로운 데이터 세트를 사용하여 경우에 따라 비선형 모델 또는 상호 작용을 무시하는 선형 모델을 사용하면 실험을 50% 정도 줄일 수 있음을 알 수 있습니다. 다른 경우에는 비선형 모델로는 충분하지 않을 수 있습니다. 따라서 우리는 그러한 접근 방식이 언제 성공할 것인지에 대한 지침을 제공하고 그러한 문제에 대한 전반적인 전략을 제안합니다.
키워드: 혼합물, 혼합물 모델, 혼합물 실험, 비선형 모델
소개
성분 비율의 합이 1.0이 되어야 하는 혼합물 문제는 식품, 의약품, 화학 물질 개발 등 다양한 산업 및 응용 분야에서 발생합니다. 많은 혼합물 응용 분야에서 최종 반응에 영향을 미치는 것은 공식뿐만 아니라 공정 변수이기도 합니다. 예를 들어, 블렌드 와인을 생산할 때 최종 맛과 기타 중요한 특성은 사용된 포도 품종의 비율뿐만 아니라 재배 시기의 기후 조건, 포도 수확 시기, 온도, 온도와 같은 공정 변수에 따라 달라집니다. 발효 과정의 다양한 단계, 사용된 숙성 배럴 유형 등.
어떤 경우에는 혼합물 성분과 공정 변수가 상호 작용하지 않습니다. 와인의 예에서 이는 어떤 포도 품종이 사용되었는지 고려하지 않고도 발효 및 기타 가공이 최적화될 수 있음을 의미합니다. 이 시나리오에서는 혼합 모델과 프로세스 변수 모델을 결합한 추가 모델을 활용하게 됩니다. 다른 경우에는 최상의 가공 조건이 사용되는 품종에 따라 달라질 수 있으므로 이 추가 시나리오는 적용되지 않습니다. 이 경우 혼합물과 공정 변수 사이에 상호 작용이 발생합니다. 상호 작용 시나리오는 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용을 설명하기 위해 용어를 통합하는 모델로 이어집니다.
그러한 상호작용이 예상될 때 일반적으로 사용되는 실험 설계는 상호작용을 통합하는 선형 모델의 항 수를 수용하기 위해 큰 경향이 있습니다(Cornell 2002, 2011). 물론, 주제 지식이나 이전 실험을 통해 최종 모델 형태가 무엇인지 안다면 해당 특정 모델을 추정하기 위해 최적 또는 거의 최적에 가까운 실험을 설계할 수 있습니다. 우리는 실험자가 상호 작용을 의심하지만 설계를 실행하고 후속 데이터를 얻기 전에 최종 모델 형식을 지정하는 데 확신이 없는 보다 일반적인 상황을 고려합니다. 따라서 우리의 초점은 주어진 모델에 대한 최적의 설계나 주어진 데이터 세트에 대한 최적의 모델에 있지 않습니다. 오히려 우리는 대안 설계, 대안 모델을 고려하고 실제로 문제를 해결하는 데 있어 효율성의 필요성을 고려하여 이러한 문제를 해결하기 위한 전략에 중점을 둡니다.
이러한 의미에서 우리는 비즈니스, 산업, 연구 또는 정부에서 발생하는 혼합/공정 응용 분야를 해결하기 위한 가장 효과적이고 효율적인 접근 방식을 식별하기 위해 통계 공학 접근 방식(Hoerl 및 Snee 2010, Anderson-Cook 및 Lu 2012)을 사용합니다.특히, 우리는 매개변수에서 비선형 모델을 진지하게 고려하면 매개변수에서 선형인 기존 모델에 대한 효율적인 대안을 제공할 수 있음을 발견했습니다. 비선형 모델을 피팅하는 것은 선형 모델을 피팅하는 것보다 어렵지만 R, JMP, Minitab 또는 SAS와 같은 최신 소프트웨어를 사용하면 적어도 10개의 상용 소프트웨어와 비교할 때 비선형 모델을 상당히 쉽게 추정하고 해석할 수 있습니다. 20년 전으로.
비선형 모델은 동일한 혼합/공정 문제에 대해 추정할 수 있는 매개변수가 더 적습니다. 예를 들어, Cornell의 생선 패티 응용 프로그램(Cornell 2002)에는 선형 모델에서 추정할 항이 56개인 반면 비선형 모델에서는 14개 항이 있었습니다. 따라서 비선형 모델이 실행 가능한 대안을 제공한다면 초기 실험을 크게 줄이기 위해 훨씬 더 공격적인 분수 설계 전략을 취할 수 있습니다. 우리는 계수의 표준 오차와 같은 비선형 모델의 기본 이론이 선형 모델보다 덜 개발되었으며 종종 점근적 또는 근사적 결과에 의존한다는 것을 인정합니다(Montgomery 2012).
즉, 비선형 모델은 공정 변수와 혼합물 변수 간의 상호작용을 수용하기 위해 더 적은 수의 매개변수를 필요로 하기 때문에 처음에는 훨씬 더 작은 부분 설계를 실행할 수 있습니다. 실험 비용이 무시할 수 없는 수준이라면 분명히 14개의 항을 추정하는 데 56번의 실행이 필요하지 않습니다. 비선형 모델 또는 상호 작용이 없는 추가 선형 모델이 충분한 것으로 입증되면 초기 설계를 통해 문제가 해결될 수 있습니다.
비선형 모델을 고려하면 얻을 수 있는 것은 많고 잃을 것은 거의 없습니다. 이러한 작은 모델이 충분한 정확도를 제공하지 못하는 경우 순차적 방식으로 추가 실험을 수행할 수 있습니다. 이런 방식으로, 최선의 시나리오는 문제를 해결하는 데 필요한 실험 효과를 최대 50%까지 줄이는 것이고, 최악의 시나리오는 결국 상호 작용이 있는 일반적인 선형 모델이 수행하는 모든 실험을 실행해야 한다는 것입니다. 요구할 것입니다. 이 전반적인 전략은 그림 1에 설명되어 있습니다. 우리는 주어진 모델에 대한 최상의 개별 설계나 주어진 데이터 세트에 대한 최상의 개별 모델에 초점을 맞추는 대신 문제를 공격하기 위한 최선의 종합적 접근 방식을 강조하는 것이 통계 공학의 핵심이라고 생각합니다.
기사의 나머지 부분은 다음과 같이 구성됩니다. 먼저 상호 작용이 있는 변수를 포함하여 공정 변수를 사용하는 혼합 실험에 사용되는 일반적인 모델과 설계를 검토합니다. 다음으로 통계 공학의 기본 사항을 검토하고 이러한 기본 사항이 특정 문제에 어떻게 적용되는지 논의합니다. 그런 다음 이전에 발표된 2개의 데이터 세트와 1개의 새로운 데이터 세트 등 3개의 데이터 세트를 소개합니다. 이러한 데이터 세트를 사용하여 데이터 피팅 측면에서 선형 가산, 선형 대화형 및 비선형 모델을 비교합니다. 게다가, 우리는 비선형 모델의 계수에 대한 잠재적인 해석에 주목합니다. 다음으로, 이러한 각 문제에 대한 부분 설계를 통해 발견할 수 있는 가상 결과를 고려합니다. 즉, 부분 설계에 따라 실제 데이터의 하위 집합을 분석하고, 다양한 모델을 피팅하고, 모델을 사용하여 모델에서 사용되지 않는 데이터를 예측합니다. 마지막으로, 우리는 이 분석의 의미를 고려하고 상호 작용이 의심되는 혼합/공정 문제를 해결하기 위한 전략을 제안합니다.
혼합물/공정 문제에 사용되는 일반적인 모델
공정 변수가 있는 혼합 문제에 적용할 수 있는 잠재적인 설계와 모델이 많이 있습니다. 여기에서는 애플리케이션, 특히 Scheff에 사용되는 가장 일반적인 모델과 디자인을 강조합니다. 모델(대표 1963, Cornell 2002), 포괄적인 검토를 제공하려고 시도하지 않았습니다. 먼저 혼합 모델 자체를 고려한 다음 상호 작용이 없는 프로세스 변수가 있는 혼합 모델, 상호 작용이 있는 혼합 모델을 고려합니다. 모델 작업이 끝나면 이러한 모델을 피팅할 수 있도록 일반적으로 실행되는 설계에 대해 논의합니다.
공식 구성 요소의 합이 1.0이 되어 자유도가 1 상실된다는 제약 때문에 표준 선형 회귀 모델에서 상수 항을 간단히 삭제하는 것이 일반적입니다. 예를 들어, q 혼합 성분을 사용하면 선형 Scheff 모델은 다음과 같이 작성됩니다.
성분의 합이 1.0이기 때문에 가장 의미 있는 것은 계수의 절대값이 아니라 계수 간의 관계입니다. 예를 들어, 만약 b 1 =10,b 2 =20 및 b 삼 =30, 세 가지 구성 요소가 있는 경우 x는 다음과 같습니다. 1 x를 증가시키므로 반응에 부정적인 영향을 미칩니다. 1 x 중 하나를 줄여야 합니다. 2 또는 x 삼 동일한 양으로 x 증가의 순 영향 1 E(y)를 줄이는 것입니다. 혼합 계수 해석에 대한 추가 정보는 Cornell(2002)에서 찾을 수 있습니다.
이 문서에 제시된 모든 모델에 대해 우리는 평균 0과 표준 편차를 갖는 독립적이고 동일하게 분포된 정규인 가산 무작위 오류 항을 가정합니다. . 오차항은 모든 통계 모델에서 분명히 중요하지만 이는 현재 기사의 핵심 사항이 아니므로 앞으로 이 오차항에 대해서는 거의 언급하지 않을 것입니다.
