<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />roger w. Hoerl, PhD, profesor asistente de estadística Brate-Peschel, Union College
ronald d. Snee, PhD, presidente, Snee Associates
Experimentos de mezcla/proceso eficiente utilizando modelos no lineales
9/2015
ronald d. Snee, Snee Associates, Newark, DE
roger w. Hoerl, Union College, Schenectady, Nueva York
Gabriella Bucci, Academia al aire libre, Sarasota, FL
Derechos de autor: Ronald D. Nieve, Roger W. Hoerl y Gabriella Bucci 2015
Nota: Este artículo se encuentra actualmente bajo revisión editorial bajo el título: "Un enfoque de ingeniería estadística para experimentos de mezclas con variables de proceso".
Abstracto: Se analiza la experimentación tanto con los componentes de la mezcla como con las variables del proceso, especialmente cuando es probable que haya interacción entre estos dos conjuntos de variables. Consideramos cuestiones de diseño y análisis dentro del contexto de abordar un problema real de mezcla/proceso. Nos centramos en una estrategia para atacar tales problemas, en lugar de encontrar el mejor diseño o el mejor modelo posible para un conjunto de datos determinado. En este sentido, se utiliza un marco de ingeniería estadística.En particular, cuando consideramos el potencial de ajustar modelos no lineales parsimoniosos en lugar de modelos linealizados más grandes, encontramos una oportunidad significativa para reducir el tamaño de los diseños experimentales. En la práctica es difícil saber qué tipo de modelo se ajustará mejor a los datos resultantes. Por lo tanto, se recomienda una estrategia integrada y secuencial de diseño y análisis. Utilizando dos conjuntos de datos publicados y un conjunto de datos nuevo, encontramos que en algunos casos los modelos no lineales, o modelos lineales que ignoran la interacción, permiten una reducción de la experimentación del orden del 50%. En otros casos, los modelos no lineales pueden no ser suficientes. Por lo tanto, proporcionamos directrices sobre cuándo es probable que dicho enfoque tenga éxito y proponemos una estrategia general para tales problemas.
Palabras clave: mezclas, modelos de mezclas, experimentación de mezclas, modelos no lineales
Introducción
Los problemas de mezcla, donde las proporciones de los ingredientes deben sumar 1,0, ocurren en muchas industrias y áreas de aplicación, como el desarrollo de alimentos, productos farmacéuticos y productos químicos, por nombrar solo algunos. En muchas aplicaciones de mezclas, no es sólo la formulación la que afecta la respuesta final, sino también las variables del proceso. Por ejemplo, al producir un vino de mezcla, el sabor final y otras características importantes dependen no sólo de las proporciones de las variedades de uva utilizadas, sino también de variables del proceso, como las condiciones climáticas de la temporada de crecimiento, el momento en que se cosechan las uvas, las temperaturas a diversas etapas del proceso de fermentación, tipo de barricas de crianza utilizadas, etc.
En algunos casos, los componentes de la mezcla y las variables del proceso no interactúan. En el ejemplo del vino, esto significaría que la fermentación y otros procesos podrían optimizarse sin tener en cuenta qué variedades de uva se utilizaron. Este escenario llevaría a utilizar modelos aditivos que combinen un modelo de mezcla más un modelo de variable de proceso. En otros casos, este escenario aditivo no se aplicará, porque las mejores condiciones de procesamiento podrían depender de las variedades utilizadas. En ese caso, habría interacción entre la mezcla y las variables del proceso. El escenario de interacción conduciría a modelos que incorporan términos para dar cuenta de la interacción entre la mezcla y las variables del proceso.
Los diseños experimentales que normalmente se utilizan cuando se anticipa dicha interacción tienden a ser grandes, para acomodar el número de términos en modelos lineales que incorporan interacción (Cornell 2002, 2011). Por supuesto, si uno sabe por el conocimiento del tema o por experimentación previa cuál será la forma del modelo final, puede diseñar un experimento óptimo o casi óptimo para estimar ese modelo específico. Consideramos la situación más común en la que los experimentadores sospechan de interacción, pero no confían en especificar la forma del modelo final antes de ejecutar el diseño y obtener los datos posteriores. Por lo tanto, no nos centramos en el diseño óptimo para un modelo determinado ni en el modelo óptimo para un conjunto de datos determinado. Más bien, nos centramos en una estrategia para atacar tales problemas, considerando diseños y modelos alternativos y teniendo en cuenta la necesidad de eficiencia al abordar los problemas en la práctica.