혼합 제약 조건을 피하기 위해 혼합물 성분 중 하나를 삭제하고 상수 항을 모델에 다시 추가하는 "여유 변수" 모델과 같이 고려할 수 있는 다른 혼합 모델이 있습니다. 곡률이 존재할 때 이차식을 맞추는 것이 일반적입니다. 쉬프 선형 항과 구성요소 간의 가능한 모든 교차곱 항을 통합하는 모델:
각 구성 요소는 1에서 다른 모든 구성 요소의 합을 뺀 것으로 볼 수 있으므로 일반적으로 교차곱 용어를 전통적인 의미의 상호 작용 모델링으로 간주하지 않고 일반적으로 비선형 혼합을 모델링합니다. 추가적인 비선형 블렌딩이 존재하고 충분한 자유도를 사용할 수 있는 경우 특수 입방체를 맞출 수 있습니다. 쉬프 모델:
이는 모든 3차 항을 포함하지 않고 오히려 2차 모델에 세 항 사이의 가능한 모든 교차곱을 더한 것이라는 점에서 "특별한" 삼차로 간주됩니다. 예를 들어 특수 삼차에는 다음 용어가 포함되지 않습니다. 엑스 2 . 완전한 입방체 쉬프 모델은 다음과 같습니다:
d는 어디에? ij 는 이진 초과 또는 "상승작용"의 3차 계수입니다(Cornell 2011 p. 31). 모델에 프로세스 변수가 있는 경우 x를 사용합니다. 나 혼합 변수의 경우, 예: 나 프로세스 변수 b의 경우 나 혼합 계수의 경우 나 공정 변수 계수의 경우. 우리는 d를 고려하지 않습니다 ij 자귀. 또한 일반 용어 f(x)는 혼합 성분만 있는 모델에 사용되는 반면, g(z)는 공정 변수만 있는 모델에 사용됩니다. 두 가지를 모두 포함하는 결합 모델은 c(x,z)로 작성됩니다.
다시 말하지만, 프로세스 변수와 혼합물 성분 및 프로세스 변수의 조합에 적용할 수 있는 잠재적인 모델이 많이 있습니다. 여기서는 애플리케이션에 가장 일반적으로 적용되는 표준 설계에 중점을 둡니다. 선형 프로세스 변수 모델은 다음과 같습니다.
,
여기서 우리는 r개의 독립 변수를 가지고 있습니다. 2차(완전 2차) 공정 변수 모델은 다음과 같습니다.
이중 합산에는 i=j가 포함되므로 전체 2차 모델에는 모델에 제곱(2차) 항이 포함됩니다. 분명히 그러한 모델을 맞추려면 설계에서 두 가지 이상의 수준이 필요합니다. 2수준 설계에서는 요인 모델(선형 항과 2차 상호 작용, 단 2차(제곱) 항은 사용할 수 없음)을 사용할 수 있습니다.
물론 완전 요인 설계를 사용하면 고차 상호 작용도 추정할 수 있습니다.
혼합물과 공정 변수가 모두 있는 상황에서 주요 고려 사항은 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용이 예상되는 정도입니다. 혼합물과 공정 변수가 서로 상호 작용하지 않는다는 것을 암시하는 이론이나 경험이 있는 경우 혼합물과 공정 모델을 별도로 적합시킬 수 있습니다. 즉, 전체 모델은 다음과 같습니다.
c(x,z) = f(x) + g(z) (1)
방정식 1을 선형 가산 모델이라고 합니다. 이 경우, f(x)는 혼합물 성분에 적합하다고 판단된 모델이고, g(z)는 공정 변수에 적합하다고 판단된 모델입니다.그러나 많은 상황에서 혼합물 성분과 공정 변수는 상호 작용합니다. 즉, 케이크를 굽기에 가장 좋은 시간과 온도는 케이크 속 재료에 따라 달라질 수 있습니다. 레드 와인은 일반적으로 화이트 와인처럼 차갑게 제공되지 않습니다. 이러한 경우 Cornell(2002, 2011) 및 Prescott(2004)과 같은 많은 저자는 혼합물 및 공정 변수 모델을 추가하는 대신 곱셈을 제안합니다. 즉, 혼합 공정 상호 작용을 수용하기 위해 다음 모델을 사용할 수 있습니다.
c(x,z) = f(x)*g(z) (2)
이 승법 모델은 매개변수(b)에서 선형이 아닙니다. 나 그리고 나 ), 따라서 최소 제곱 솔루션은 닫힌 형식이나 표준 선형 회귀 소프트웨어로 얻을 수 없습니다. 이 문제를 해결하는 한 가지 접근 방식은 f(x)*g(z)의 개별 항을 곱하는 것입니다. 세 개의 혼합 변수와 두 개의 공정 변수가 있는 경우를 생각해 보십시오. 단순화를 위해 이러한 모델이 다음과 같은 형식이라는 것을 알고 있다고 가정합니다.
에프(엑스) = 비 1 엑스 1 + 비 2 엑스 2 + 비 삼 엑스 삼 + 비 12 엑스 1 엑스 2 + 비 13 엑스 1 엑스 삼 + 비 23 엑스 2 엑스 삼 + 비 123 엑스 1 엑스 2 엑스 삼 , 그리고
g(z) = 에이 0 + 에 1 예를 들어 1 + 에 2 예를 들어 2 + 에 12 예를 들어 1 예를 들어 2 ,
이는 특별한 3차 혼합 모델과 요인 프로세스 변수 모델이 될 것입니다. 따라서 f(x)에는 추정할 항이 7개 있고, g(z)에는 추정할 항이 4개 있습니다. f(x)의 각 항과 g(z)의 각 항을 곱하면 선형 회귀 모델에서 28개의 항이 생성됩니다. 방정식 2는 실제로 비선형 모델이기 때문에 이 모델을 선형화된 모델이라고 부릅니다. 모든 항을 곱하여 28개의 항으로 구성된 선형 모델을 만듭니다. 즉, 우리는 다음을 갖습니다:
c(x,z) = f(x)*g(z) = b 1 엑스 1 *ㅏ 0 + 비 1 엑스 1 *ㅏ 1 예를 들어 1 + 비 1 엑스 1 *ㅏ 2 예를 들어 2 + 비 1 엑스 1 *ㅏ 12 예를 들어 1 예를 들어 2 (삼)
+ 비 2 엑스 2 *ㅏ 0 + 비 2 엑스 2 *ㅏ 1 예를 들어 1 + 비 2 엑스 2 *ㅏ 2 예를 들어 2 + 비 2 엑스 2 *ㅏ 12 예를 들어 1 예를 들어 2
+ .............+ b 123 엑스 1 엑스 2 엑스 삼 *ㅏ 12 예를 들어 1 예를 들어 2
b를 고려하면 방정식 3은 매개변수에서 선형입니다. 1 ㅏ 0 하나의 매개변수가 되려면 b 1 ㅏ 1 다른 사람이 되는 것 등등. 따라서 방정식 3은 방정식 1과 마찬가지로 표준 선형 회귀 소프트웨어를 사용하여 추정할 수 있습니다. 물론, 최소제곱 추정치를 구하면 x에 대해 추정된 모수는 1 , "b로 나열됨 1 ㅏ 0 ” 방정식 3에서 확률 0은 x에 대한 추정 계수와 동일합니다. 1 f(x)에서 방정식 2( 1 )에 방정식 2( 0 ), 이러한 개별 항이 비선형 최소 제곱에서 직접 추정된 경우. 즉, 방정식 3의 최소 제곱 추정값은 방정식 2의 비선형 최소 제곱 추정값을 결정하는 데 사용할 수 없습니다.
나중에 다시 설명할 중요한 점은 방정식 2와 방정식 3을 비교하는 것입니다. 방정식 2는 매개변수의 비선형 모델입니다. 이렇게 추정한다면 f(x)의 경우 7개, g(z)의 경우 4개, 총 11개의 매개변수만 추정하면 됩니다.실제로는 방정식 2가 실제로 과도하게 지정되므로 10개의 매개변수만 필요합니다. 이 방정식에는 고유한 최소 제곱해가 있을 수 없습니다. 이는 f(z)에 0이 아닌 임의의 상수(예: m)를 곱하고 g(z)를 m으로 나누면 c(x,z)의 값은 변경되지 않고 유지된다는 점을 고려하면 즉시 알 수 있습니다. m과 1/m은 취소됩니다. f(x)의 각 계수를 곱할 수 있고 각각 동일한 잔차 제곱합을 생성할 수 있는 이러한 상수 m은 무한히 많기 때문에 방정식 2에 대한 고유한 최소 제곱해는 있을 수 없습니다. 우리는 다음을 설정하여 이러한 과잉 사양을 해결합니다. 0 = 1.0. 곧 살펴보겠지만 이것이 다른 계수의 해석에 도움이 되지만 이것이 과잉 사양을 해결하는 최선이거나 유일한 방법이라고 주장하지는 않습니다.
물론 핵심은 방정식 2를 비선형 최소 제곱 문제로 직접 추정할 수 있다면 선형화된 버전에 필요한 28개의 자유도가 아니라 추정된 매개변수에 대해 10개의 자유도만 필요하다는 것입니다. 이는 상호작용이 예상되는 실험 설계에 명백한 영향을 미칩니다. 물론 상호 작용이 예상되지 않으면 선형 가산 모델인 방정식 1을 추정할 수 있습니다. 이 방정식은 또한 과도하게 지정되었습니다. 0 항은 필요하지 않으며 절편이 이미 혼합 모델 f(x)에 통합되어 있으므로 실제로 추정할 수 없습니다. 절편을 삭제하면 비선형 모델에서와 마찬가지로 다시 10개의 매개변수를 추정할 수 있습니다.
혼합물/공정 문제에 사용되는 일반적인 실험 설계
실험을 설계할 때 정확한 형식에 자신이 없더라도 일반적으로 특정 모델을 염두에 둔다는 점에서 설계와 모델은 분명히 밀접하게 연관되어 있습니다. 혼합 실험에는 선형 Scheff를 추정하는 데 적합한 모델이 있습니다. 모형, 그리고 물론 2차 또는 특수 3차 모형을 추정하는 데 적합한 더 큰 설계도 있습니다.
단순 설계는 일반적으로 혼합물 실험에 사용됩니다. 이는 q 구성 요소가 있는 경우 일반적으로 q-1 차원으로 표시됩니다. 예를 들어, 세 개의 구성 요소가 있는 경우 혼합 제약 조건으로 인해 자유도가 2개만 있으므로 그림 2와 같이 설계가 2차원으로 표시될 수 있습니다. 각 구성 요소에는 축이 있다는 점에서 세 가지 구성 요소가 모두 표시됩니다. 제약이 없는 혼합 문제에서 각 성분은 0에서 1.0까지 다양할 수 있으므로 전체 단순은 각 축에서 0에서 1까지 갑니다. 0 점은 심플렉스 베이스로 표시되고, 1.0은 베이스 반대쪽 심플렉스 포인트에 있습니다. 만약 x라면 1 = 1.0, 그다음 x 2 = x 삼 = 0이므로 이 점은 x의 밑변에 해당합니다. 2 그리고 x 삼 축. 이러한 점을 "순수 블렌드"라고 부르는 이유는 분명합니다. 단순 혼합 설계와 기타 공통점은 그림 2에 나와 있습니다.
계승설계에서 중심점에 해당하는 중심은 심플렉스의 중앙에 있는 1/3, 1/3, 1/3 점에 해당함을 지적합니다. 단순 설계의 다른 공통점은 소위 50-50 혼합으로, 두 구성 요소의 비율은 0.5이고 세 번째 구성 요소의 비율은 0입니다. 이러한 50-50 혼합은 심플렉스의 각 베이스를 따라 있는 중간점에 해당합니다. 단순 설계에 자주 사용되는 또 다른 공통점은 일반적으로 중심과 순수 혼합 사이의 중간에 배치되는 "체크포인트"입니다. 3개 구성 요소 심플렉스의 경우 x의 경우 2/3, 1/6, 1/6이 됩니다. 1 , 1/6, 2/3, 1/6, x용 2 및 x의 경우 1/6, 1/6, 2/3 삼 . 이러한 체크포인트를 통해 모델이 단순 중심과 경계 이상의 데이터에 적합한지 확인할 수 있습니다. 즉, 체크포인트를 잘 맞추는 것은 심플렉스 내에서 보간하는 것이 상대적으로 안전하다는 것을 의미합니다.
Cornell(2002)에서 설명된 것처럼, 전체 심플렉스 위에 점을 균일하게 배치하는 보다 정교한 심플렉스 격자 디자인도 실제로 사용됩니다. 4개 구성 요소를 초과하는 실험에서는 이러한 설계를 설명하기 어렵지만 요인 설계의 경우와 마찬가지로 동일한 유형의 설계가 형성될 수 있습니다. 물론 종종 제제 성분의 수준에 제약이 있을 수 있습니다. 예를 들어, 100% 식초로 구성된 샐러드 드레싱을 원하는 소비자는 거의 없습니다. 그러한 경우에는 원래 구성요소를 변형한 의사 구성요소(Cornell 2002)를 생성하거나 제약 조건으로 인해 생성된 비정상적인 설계 공간에서 컴퓨터 지원 설계를 활용할 수 있습니다. 이러한 디자인은 현재 기사의 초점이 아닙니다. 또한 독자가 공정 변수에 사용되는 표준 요인 설계에 익숙하다고 가정합니다.
공정 변수가 있는 혼합물 설계에서는 일반적으로 일부 하이브리드 설계가 사용되므로 혼합물 효과와 모델은 물론 공정 효과와 모델도 추정할 수 있습니다. 실험자가 상호 작용을 의심하는 경우 방정식 2의 선형 버전에서 모든 항을 추정하는 기능이 필요한 경우가 많습니다. 즉, 선택한 실험 설계에서는 혼합 모델의 각 항과 공정 모델의 각 항을 곱하여 얻은 모든 효과를 추정할 수 있어야 합니다. 위에서 언급한 예에서는 방정식 3의 28개 항을 모두 추정할 수 있는 설계가 필요합니다.
이러한 설계는 일반적으로 혼합 설계와 함께 계승 또는 부분 계승을 교차합니다. 예를 들어, 코넬의 생선 패티 실험(Cornell 2002)은 순수 블렌드, 중심 및 50-50 블렌드를 포함하는 3개 구성 요소 단순 디자인을 교차했습니다. 삼 세 가지 공정 변수의 요인 설계. 이 디자인은 그림 3에 나와 있습니다. 2의 모든 지점에서 삼 요인 설계에서는 완전 심플렉스 설계를 실행했습니다. 물론 대안적으로 이것을 심플렉스의 각 지점에서 완전 요인 설계로 묘사할 수도 있습니다. 단순 설계에는 7개의 점이 있고 요인 설계에는 8개의 점이 있으므로 전체 설계는 56개의 점이었으며 분할 플롯을 피하기 위해 무작위 순서로 실행되었습니다(Cornell 2002, 2011).
상호 작용이 예상되지 않으면 물론 디자인이 훨씬 더 작아질 수 있습니다. 예를 들어, 코넬 생선 패티 예에서 특수 3차 혼합 모델에는 7개의 항(3개의 선형 혼합 항, 3개의 2-요인 교차곱, 특수 3차 3-요인 교차곱)이 있고 완전 요인 모델에는 다음이 있습니다. 항 8개(절편 1개, 주효과 3개, 2-요인 상호 작용 3개, 3-요인 상호 작용 1개). 혼합 모델 f(x)에는 절편이 포함되어 있으므로 g(z)에서 절편을 삭제하여 상호 작용이 없는 선형 가산 모델에서 추정할 항을 7 + 8 – 1 = 14개로 남겨둘 수 있습니다(즉, c(x,z) ) = f(x) + g(z). 분명히 훨씬 작은 부분 설계를 실행할 수 있으며, 모델에 상호 작용이 없기 때문에 혼합물과 공정 변수를 독립적으로 조사할 수 있습니다.
공정 변수가 있는 혼합 모델에서 통계 공학의 역할
Hoerl과 Snee(2010)는 통계공학을 "통계 개념, 방법 및 도구를 가장 잘 활용하고 이를 정보 기술 및 기타 과학과 통합하여 향상된 결과를 생성하는 방법에 대한 연구"로 정의했습니다. 반대로 통계과학은 기본 이론을 연구하고 발전시키며 개별 통계 방법을 적용하는 것으로 볼 수 있습니다. 주요 차이점은 통계 과학이 도구 자체와 그 적용에 대한 기본 지식을 발전시키는 데 중점을 둔다는 것입니다. 반면에 통계공학은 기존의 방법과 도구, 즉 기존의 통계과학을 어떻게 활용하고, 이러한 도구를 종종 비통계적 도구와 창의적으로 연결하고 통합하여 더 큰 영향력을 발휘하는지에 중점을 둡니다. 더 큰 영향력을 달성하기 위해 기존 과학을 창의적으로 활용하는 것은 모든 공학 분야의 핵심입니다.
분명히 통계 분야가 성장하고 사회에 미치는 영향을 높이려면 통계 과학과 통계 공학이 모두 필요합니다. 우리는 균형 잡힌 접근 방식이 필요하지만 현재 직업의 초점이 통계 과학에 편향되는 경향이 있다고 주장합니다(Snee and Hoerl 2011). 특히, 우리는 크고 복잡하며 구조화되지 않은 문제, 즉 하나의 도구로 해결하기에는 너무 큰 문제를 공격하는 방법에 대한 기본 이론을 개발하는 데 더 큰 중점을 둘 필요가 있다고 생각합니다. 이러한 문제를 해결하려면 정보 기술이나 기타 과학의 창의적인 사용뿐만 아니라 다양한 통계 방법의 창의적인 통합이 필요합니다. 분명히 엔지니어링 접근 방식이 필요합니다. 통계 공학 분야에 대한 추가 배경 정보는 통계 공학에 관한 품질 공학 특별판(Anderson-Cook 및 Lu 2012)을 참조하십시오.
우리는 공정 변수를 사용하여 혼합 문제를 공격할 때 설계 선택과 모델 선택이 함께 진행된다는 점을 언급했습니다. 즉, 우리가 추정할 수 있는 모델은 설계에 따라 결정되며, 추정하려는 모델에 따라 적절한 설계가 달라집니다. 또한 특정 모델을 미리 알고 있다면 해당 모델을 추정하기 위한 최적의 설계를 구축할 수 있습니다. 그러나 많은 실제 상황에서 우리의 주제 지식은 제한되어 있으며 최종 모델이 확실하지 않습니다. 일반적으로 이는 Box 등이 강조한 것처럼 설계 및 분석에 대한 반복적인 접근 방식으로 이어집니다. (2005), Montgomery (2012) 외 다수.