En este sentido, adoptamos un enfoque de ingeniería estadística (Hoerl y Snee 2010, Anderson-Cook y Lu 2012) para identificar los enfoques más efectivos y eficientes para abordar las aplicaciones de mezclas/procesos que ocurren en los negocios, la industria, la investigación o el gobierno.En particular, encontramos que una consideración seria de los modelos no lineales en los parámetros puede proporcionar una alternativa eficiente a los modelos tradicionales lineales en los parámetros. Si bien ajustar modelos no lineales es más desafiante que ajustar modelos lineales, el software moderno, como R, JMP, Minitab o SAS, permite a los usuarios estimar e interpretar modelos no lineales con bastante facilidad, al menos en comparación con el software comercial de 10 a hace 20 años.
Los modelos no lineales tienen menos parámetros para estimar para el mismo problema de mezcla/proceso. Por ejemplo, en la aplicación de hamburguesa de pescado de Cornell (Cornell 2002) había 56 términos para estimar en el modelo lineal versus 14 términos en el modelo no lineal. Por lo tanto, si los modelos no lineales proporcionaran una alternativa viable, se podrían adoptar estrategias de diseño fraccional mucho más agresivas para reducir significativamente la experimentación inicial. Reconocemos que la teoría subyacente a los modelos no lineales, para cosas como errores estándar de coeficientes, está menos desarrollada que para los modelos lineales y, a menudo, se basa en resultados asintóticos o aproximados (Montgomery 2012).
En otras palabras, dado que los modelos no lineales requieren menos parámetros para acomodar la interacción entre las variables del proceso y de la mezcla, inicialmente se pueden ejecutar diseños fraccionarios mucho más pequeños. Obviamente, no se necesitan 56 ejecuciones para estimar 14 términos, suponiendo que el costo de la experimentación no sea despreciable. Si el modelo no lineal o incluso un modelo lineal aditivo sin interacción resulta suficiente, entonces el problema puede resolverse con el diseño inicial.
Tenemos mucho que ganar y poco o nada que perder al considerar modelos no lineales. Si estos modelos más pequeños no proporcionan suficiente precisión, entonces se pueden realizar experimentos adicionales de manera secuencial. De esta manera, el mejor de los casos es que reducimos el efecto experimental requerido para resolver el problema hasta en un 50%, mientras que el peor de los casos es que eventualmente tengamos que ejecutar toda la experimentación que un modelo lineal típico con interacción. requeriría. Esta estrategia general se ilustra en la Figura 1. En nuestra opinión, hacer hincapié en el mejor enfoque general para atacar el problema, en lugar de centrarse en el mejor diseño individual para un modelo determinado, o en el mejor modelo individual para un conjunto de datos determinado, es el núcleo de la ingeniería estadística.
El resto del artículo está organizado de la siguiente manera; Primero revisamos los modelos y diseños típicos utilizados en experimentos de mezclas con variables de proceso, incluidos aquellos con interacción. A continuación, revisamos los fundamentos de la ingeniería estadística y discutimos cómo se aplican a este problema específico. Luego presentamos tres conjuntos de datos, dos publicados anteriormente y un conjunto de datos nuevo. Utilizando estos conjuntos de datos, comparamos modelos lineales aditivos, lineales interactivos y no lineales en términos de ajuste de los datos. Además, observamos posibles interpretaciones de los coeficientes del modelo no lineal. A continuación, consideramos los resultados hipotéticos que podríamos haber encontrado con diseños fraccionarios para cada uno de estos problemas. Es decir, analizamos un subconjunto de datos reales según un diseño fraccionario, ajustamos los diferentes modelos y utilizamos los modelos para predecir los datos no utilizados por el modelo. Finalmente, consideramos las implicaciones de este análisis y sugerimos una estrategia para abordar los problemas de mezcla/proceso donde se sospecha interacción.