핵심 질문은 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용을 예상하지만 확실하지 않을 때 문제에 가장 잘 접근하는 방법이 그러한 상황이라는 것입니다. 이는 주어진 모델에 대한 최적의 설계가 무엇인지 묻는 것과 매우 다른 질문이며, 주어진 데이터 세트에 적합한 최적의 모델이 무엇인지 묻는 것과도 다릅니다. 후자는 개별 도구의 이론과 실제를 다루기 때문에 통계학적인 질문에 더 가깝습니다. 또한 객관적인 기준에 따라 분석적으로 "정답"을 결정할 수 있습니다. 복잡한 문제를 어떻게 공격할 것인지에 대한 질문은 통계학적인 질문이 아닙니다. 왜냐하면 우리에게는 주어진 조건이 거의 없고 성공에 대해 합의된 객관적 척도가 없기 때문입니다. 즉, 문제가 구조화되지 않은 것입니다.
우리는 더 나은 결과를 얻기 위해 아마도 순차적인 방식으로 설계와 분석을 모두 통합하는 전반적인 접근 방식이 필요하기 때문에 이 전략 질문이 통계 공학에 더 적합하다고 주장합니다. 여러 도구의 통합이 핵심입니다. 이 경우 "더 나은 결과"는 통계적 기준을 기반으로 하거나 시간과 비용을 포함하여 실험 노력을 절약하거나 둘 다를 기반으로 할 수 있습니다. 즉, 최상의 통계적 솔루션을 찾는 것이 아니라 최상의 비즈니스 솔루션을 찾는 데 기반을 둘 수도 있습니다. 이는 지정된 조건에서 최상의 설계나 최상의 모델을 얻는 것보다 더 복잡하고 덜 구조화된 문제입니다. 따라서 통계 공학 관점은 공정 변수의 혼합 문제에 대한 연구 및 권장 전략을 안내합니다.
설계 및 분석에 관한 세 가지 사례 연구
Cornell(2002)은 세 가지 종의 생선 패티(숭어, 양머리, 민어)에 대한 실험 데이터를 제시했습니다. 또한 각 패티는 서로 다른 베이킹 온도, 베이킹 시간 및 튀김 시간에서 조리되었습니다(패티는 굽기도 하고 튀겼습니다). 관심 있는 반응은 결과 패티의 질감이었습니다. 사용된 설계는 순수 혼합, 50-50 혼합 및 중심을 포함한 혼합 변수의 7회 단순 설계였습니다. 프로세스 변수의 경우 8회 실행 2 삼 무슨 달리기 코넬은 표 1에 나열되고 그림 3에 설명된 대로 공정 설계와 혼합물 설계를 교차했습니다. 이 설계에는 총 7*8 = 56개의 런이 있습니다. Cornell은 다음과 같은 선형화 모델을 적용했습니다.
에프(엑스) = 비 1 엑스 1 + 비 2 엑스 2 + 비 삼 엑스 삼 + 비 12 엑스 1 엑스 2 + 비 13 엑스 1 엑스 삼 + 비 23 엑스 2 엑스 삼 + 비 123 엑스 1 엑스 2 엑스 삼 ,
g(z) = 에이 0 +a 1 예를 들어 1 + 에 2 예를 들어 2 + 에 삼 예를 들어 삼 + 에 12 예를 들어 1 예를 들어 2 + 에 13 예를 들어 1 예를 들어 삼 + 에 23 예를 들어 2 예를 들어 삼 + 에 123 예를 들어 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 , 그리고
c(x,z) = f(x)*g(z)
표 1 코넬의 피쉬 패티 질감 데이터
눈이 먼 | 튀김 시간 |
25 | 40 |
오븐 시간 |
25 | 40 | 25 | 40 |
오븐 온도 |
325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 |
숭어 | 양머리 | 의사 | 조직 |
1 | 0 | 0 | - 1.84
- 2.86
- 3.01
- 4.13
- 1.65
- 2.32
- 3.04
- 4.13
|
0 | 1 | 0 | - 0.67
- 1.10
- 1.21
- 1.67
- 0.58
- 0.97
- 1.16
- 1.30
|
0 | 0 | 1 | - 1.51
- 1.60
- 2.32
- 2.57
- 1.21
- 2.12
- 2.00
- 2.75
- 0.5
- 0.5
|
0 | - 1.29
- 1.53
- 1.93
- 2.26
- 1.18
- 1.45
- 1.85
- 2.06
- 0.5
|
0 | - 0.5
- 1.42
- 1.81
- 2.57
- 3.15
- 1.45
- 1.93
- 2.39
- 2.82
|
0 | - 0.5
- 0.5
- 1.16
- 1.50
- 1.83
- 2.22
- 1.07
- 1.28
- 1.60
- 2.10
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 1.59
- 1.68
- 1.94
- 2.60
- 1.41
- 1.54
- 2.05
- 2.32
|
f(x)에는 7개의 항이 있고 g(z)에는 8개의 항이 있으므로 개별 항을 곱하여 선형화된 모델을 생성하면 c(x,z)에는 7*8 = 56개의 항이 있습니다. 설계에서 56번의 실행으로 실험 오차를 추정할 수 있는 자유도가 분명히 남아 있지 않았으며 평균 제곱근 오차(RMSE)가 0이었으며 오차항(e)의 표준 편차를 추정할 수 있는 능력이 없었습니다. 즉, 표준 오류. 더욱이, 모델 부적절성의 증거에 대해 잔차를 평가하거나 적합성 부족 테스트를 수행할 기회가 없었습니다. 따라서 Cornell은 표준 오차의 추정치로 반복 측정(실제 반복이 아님) 간의 변동을 사용했습니다. 분명히 이러한 실행 내 변동은 실행 간 변동 원인을 추정하는 것을 허용하지 않으므로 실제 반복실험이나 잔차 자유도에서 추정한 것과 동등한 표준 오차 추정으로 간주될 수 없습니다.
모델을 비교하기 위해 Lenth의 PSE(의사 표준 오차) 방법(Lenth 1989)을 적용하여 Cornell 모델의 표준 오차 추정치를 얻었습니다. Lenth의 방법은 먼저 실제처럼 보이는 효과를 확인한 다음 표준 오차를 추정하기 위해 얻은 자유도를 사용하여 나머지 변수를 삭제합니다. 모형에서 적절한 항을 삭제해야 한다는 점에서 의사 표준 오류입니다.
Prescott(2004)는 노르웨이산 Tjalve, Folke 밀가루와 미국산 Hard Red Spring의 세 가지 밀가루를 사용하여 빵 덩어리의 양을 테스트했습니다. 또한 교정 시간과 혼합 시간이라는 두 가지 공정 변수가 있었습니다. 세 가지 밀가루의 수준에는 제약이 있었습니다: .25 엑스 1 1, 0 엑스 2 .75 및 0 엑스 삼 .75, 여기서 Tjalve는 x입니다. 1 , 사람들은 x입니다 2 , 단단한 붉은색 스프링은 x입니다. 삼 . 단순 혼합 공간에 적용하면 축소된 공간에서 전체 단순이 더 작아집니다. 의사 구성 요소(Cornell 2002)로 변환하면 표준 단순 설계를 계속 활용할 수 있습니다. 모델 비교를 위해 일반성을 잃지 않고 Prescott 혼합물 설계의 의사성분 버전을 사용합니다. Prescott은 혼합물 변수에 대해 10-런 단순 격자 설계를 사용했으며, 3 2 즉, 프로세스 설계에 대한 두 변수의 3단계 요인입니다. 물론 이 디자인에는 9개의 실행이 있습니다.
다시 혼합물 설계와 공정 설계를 교차하면서 Prescott은 표 2에 나열되고 그림 4에 설명된 10*9 = 90 실행 설계를 만들었습니다. Prescott은 혼합 모델 f(x)에 대해 Cornell이 사용한 것과 동일한 7개 항을 가진 특수 3차 모델을 고려했으며, 공정 모델 g(z)에 대해 그는 6개 항을 가진 완전 2차 모델을 고려했습니다.
g(z) = 에이 0 + 에 1 예를 들어 1 + 에 2 예를 들어 2 + 에 12 예를 들어 1 예를 들어 2 +
표 2 프레스콧의 빵 부피 데이터
유사 구성요소 혼합물 | 교정 시간(분) |
35 | - 47.5
| 60 |
혼합 시간(분) |
5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 |
티잘베 | 사람들 | 단단한 붉은 봄 | 덩어리의 양 |
.25 | .75 | 0 | - 378.89
- 396.67
- 392.22
- 445.56
- 452.22
- 487.78
- 457.22
- 500.56
- 472.78
|
.50 | .50 | 0 | - 388.89
- 423.33
- 416.11
- 460.00
- 488.89
- 475.78
- 472.78
- 478.00
- 506.11
|
.75 | .25 | 0 | - 426.11
- 483.33
- 389.44
- 474.44
- 514.44
- 462.78
- 506.67
- 591.67
- 522.22
- 1.0
|
0 | 0 | - 386.11
- 459.11
- 423.33
- 458.33
- 506.11
- 514.44
- 545.56
- 522.22
- 551.11
|
.25 | .50 | .25 | - 417.78
- 437.22
- 444.56
- 484.44
- 490.00
- 495.00
- 497.78
- 531.11
- 577.78
|
.50 | .25 | .25 | - 389.44
- 447.22
- 415.00
- 490.89
- 528.89
- 507.78
- 517.78
- 567.22
- 538.33
|
.75 | 0 | .25 | - 448.33
- 459.44
- 455.56
- 436.00
- 535.00
- 552.22
- 507.44
- 578.89
- 590.00
|
.25 | .25 | .50 | - 413.89
- 485.56
- 462.22
- 483.89
- 529.44
- 540.00
- 565.00
- 598.89
- 580.56
|
.50 | 0 | .50 | - 415.56
- 514.44
- 437.78
- 493.89
- 583.33
- 578.89
- 524.44
- 649.44
- 640.00
|
.25 | 0 | .75 | - 432.78
- 498.33
- 517.22
- 474.44
- 568.33
- 579.44
- 541.11
- 638.89
- 638.89
|
공정 설계가 3단계 설계였기 때문에 2차 항을 추정할 수 있습니다. Prescott은 총 7*6 = 42개의 항을 갖는 c(x,z) = f(x)*g(z) 형식의 여러 선형화된 대화형 모델을 실행했습니다. 90번의 실행을 사용하면 전체 42항 모델을 추정하기에 충분한 자유도가 있었고 표준 오차를 추정할 수 있는 자유도도 여전히 남아 있습니다. 여러 모델을 고려한 후 이 데이터에 대해 Prescott이 제안한 최종 모델은 다음 형식의 축소 모델이었습니다.
와이 = 522.8x 1 + 448.1x 2 + 599.3x 삼 + 13.0x 1 예를 들어 1 + 1.7배 2 예를 들어 1 + 54.3x 삼 예를 들어 1 + 56.3x 1 예를 들어 2 + 37.2x 2 예를 들어 2
+ 73.8x 삼 예를 들어 2 - 39.4배 1 + 3.7배 2 – 46.0x 삼 - 10.2배 1 + 28.4x 2 + 1.0x 삼
x의 교차곱과 관련된 항과 같은 일부 항은 모형에서 제외되었습니다. 나 , 또는 z의 상호작용 1 그리고 z 2 . 실제로 이 최종 모델에는 가능한 42개의 용어 중 15개만 포함되었습니다. 선형화된 모델과 비선형 모델을 비교할 때 이 지점으로 돌아갑니다.
왕 외. (2013)은 2013년 Rutgers University의 첫 번째 저자가 강의한 통계 과정을 위한 수업 프로젝트의 일환으로 혼합/공정 실험 설계를 실행했습니다. 이 실험에는 물, 우유, 오렌지 주스라는 세 가지 혼합 변수와 설탕 첨가(0 또는 2g) 및 사용된 우유 종류(2% 또는 전체)라는 두 가지 공정 변수가 포함됩니다. 반응은 혼합물에서 생성된 얼음이 녹는 시간(분)이었습니다. 혼합물 설계는 의사성분 형태의 순수 성분, 50-50 혼합, 체크포인트 및 중심을 포함하는 10-런 단순 설계였습니다. 이것이 그림 2에 설명된 디자인입니다. 프로세스 설계를 위해 Wang은 2를 실행했습니다. 2 4번의 실행으로 팩토리얼을 수행합니다. 10*4 = 40회 실행의 교차 설계와 결과 응답이 표 3에 제공되고 그림 5에 설명되어 있습니다.
표 3 Wang et al. 녹는 시간 데이터
혼합물 | 우유 종류 |
2% | 전체 |
설탕 |
0g | 2g | 0g | 2g |
물 | 우유 | 주스 | 녹는 시간 |
1/6 | 1/6 | 2/3 | - 29.43
- 24.31
- 34.94
- 32.97
|
0 | - 0.5
- 0.5
- 37.36
- 32.89
- 45.69
- 39.06
- 0.5
- 0.5
|
0 | - 33.32
- 28.34
- 41.78
- 35.84
|
1 | 0 | 0 | - 19.13
- 17.73
- 23.7
- 22.16
|
2/3 | 1/6 | 1/6 | - 11.24
- 22.49
- 29.76
- 25.43
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 8.32
- 26.29
- 36.97
- 13.30
|
0 | 0 | 1 | - 30.41
- 23.25
- 31.92
- 29.45
- 0.5
|
0 | - 0.5
- 21.86
- 22.88
- 27.09
- 26.21
|
1/6 | 2/3 | 1/6 | - 37.35
- 28.43
- 42.92
- 39.95
|
0 | 1 | 0 | - 48.64
- 33.00
- 45.08
- 47.35
|
왕 외. (2013)은 f(x)에 대한 7항 특수 삼차를 사용하여 선형화된 모델과 g(z)에 대한 4항 요인 프로세스 모델을 피팅했는데, 이는 절편, 2개의 주효과 및 2요인 상호 작용이 있었습니다. 따라서 모든 항을 곱하면 c(x,z)는 방정식 3에 주어진 28항 선형화 모델이 됩니다. 40번의 실행과 28개의 항을 추정하여 표준 오차를 추정하는 데 12개의 자유도가 남았습니다.
선형 및 비선형 모델과 결과
이러한 각 설계 및 데이터 세트에 대해 상호 작용을 추정할 항이 없는 선형 가산 모델 c(x,z) = f(x) + g(z)와 같은 훨씬 작은 모델을 고려할 수도 있습니다. 혼합물과 공정 변수 사이, 그리고 비선형 모델 사이. 비선형 모델을 추정하려면 항을 곱하지 않고 직접 c(x,z) = f(x)*g(z)에 대한 최소 제곱 솔루션을 찾습니다. 이전에 언급한 것처럼 이 모델은 매개변수에서 비선형입니다. 예를 들어, 두 개의 혼합 변수와 하나의 공정 변수가 있는 단순한 경우:
c(x,z) = ( 비 1 엑스 1 + 비 2 엑스 2 + 비 12 엑스 1 엑스 2 )* (ㅏ 0 + 에 1 z) (4)
이러한 5개 계수 각각을 추정한다고 가정하면 방정식 4를 5개 계수가 있는 비선형 방정식으로 간주하고 비선형 최소 제곱을 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 이전에 언급한 바와 같이, 방정식 4는 과도하게 결정되고 고유한 최소 제곱 솔루션이 없기 때문에 실제로 추정할 계수는 4개뿐입니다. 임의로 설정하여 0 = 1.0이면 일반적으로 다른 매개변수에서 고유한 최소 제곱 솔루션을 얻을 수 있습니다. 0이 아닌 다른 값을 사용하여 0 R과 같은 모델 측정항목은 변경되지 않습니다. 2 , 표준 오류 등이 있습니다. 물론, 비선형 최소제곱법으로는 고유한 솔루션이 보장되지 않습니다.
비선형 모델을 맞추기 위해 표준 MacBook Pro 노트북에서 실행되는 JMP Pro 10의 비선형 회귀 알고리즘을 사용합니다. 이전에 언급했듯이 비선형 모델을 실행하는 것은 선형 모델보다 더 어렵지만 최신 소프트웨어를 사용하면 확실히 가능하며 이러한 유형의 문제에 대해 실행 가능한 옵션임을 제안합니다. 선형 덧셈 및 비선형 모델을 이 세 가지 데이터 세트에 피팅하여 얻은 결과를 논의하기 전에 비선형 모델의 계수 해석에 대해 간략하게 논의합니다. 혼합 항의 해석이 다음과 같은 문헌에서 광범위하게 논의되었기 때문에 선형 덧셈 모델에 대해서는 논의하지 않습니다. 쉬프 (1963), Cornell (2002) 및 기타 다수.
방정식 4에서 비선형 모델의 항을 추정한 후 해석을 돕기 위해 추정된 항을 자유롭게 곱할 수 있습니다. 이는 선형화된 모델을 생성하는 계수를 추정하기 전에 항을 곱하여 얻은 모델과 매우 다른 모델을 생성한다는 점에 유의하십시오. 그래서, 설정하기로 결정한 것은 0 = 1은 다른 값보다 모델 해석을 더 간단하게 만듭니다. 방정식 4에 대한 비선형 접근 방식의 추정된 항을 곱하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
= ( 1 엑스 1 + 2 엑스 2 + 12 엑스 1 엑스 2 )*(1 + 1 지)
= ( 엑스 1 + 엑스 2 + 12 엑스 1 엑스 2 ) + ( 엑스 1 + 엑스 2 + 12 엑스 1 엑스 2 )* 1 z (5)
일반성을 잃지 않으면서 z가 평균 0을 갖도록 스케일링된다고 가정할 수 있습니다. 따라서 z가 평균값일 때 방정식 5는 순수 혼합 모델 f(x)인 왼쪽 부분으로 단순화됩니다. 따라서 혼합 계수를 공정 변수의 중간점에서 추정한 혼합으로 해석하거나 전체 설계에 걸친 평균 혼합으로 해석할 수 있습니다. 이 해석은 z와의 상호작용이 있는지 여부를 유지합니다. 해석 1 더 복잡합니다. 방정식 5에서 z가 나타나는 유일한 위치는 일련의 상호 작용을 통해서입니다.
이는 비선형 모델이 z와 혼합 변수의 상호 작용만으로 z의 주 효과를 추정할 수 없음을 의미합니다. 이는 z의 주효과와 x와의 상호작용을 통합하는 데 사용할 수 있는 유일한 계수이기 때문입니다. 나 ~이다 1 . f(x)는 절편을 사용하여 여유 변수 모델로 다시 작성할 수 있지만 z의 주 효과와 혼합 변수와의 상호 작용을 모두 통합할 수 있는 자유도는 여전히 1개뿐입니다. 우리는 이것을 비선형 접근 방식의 단점으로 보고 실제 결과는 큰 공정 변수 주효과와 혼합물과 공정 변수 간의 심각한 상호 작용으로 표면을 맞추는 데 약간의 어려움이 있을 것이라고 추측합니다.