Modelos típicos utilizados en problemas de mezcla/proceso
Hay muchos diseños y modelos potenciales que se aplican a problemas de mezclas con variables de proceso. Aquí destacamos los modelos y diseños más comunes utilizados en las aplicaciones, particularmente Scheff. modelos (jefe 1963, Cornell 2002), sin intentar proporcionar una revisión exhaustiva. Primero consideramos los modelos de mezcla en sí, luego los modelos de mezcla con variables de proceso sin interacción y luego con interacción. Una vez que terminamos con los modelos, analizamos los diseños que normalmente se ejecutan para permitir el ajuste de estos modelos.
Debido a la restricción de que la suma de los componentes de la formulación sea 1,0, lo que resulta en la pérdida de un grado de libertad, es común simplemente eliminar el término constante de un modelo de regresión lineal estándar. Por ejemplo, con q componentes de la mezcla el Scheff lineal modelo se escribiría:
Debido a que los componentes suman 1,0, lo más significativo no es el valor absoluto de los coeficientes, sino las relaciones entre los coeficientes. Por ejemplo, si b 1 =10, segundo 2 =20, yb 3 =30, con tres componentes, entonces diríamos que x 1 tiene un impacto negativo en la respuesta, porque aumentar x 1 Tendríamos que disminuir cualquiera de los dos x 2 ox 3 en una cantidad igual, de ahí el impacto neto de aumentar x 1 sería disminuir E(y). Puede encontrarse más información sobre la interpretación de los coeficientes de mezcla en Cornell (2002).
Tenga en cuenta que para todos los modelos presentados en este artículo asumimos un término de error aleatorio aditivo, normal independiente e idénticamente distribuido con media 0 y desviación estándar. . Si bien los términos de error son obviamente importantes en cualquier modelo estadístico, este no es un punto clave del presente artículo, por lo que diremos poco sobre este término de error en el futuro.
Hay otros modelos de mezcla que podrían considerarse, como los modelos de "variable de holgura", en los que eliminamos uno de los ingredientes de la mezcla para evitar la restricción de la mezcla y volvemos a agregar el término constante al modelo. Cuando hay curvatura, es común ajustar una cuadrática esquife modelo, que incorpora términos lineales más todos los posibles términos de productos cruzados entre componentes:
Debido a que cada componente puede verse como uno menos la suma de todos los demás componentes, normalmente no consideraríamos los términos de productos cruzados como modelos de interacción en el sentido tradicional de la palabra, sino más bien como modelos de combinación no lineal en general. Cuando hay una combinación no lineal adicional y hay suficientes grados de libertad disponibles, podemos ajustar la curva cúbica especial. esquife modelos:
Esto se considera un modelo cúbico "especial" en el sentido de que no incluye todos los términos de tercer orden, sino que es el modelo cuadrático más todos los posibles productos cruzados entre tres términos. Por ejemplo, la cúbica especial no incluye el término X 2 . Un cúbico completo esquife modelo sería:
donde la d yo son coeficientes cúbicos del exceso binario o "sinergismo" (Cornell 2011 p. 31). Cuando haya variables de proceso en nuestro modelo, usaremos x i para una variable de mezcla, por ejemplo i para una variable de proceso, b i para un coeficiente de mezcla, y un i para un coeficiente de variable de proceso. No consideramos d yo términos. Además, el término genérico f(x) se usará para un modelo con solo ingredientes de mezcla, mientras que g(z) se usará para modelos con solo variables de proceso. Los modelos combinados que incorporen ambos se escribirán c(x,z).
Nuevamente, existen muchos modelos potenciales que pueden aplicarse a variables de proceso y a combinaciones de ingredientes de mezclas y variables de proceso. Aquí nos centramos en los diseños estándar que se aplican con mayor frecuencia en las aplicaciones. Un modelo de variable de proceso lineal sería:
,
donde tenemos r variables independientes. Un modelo de variables de proceso de segundo orden (cuadrático completo) sería:
Tenga en cuenta que la doble suma incluye i=j, por lo tanto, el modelo cuadrático completo incluye términos cuadrados (cuadráticos) en el modelo. Obviamente, montar un modelo de este tipo requiere más de dos niveles en el diseño. Con diseños de dos niveles, se puede utilizar un modelo factorial (términos lineales e interacciones de segundo orden, pero no términos cuadráticos (cuadrados):
Por supuesto, con diseños factoriales completos también podríamos estimar interacciones de orden superior.