우리는 이 해석을 그의 생선 패티 실험에서 나온 7항 특수 입방 혼합 모델 및 8항 공정 변수 모델과 같은 더 큰 비선형 모델로 확장할 수 있습니다. c(x,z) = f(x)*g(z)를 비선형 모델로 직접 추정하면 7 + 8 – 1 = 14개의 계수를 추정하게 됩니다. 우리가 0 = 1. 비선형 최소 제곱을 사용하여 이러한 14개 계수를 해결한 후 해석을 돕기 위해 항을 곱할 수 있습니다. 그렇게 하면 다음이 생성됩니다.
(x)*(1 + 1 예를 들어 1 + 2 예를 들어 2 + 삼 예를 들어 삼 + 12 예를 들어 1 예를 들어 2 + 13 예를 들어 1 예를 들어 삼 + 23 예를 들어 2 예를 들어 삼 + 123 예를 들어 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 ),
1 곱하기 (x), 더하기 1 예를 들어 1 곱하기(x), 더하기 2 예를 들어 2 번(x) 등입니다. 즉, 모델에서 (x)*1을 제외한 다른 모든 항은 다음과 같습니다. 나 하나 이상의 z를 곱함 나 , 배(x). 따라서 z의 주요 효과는 없습니다. 나 z의 상호작용으로부터만 추정할 수 있습니다. 나 방정식 5의 상황과 유사한 혼합 변수(및 해당 상호 작용)를 사용합니다. 마찬가지로, z 사이의 상호작용 나 , 와 같은 1 예를 들어 2 예를 들어, 이 항과 혼합 항 사이의 상호 작용만으로는 추정할 수 없습니다.
실용적인 관점에서 z에 대한 개별 계수를 추정할 수 없음 1 그리고 x 1 예를 들어 1 예를 들어, z와 같은 상호 작용에 대한 개별 계수를 추정할 수 없는 것보다 더 큰 문제가 됩니다. 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 그리고 x 1 엑스 2 엑스 삼 예를 들어 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 , 디자인의 해상도 측면에서(Box et al. 2005). 즉, 실무자들은 6가지 요소 상호작용의 실질적인 중요성에 대해 거의 관심을 두지 않을 것입니다.
선형 덧셈 모델 c(x,z) = f(x) + g(z)와 비선형 모델 c(x,z) = f(x)*g(z)를 모두 세 데이터에 피팅 이전에 논의한 세트를 통해 표 4에 표시된 결과를 얻습니다. Cornell 및 Wang 데이터 세트의 경우 하위 세트 선택을 시도하지 않고 완전한 모델을 적합했습니다. 선형 덧셈 모델과 비선형 모델 모두에 대해 Prescott 데이터를 사용하면 Prescott이 최종 선형 모델에 사용하기 위해 선택한 f(x) 및 g(z)의 항만 통합합니다. 특히 f(x)의 경우 x만 사용합니다. 1 , x 2 , 및 x 삼 . g(z)의 경우 z를 포함합니다. 1 , 예를 들어 2 , , 그리고 . 이러한 의미에서 Cornell과 Wang 비교는 하위 집합 선택이 없는 "사과 대 사과"이고 Prescott 비교는 Prescott에 의해 하위 집합 선택이 적용된 "사과 대 사과"입니다.
우리가 사용하는 수치 기준은 추정 표준 오차, 즉 RMSE(평균 제곱근 오차)입니다. 분명히 모델의 "좋음"을 결정할 수 있는 단일 측정항목은 없습니다. 실제로 적절한 모델을 개발하려면 몇 가지 수치 기준을 살펴보고, 잔차 플롯을 평가하고, 결과를 고체 주제 이론과 비교하는 등의 작업이 필요합니다. 독자는 모델 구축에서 RMSE에만 집중할 것을 권장한다고 추론해서는 안 됩니다. 그러나 모델 비교를 위해 모델이 데이터에 적합한 정도를 측정하기 위한 편리한 객관적 기준으로 추정 표준 오차를 사용합니다.
표 4에서 우리는 두 가지 경우에 선형화된 모델이 가장 작은 추정 표준 오차를 제공하고 코넬 데이터에 대해 거의 가장 작다는 것을 알 수 있습니다. 선형 덧셈 모델은 어떠한 상호 작용도 수용하지 않으며 비선형 모델은 앞서 언급한 제한 사항을 가지고 있다는 점에서 이는 놀라운 일이 아닙니다. 우리는 이 세 가지 분석을 통해 충분한 자유도를 사용할 수 있는 경우 이 기준을 적용하는 세 가지 모델을 기반으로 선형화된 모델이 선호되는 접근 방식이라는 결론을 내렸습니다.
표 4 선형화, 선형 추가 및 비선형 모델의 RMSE
코넬 데이터 프레스콧 데이터 왕 데이터
선형화됨 0 .17* 21.0 1.36
선형 첨가제 0 .24 24.3 2.38
비선형 0 .16 23.1 2.05
*오류에 대한 df가 없기 때문에 Lenth의 방법을 사용하여 계산했습니다.
그러나 자세히 살펴보면 Cornell 데이터와 Prescott 데이터라는 두 가지 데이터 세트의 경우 모델 간의 차이가 예상만큼 크지 않으며 실제로 비선형 모델 RMSE가 약간 크다는 것을 알 수 있습니다. Cornell 데이터의 선형 모델 RMSE보다 작습니다. 오류를 추정할 수 있는 자유도가 없기 때문에 선형화된 모델 RMSE는 Lenth의 방법을 사용하여 계산됩니다. 비선형 접근 방식의 성능은 이러한 모델에서 추정된 계수 수의 차이 크기를 고려할 때 인상적입니다. Cornell 모델의 경우 14(선형 추가 또는 비선형) 대 56(선형화), Prescott의 전체 모델의 경우 12 대 42 (Prescott의 축소된 모델 항만 사용하는 경우 7 대 15), Wang 모델의 경우 10 대 28입니다. 비선형 및 선형 추가 모델은 훨씬 더 간결합니다.
선형 가산법과 비선형 접근법이 Wang 데이터에 잘 작동하지 않는 이유에 대한 한 가지 가능한 설명은 혼합물과 공정 변수 사이에 이 데이터와 매우 중요한 상호 작용이 있다는 것입니다. 예를 들어, 우유*설탕*우유 유형에 대한 선형 모델의 항(x 2 예를 들어 1 예를 들어 2 ) 및 우유*주스*설탕*우유 종류(x 2 엑스 삼 예를 들어 1 예를 들어 2 )은 둘 다 .01 수준에서 통계적으로 유의미합니다. 물*우유*설탕*우유 종류(x) 1 엑스 2 예를 들어 1 예를 들어 2 )은 .01 수준에서 거의 유의미합니다(p 값 = .0101). 우리의 경험에 따르면, 4가지 요인의 상호작용이 그렇게 중요하다는 것을 발견하는 것은 매우 이례적입니다. 공정 변수와 혼합물 변수 간의 상호 작용에 대한 항을 포함하지 않는 선형 모델은 분명히 그러한 상호 작용을 효과적으로 모델링할 수 없습니다. 비선형 모델에는 좋은 근사치를 제공할 만큼 충분한 항이 없습니다. 이렇게 중요한 고차원 상호작용으로 인해 선형화된 접근 방식이 필요할 가능성이 높습니다.
표 4에서 볼 수 있는 상대적으로 낮은 차이를 고려하면 초기 실험의 양을 줄임으로써 상당한 시간과 비용을 절약할 수 있을 것으로 보입니다. 확실히 모든 항을 사용하여 Prescott 비선형 모형에서 12개의 항을 추정하는 데 90번의 실행이 필요하지 않으며 Cornell 비선형 모형에서 14개의 항을 추정하는 데 56번의 실행이 필요하지 않습니다. 이 질문에 답하기 위해 우리는 이러한 각 모델이 실제로 실행되는 설계의 일부에 어떻게 적합한지 평가합니다.
분수 설계 결과
우리가 논의한 각 디자인은 혼합물 디자인과 공정 디자인을 교차하여 제작되었습니다. 따라서 총 실행 횟수는 n이었습니다. 1 *N 2 , 여기서 n 1 는 혼합물 설계의 숫자이고 n은 2 프로세스 디자인의 숫자입니다.코넬의 생선 패티 디자인의 경우 이는 7*8 = 56이었습니다. 비선형 모델에 대해 위에 표시된 결과를 고려할 때 논리적인 질문은 56번의 실행이 모두 실제로 필요한지, 아니면 Cornell이 훨씬 더 작은 설계를 실행하여 거의 동일한 결과를 얻을 수 있었는지 여부입니다. 56-런 설계 실행에 대해 Cornell(2002)이 제시한 정당성 중 하나는 선형화된 모델의 모든 계수를 추정해야 한다는 것이었습니다.
Cornell(2002)은 또한 실험자가 전체 설계를 실행할 수 없는 경우 혼합물 공간의 각 지점에서 공정 설계의 일부를 실행하여 부분 설계를 생성할 수 있다고 언급했습니다. 가능한 한 많은 항을 추정할 수 있도록 하기 위해 Cornell은 공정 설계의 어느 부분이 혼합물 설계의 다른 지점에서 실행되는지 전환할 것을 제안했습니다. 예를 들어 프로세스 변수가 세 개인 경우 z를 실행할 수 있습니다. 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 = 혼합물 설계점의 대략 절반에 있는 1/2 분수, z 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 = 나머지 절반에서는 -1입니다. Cornell은 가능하다면 혼합물 공간의 중심에서 전체 공정 설계를 실행할 것을 권장했습니다. 그는 이 부분 설계가 실행되면 실험자는 전체 선형 모델을 추정할 수 없지만 이러한 항의 하위 집합을 추정하는 것으로 제한될 것이라고 지적했습니다.
생선패티의 경우 혼합설계가 7점, 공정설계가 8점으로 나타났다. 중심에서 8개 점을 모두 실행한 다음 다른 모든 점에서 4(반분수)를 실행하면 32개 점으로 구성된 분수 설계가 생성됩니다. 이는 선형화된 생선 패티 모델의 모든 항을 추정하기에는 충분하지 않지만 비선형 또는 선형 가산 모델의 14개 항을 추정하기에는 충분합니다. 그림 6에서는 z를 사용한 분수 설계를 보여줍니다. 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 = 1은 순수 혼합에서 실행되고 z는 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 = 50-50 혼합에서 -1 실행. 그래픽 해석을 용이하게 하고 그림 3과의 비교를 가능하게 하기 위해 구성 방법은 위에서 언급한 바와 같지만 프로세스 설계의 각 지점에서 실행되는 혼합 지점을 다시 표시합니다.
비선형 모델이 축소된 데이터 세트에 얼마나 잘 맞는지 확인하는 것 외에도 모델을 더 잘 평가할 수 있는 자연스러운 홀드아웃 샘플도 있습니다. 즉, 비선형 모델을 추정하는 데 32개의 실행만 사용됩니다. 따라서 모델 항을 추정한 후에는 이 모델을 사용하여 이 모델을 추정하는 데 사용되지 않은 24개의 실행을 예측할 수 있습니다. 이러한 홀드아웃 샘플은 일반적으로 모델이 이 데이터를 보지 못했고 피팅 프로세스 중에 영향을 받을 수 없기 때문에 추정된 모델을 평가하는 데 더 유효한 기준으로 간주됩니다. 표 5는 그림 6에 표시된 분수 설계에 선형 가산 모델과 비선형 모델을 모두 먼저 적용한 결과와 홀드아웃 데이터를 예측할 때 예측 표준 오차(RMSE)를 보여줍니다. Cornell의 모델에는 분수 설계로 추정하기에는 항이 너무 많으므로 선형화된 모델은 옵션이 아닙니다.
분명히, 순수 블렌드 대 50-50 블렌드에서 실행된 부분 설계를 임의로 뒤집을 수 있습니다. 따라서 완전성을 위해 그림 6에 표시된 설계를 부분 설계 1로 간주하고 부분 설계 2를 z가 다음과 같은 것으로 정의합니다. 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 = -1은 순수 혼합에서 실행되고 z 1 예를 들어 2 예를 들어 삼 = 1은 50-50개의 블렌드에서 실행됩니다. 다시 말하면, 전체 8개의 프로세스 설계 포인트가 중심에서 실행됩니다.
표 5 코넬 분수 설계를 사용한 예측 결과
*오류에 대한 df가 없기 때문에 Lenth의 방법을 사용하여 계산했습니다.
표 5에서 두 부분 설계의 경우 비선형 모델이 "훈련" 데이터를 잘 맞추고 홀드아웃 데이터를 합리적으로 잘 맞추는 점에 유의하세요. 예측 RMSE는 두 부분 설계 모두에서 0.22로 원래 0.16 RMSE보다 높지만 원래 56회 실행 중 32회만 사용했다는 점을 고려하면 이는 43% 감소한 것입니다. 선형 덧셈 모델은 또한 전체 데이터 세트에 적합하게 일관되게 수행됩니다. 이전에 언급한 바와 같이, 우리의 유일한 목표가 모델 적합성을 최대화하는 것이라면 선형화된 모델을 사용한 완전히 교차된 설계가 선호됩니다. 그러나 시간과 비용이 중요한 고려 사항이라면 예측 정확도는 낮지만 훨씬 적은 실험 노력으로 얻은 비선형 모델을 고려해야 합니다.
Prescott의 혼합 설계는 각 순수 혼합 사이에 두 개의 모서리 점과 중심이 있는 단순 격자였습니다. 이것은 3으로 교차되었습니다. 2 프로세스 디자인. 이러한 조합은 경험적 관점에서 균형을 이루는 부분 설계를 결정하는 데 더 많은 어려움을 안겨줍니다. 다양한 옵션을 고려한 후 부분 설계 1을 전체 3으로 정의합니다. 2 중심에서 z가 있는 지점 1 예를 들어 2 = 순수 블렌드에서는 0이고, z가 있는 지점은 1 = 예 2 = 0이고 또한 z 1 예를 들어 2 = (2/3, 1/3, 0), (0, 2/3, 1/3) 및 (1/3, 0, 2/3)의 세 가지 에지 포인트에서 +/-1입니다.그 결과 그림 7과 같이 39회 분할 설계(9 + 5*3 + 5*3)가 생성됩니다. 부분 설계에는 원래 90개 런 설계에 비해 점 수가 절반도 채 되지 않습니다. 전체 3을 다시 실행하여 부분 설계 2를 얻었습니다. 2 중심에서, 그러나 세 개의 가장자리 점에 대해 순수한 혼합에서 실행되는 프로세스 점을 역전시킵니다.
Prescott 분수 설계에 대한 예측 결과는 표 6에 나와 있습니다. Prescott 선형화 모델의 경우 Prescott이 유지한 15개 항만 최종 모델에 사용되었으므로 부분 설계로 이 모델을 추정할 수 있습니다. 이를 통해 선형화된 모델을 선형 덧셈과 비교할 수 있으며, 비선형 모델을 팩션 데이터와 비교할 수 있습니다. 물론 Prescott이 6개 항의 요인 공정 설계를 사용하여 7개 항의 완전 특수 3차 혼합 모델을 실행했다면 모든 항을 추정하는 데 필요한 42 자유도를 갖지 못할 것입니다.
표 6에서 선형화된 모델이 훈련 데이터를 사용하는 부분 설계와 매우 잘 작동한다는 것을 알 수 있습니다. 실제로 두 설계의 RMSE는 전체 데이터 세트에서 얻은 RMSE보다 낮습니다. 이는 Prescott이 전체 데이터 세트에서 선형화된 모델에 필요한 매개변수를 결정했다는 사실로 부분적으로 설명될 수 있습니다. 이러한 의미에서 선형화된 모델을 분수 데이터에 맞출 때 전체 데이터 세트의 정보를 사용합니다. 그러나 이러한 39개의 데이터 포인트를 사용하여 전체 선형 모델의 모든 항을 추정할 수는 없습니다. 그러나 선형화된 모델은 홀드아웃 데이터를 예측하는 데 훨씬 더 나쁜 성능을 발휘합니다. 실제로 두 부분 설계의 경우 선형화된 예측 RMSE는 선형 및 비선형 모델의 RMSE보다 큽니다.
다시 말하지만, 선형 가산 및 비선형 모델은 두 설계 모두에 대해 훈련 세트의 RMSE에 합리적으로 가까운 예측 RMSE를 제공합니다. Cornell 데이터의 경우와 마찬가지로 부분 설계에 선형 추가 또는 비선형 모델을 맞추는 것이 전체 90회 설계 실행에 대한 실행 가능한 대안을 제공한다는 것을 알 수 있습니다.
표 6 프레스콧 분수 설계를 사용한 예측 결과
Wang의 원래 디자인은 50-50개의 가장자리 포인트와 체크포인트가 있는 10-런 단순형이었고 2개의 교차점이 있었습니다. 2 프로세스 설계로 인해 10*4 = 40개의 실행이 발생합니다. 전체 2를 실행하여 부분 설계 1을 얻습니다. 2 중심 및 순수 혼합에서 절반 분수 z 1 예를 들어 2 = 50-50개의 가장자리 지점에서 1, 절반 분수 z 1 예를 들어 2 = 체크포인트에서 -1. 결과적으로 그림 8과 같이 4*4 + 2*3 + 2*3 = 28번의 실행이 발생합니다. 분수 설계 2는 50~50개의 가장자리 지점과 체크포인트에서 분수 실행을 역전시켜 얻은 것입니다.
이러한 부분 설계를 사용하여 예측 RMSE 측면에서 선형화, 선형 가산 및 비선형 모델을 다시 비교합니다. Wang이 실행하는 선형 모델에는 28개의 매개변수가 있으므로 오류를 추정할 자유도가 남아 있지 않더라도 이 전체 모델을 추정할 수 있습니다. 따라서 비교 목적으로 선형화된 모델의 RMSE 대신 Lenth의 의사 표준 오류를 다시 사용합니다. 이러한 비교 결과는 표 7에 나와 있습니다.
표 7 왕 분수 설계를 사용한 예측 결과
*오류에 대한 df가 없기 때문에 Lenth의 방법을 사용하여 계산했습니다.
아마도 표 7에서 가장 주목할만한 점은 선형화된 모델의 잘못된 예측입니다. 대부분 이는 부분 설계의 오류를 추정할 수 있는 자유도가 0이기 때문일 수 있습니다. 우리의 견해에 따르면, 이것의 핵심 교훈은 새로운 데이터를 예측하기 위해 오류에 대한 자유도가 없거나 거의 없는 회귀 모델을 사용할 때의 위험입니다. 모델 평가 및 검증은 어려운 작업입니다. 오류에 대한 자유도가 거의 또는 전혀 없는 상태에서 그렇게 하면 잘못된 예측이 발생할 가능성이 높습니다. 선형 가산 모델과 비선형 모델은 더 나은 성능을 발휘하며 표본 외 예측 측면에서 서로 거의 동일합니다. 선형 덧셈 모델이나 비선형 모델 모두 전체 데이터 세트를 사용하여 선형화된 모델에 가까운 RMSE를 생성하지 않았습니다. 그러나 표본 외부 예측에서는 둘 다 선형화된 모델보다 더 나은 성능을 발휘합니다. 다시 말하지만, 우리는 이것이 부분 설계에서 실행되는 선형 덧셈 및 비선형 모델이 실제로 고려할 수 있는 실행 가능한 대안이라는 몇 가지 증거를 제공한다고 주장합니다.