En situaciones con variables tanto de mezcla como de proceso, una consideración clave es el grado en que se anticipa la interacción entre la mezcla y las variables del proceso. Si tenemos una teoría o experiencia que sugiere que las variables de mezcla y proceso no interactúan entre sí, entonces podemos ajustar los modelos de mezcla y proceso por separado. En otras palabras, el modelo general sería:
c(x,z) = f(x) + g(z) (1)
Nos referimos a la Ecuación 1 como modelo aditivo lineal. En este caso, f(x) sería cualquier modelo que se considere apropiado para los componentes de la mezcla, y g(z) sería cualquier modelo que se considere apropiado para las variables del proceso.Sin embargo, en muchas situaciones, los componentes de la mezcla y las variables del proceso interactúan. En otras palabras, el mejor momento y temperatura para hornear un pastel pueden depender de los ingredientes del mismo. Por lo general, un vino tinto no se sirve tan frío como un vino blanco, y así sucesivamente. En estos casos, muchos autores, como Cornell (2002, 2011) y Prescott (2004), sugieren multiplicar los modelos de mezcla y de variables de proceso, en lugar de sumarlos. En otras palabras, para dar cabida a la interacción mezcla-proceso podemos utilizar el modelo:
c(x,z) = f(x)*g(z) (2)
Este modelo multiplicativo no es lineal en los parámetros (b i y un i ), por lo tanto, la solución de mínimos cuadrados no se puede obtener en forma cerrada o mediante un software de regresión lineal estándar. Una forma de abordar este problema es multiplicar los términos individuales en f(x)*g(z). Considere el caso donde hay tres variables de mezcla y dos variables de proceso. Para simplificar, supongamos que sabemos que estos modelos tendrán la forma:
f(x) = segundo 1 X 1 +b 2 X 2 +b 3 X 3 +b 12 X 1 X 2 +b 13 X 1 X 3 +b 23 X 2 X 3 +b 123 X 1 X 2 X 3 , y
g(z) = a 0 + un 1 p.ej 1 + un 2 p.ej 2 + un 12 p.ej 1 p.ej 2 ,
el cual sería un modelo de mezcla cúbica especial y un modelo de variable de proceso factorial. Por lo tanto, f(x) tiene siete términos para estimar y g(z) tiene cuatro. Si multiplicamos cada término de f(x) por cada término de g(z), esto produciría 28 términos en un modelo de regresión linealizada. Nos referimos a este modelo como linealizado porque la Ecuación 2 es, de hecho, un modelo no lineal. Multiplicando todos los términos, creamos un modelo lineal en 28 términos. Es decir, tenemos:
c(x,z) = f(x)*g(z) = b 1 X 1 *a 0 +b 1 X 1 *a 1 p.ej 1 +b 1 X 1 *a 2 p.ej 2 +b 1 X 1 *a 12 p.ej 1 p.ej 2 (3)
+b 2 X 2 *a 0 +b 2 X 2 *a 1 p.ej 1 +b 2 X 2 *a 2 p.ej 2 +b 2 X 2 *a 12 p.ej 1 p.ej 2
+ .............+ b 123 X 1 X 2 X 3 *a 12 p.ej 1 p.ej 2
Tenga en cuenta que la Ecuación 3 es lineal en los parámetros si consideramos b 1 a 0 ser un parámetro, b 1 a 1 ser otro, y así sucesivamente. Por lo tanto, la ecuación 3 se puede estimar con un software de regresión lineal estándar, al igual que la ecuación 1. Por supuesto, cuando se obtienen las estimaciones de mínimos cuadrados, el parámetro estimado para x 1 , listado como "b 1 a 0 ”en la Ecuación 3, será igual con probabilidad cero al coeficiente estimado para x 1 en f(x) de la Ecuación 2 ( 1 ) multiplicado por la intersección estimada en g(z) de la Ecuación 2 ( 0 ), si estos términos individuales se estimaran directamente a partir de mínimos cuadrados no lineales. Es decir, las estimaciones de mínimos cuadrados de la Ecuación 3 no se pueden utilizar para determinar las estimaciones de mínimos cuadrados no lineales de la Ecuación 2.