우리는 무엇을 배웠는가?
우리는 두 개의 공개된 혼합 공정 데이터 세트와 하나의 새로운 데이터 세트를 사용하여 선형화, 선형 추가 및 비선형 모델을 비교했습니다. 또한 우리는 원래 데이터 세트를 맞추는 것뿐만 아니라 완전히 교차된(혼합 시간 프로세스) 설계 대신 실행될 수 있는 잠재적인 분수 설계를 맞추는 측면에서도 이러한 접근 방식을 비교했습니다. 우리의 목적은 절대적인 의미에서 최적의 디자인이나 최고의 모델을 찾는 것이 아니라는 점을 반복합니다. 오히려 우리는 잠재적인 상호 작용에 직면하여 혼합 공정 문제를 공격하기 위한 최선의 전략을 결정하기 위한 통계 공학적 접근 방식을 제안합니다. 이러한 전략은 부분 설계와 순차적 접근 방식의 실질적인 이점을 고려할 것입니다.
간단히 말해서, 우리는 이러한 비교를 통해 다음을 배웠다고 주장합니다.
- 충분한 자유도를 사용할 수 있는 경우 혼합 모델의 항과 공정 모델의 항을 곱하여 얻은 선형화된 모델이 데이터에 가장 적합할 가능성이 높으며 표본 데이터 외부에 대한 최상의 예측을 제공합니다.
- 혼합 공정 상호작용을 무시하는 선형 덧셈 모델과 비선형 모델은 선형화된 모델에 대한 실행 가능한 대안을 제공하고 추정할 항 수 측면에서 상당한 이점을 제공합니다.
- 실험자가 선형 가산 또는 비선형 모델 옵션을 고려할 때 부분 설계로 시작하는 순차적 전략은 유용한 모델을 개발하는 데 필요한 총 실험 양을 크게 줄일 수 있는 가능성을 제공합니다.
- 선형 가산 및 비선형 모델이 원래 분수 설계에 충분히 적합하지 않은 경우 실험자는 나머지 완전 교차 설계를 실행하고 선형화된 모델을 적합할 수 있습니다. 이런 의미에서 실험자는 순차적 전략을 고려하면 얻을 것이 많고 잃을 것이 거의 없습니다.
- 간과하지 말아야 할 또 다른 점은 잔차 오류에 대한 자유도가 거의 없거나 전혀 없는 모델은 표본 데이터에 잘 맞을 수 있지만 표본 데이터를 통한 예측을 사용하는 것은 위험하다는 것입니다.
우리가 제안하는 전략은 그림 1에 설명되어 있습니다. 처음에 부분 설계를 실행함으로써 적절한 모델을 적합시키는 데 필요한 실험의 양을 크게 줄일 수 있는 잠재력이 있습니다. 다양한 분수 설계와 다양한 모델의 계수 수는 비교를 위해 표 8에 요약되어 있습니다.
표 8 전체 및 부분 설계의 크기와 모델의 계수 수
데이터 세트 | - 아니요. 전체 설계 실행
| - 아니요. 부분 설계 실행
| 절감 | - 아니요. 선형화된 모델 계수
- 아니요. 선형 가산 모델 계수
- 아니요. 비선형 모델 계수
|
코넬 | 56 | 32 | 43% | 56 | 14 | 14 |
프레스콧 | 90 | 39 | 57% | 42 | 12 | 12 |
왕 외. | 40 | 28 | 30% | 28 | 11 | 11 |
분수 데이터에 대해 선형 가산 모델과 비선형 모델을 모두 실행하는 것이 좋습니다. 비선형 모델이 상당히 더 잘 맞는 경우 이는 혼합물과 공정 변수 간의 주목할만한 상호 작용을 나타냅니다. 물론 선형 덧셈 모델이나 비선형 모델이 잘 맞는다는 보장은 없습니다. 특히, 혼합물과 공정 변수 사이의 높은 수준의 상호작용으로 인해 선형화된 모델이 필요할 것입니다.
실험자가 부분 설계에서 생성된 모델에 만족하지 않는 경우 다른 부분(처음에 실행되지 않은 부분)을 실행하여 전체 디자인을 완료할 수 있습니다. 이 옵션은 연구 시작 시 채택한 전략의 일부여야 합니다. 이 접근 방식을 사용하면 전체 선형 모델을 추정할 수 있습니다. 시간이 지남에 따라 첫 번째 부분과 두 번째 부분 사이에서 설계를 효과적으로 차단하려면 1개의 자유도가 필요합니다. 그렇지 않으면 순차적으로 실험하는 것이 가능하다고 가정하면 이 접근 방식에는 실제 단점이 없습니다. 우리는 비선형 모델의 기초가 되는 이론이 선형 모델만큼 발전되지 않았다는 점을 다시 한 번 인정합니다.
물론 그림 1의 모델 적합성 단계는 RMSE 평가에만 국한되어서는 안 됩니다. 이 결정 단계에는 잔차에 대한 주의 깊은 조사, 잠재적 이상치 평가, 이 문제에 대한 현재 도메인 지식과의 비교 등을 포함하여 모델 적합성에 대한 완전한 평가가 포함됩니다. 선형화된 모델의 이러한 평가는 가정되므로 이를 그림 1의 다른 단계로 포함하지 않았습니다. 이 그림의 목표는 Box et al에서 논의된 것처럼 건전한 통계 모델 구축의 세부 사항을 설명하는 것과는 달리 순차적 방식으로 다양한 모델을 평가하는 방법을 보여주는 것입니다. (2005), 예를 들어.
독자는 이 기사에서 비선형 설계에 맞는 최적의 비율을 선택하기 위한 컴퓨터 지원 설계의 가능성을 조사하지 않는다는 점에 주목할 것입니다. 우리는 혼합 공정 문제에서 비선형 모델에 대한 컴퓨터 설계 적용에 대한 연구가 우리가 제시한 것보다 더 나은 결과를 제공할 수 있다고 믿습니다. 우리는 이것을 향후 연구에 맡깁니다.
실행 가능한 전략이 개발, 테스트 및 설명되었습니다.
우리는 서로 상호 작용할 가능성이 있는 것으로 간주되는 혼합 변수와 공정 변수를 모두 사용하여 실험을 설계하고 모델을 맞추는 문제를 고려합니다. 이러한 문제에 대한 일반적인 접근 방식은 공정 변수에서 완전 요인 설계와 교차하는 완전 혼합물 설계를 실행하는 것입니다. 이러한 설계를 사용하면 선형화된 모델(혼합 모델의 모든 항과 공정 모델의 모든 항을 교차하여 생성된 모델)의 모든 계수를 추정할 수 있습니다. 그러나 이를 추정하는 데 필요한 모델과 설계는 모두 상당히 큰 경향이 있습니다. 예를 들어 Prescott의 빵 만들기 사례에서는 90런 디자인이 사용되었습니다. Cornell의 생선 패티 디자인에는 56회의 실행이 필요했습니다.
우리는 실험자가 아마도 최적의 모델은 아닐 수도 있는 좋은 모델을 원하고 90회 또는 56회 실행보다 훨씬 적은 실험으로 그러한 모델을 얻고 싶어하는 경우를 고려합니다. 이러한 상황에서 우리는 순차적 실험, 훨씬 작은 부분 설계, 선형 가산 또는 비선형 모델 고려를 사용하는 통계 공학 전략이 더 나은 전체 접근 방식을 제공한다고 주장합니다. 반복하자면, 우리는 비선형 모델이 RMSE 또는 예측 RMSE 측면에서 선형 모델보다 우수할 것이라고 주장하지 않습니다. 또한 부분 설계에는 완전 교차 설계만큼 많은 정보가 포함되어 있다고 주장하지 않습니다. 이런 의미에서 우리는 특정 디자인 자체를 제안하는 것이 아니며, 특정 모델 자체를 제안하는 것도 아닙니다.
오히려, 우리는 현재 문헌에서 제안된 접근 방식보다 전반적으로 우수하다고 생각되는 이러한 문제를 공격하기 위한 전략을 제안합니다. 이러한 의미에서 우리가 제안하는 전략은 통계공학적 접근 방식입니다. 여기에 표시된 결과를 바탕으로 순차적 접근 방식이 가능하다고 가정할 때 이 접근 방식이 상당한 실험 시간과 노력을 절약할 수 있는 잠재력을 제공하는 동시에 사실상 단점이 없기 때문에 우수하다는 결론을 내렸습니다. 특히, 비선형 모델은 R, JMP, Minitab 또는 SAS와 같은 최신 통계 소프트웨어를 사용하여 추정하는 것이 매우 간단하므로 소프트웨어가 비선형 모델을 고려하는 데 방해가 될 필요는 없습니다. 또한 우리는 유사한 접근법이 혼합물/공정 변수 모델을 넘어 다른 반응 표면 응용 분야에서 더 일반적으로 사용될 수 있다고 믿지만 이는 향후 연구 주제입니다.
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