Un punto importante al que volveremos más adelante es la comparación de la Ecuación 2 con la Ecuación 3. La ecuación 2 es un modelo no lineal en los parámetros. Si se estima así, sólo es necesario estimar 11 parámetros, siete para f(x) y cuatro para g(z).En la práctica, sólo se necesitarán 10 parámetros, ya que la ecuación 2 en realidad está sobreespecificada; No puede haber una solución única de mínimos cuadrados para esta ecuación. Esto se puede ver inmediatamente si se considera que al multiplicar f(z) por una constante arbitraria distinta de cero, digamos m, y dividir g(z) por m, el valor de c(x,z) permanecería sin cambios, porque el m y 1/m se cancelarían. Dado que hay un número infinito de constantes m que podrían multiplicarse por cada coeficiente en f(x), cada una de las cuales produce la misma suma residual de cuadrados, no puede haber una solución única de mínimos cuadrados para la Ecuación 2. Abordamos esta sobreespecificación estableciendo un 0 = 1,0. No afirmamos que ésta sea la mejor o la única manera de abordar la sobreespecificación, aunque sí ayuda a la interpretación de los otros coeficientes, como veremos en breve.
El punto clave, por supuesto, es que si se puede estimar la Ecuación 2 directamente como un problema de mínimos cuadrados no lineal, entonces sólo se requerirían 10 grados de libertad para los parámetros estimados, no los 28 que se requieren para la versión linealizada. Esto tiene implicaciones obvias para el diseño experimental cuando se anticipa la interacción. Por supuesto, si no se prevé ninguna interacción, entonces se puede estimar la Ecuación 1, el modelo aditivo lineal. Esta ecuación también está sobreespecificada, ya que a 0 El término no es necesario y, de hecho, no se puede estimar, ya que la intersección ya está incorporada en el modelo de mezcla f(x). Al eliminar la intersección, nuevamente tenemos 10 parámetros para estimar, como lo hacemos en el modelo no lineal.
Diseños experimentales típicos utilizados en problemas de mezcla/proceso
Obviamente, los diseños y los modelos van de la mano, en el sentido de que normalmente tenemos modelos específicos en mente cuando diseñamos un experimento, incluso si no estamos seguros de la forma exacta. En la experimentación de mezclas, existen modelos adecuados para estimar Scheff lineal. modelos y, por supuesto, diseños más grandes adecuados para estimar modelos cuadráticos o cúbicos especiales.
Los diseños simplex se utilizan comúnmente en la experimentación de mezclas. Por lo general, estos se representan en q-1 dimensiones cuando tenemos q componentes. Por ejemplo, si tenemos tres componentes, debido a la restricción de la mezcla, solo hay dos grados de libertad, por lo que el diseño se puede mostrar en dos dimensiones, como en la Figura 2. Tenga en cuenta que los tres componentes están representados, ya que cada uno tiene un eje. En un problema de mezcla sin restricciones, cada componente se puede variar de 0 a 1,0, por lo que el simplex completo va de 0 a 1 en cada eje. El punto 0 está representado por la base del simplex, y luego 1,0 estaría en el punto simplex opuesto a la base. Tenga en cuenta que si x 1 = 1,0, entonces x 2 =x 3 = 0, por lo tanto este punto corresponde a la base de x 2 yx 3 ejes. Estos puntos se denominan "mezclas puras" por razones obvias. Las mezclas puras y otros puntos comunes que se ejecutan con diseños simplex se identifican en la Figura 2.
Señalamos que el centroide, correspondiente al punto central en diseños factoriales, corresponde al punto 1/3, 1/3, 1/3, que está en el medio del simplex. Otros puntos comunes que se ejecutan con los diseños simplex son las llamadas mezclas 50-50, que tienen proporciones de 0,5 para dos componentes y 0 para el tercero. Estas mezclas 50-50 corresponden a puntos medios a lo largo de cada base del simplex. Otro punto común que se utiliza a menudo en diseños simplex es el "punto de control", normalmente situado a medio camino entre el centroide y la mezcla pura. Para un simplex de tres componentes, estos estarían en 2/3, 1/6, 1/6, para x 1 , 1/6, 2/3, 1/6, para x 2 y 1/6, 1/6, 2/3 para x 3 . Estos puntos de control permiten verificar que el modelo se ajusta a los datos en algo más que el centroide y los límites del simplex. En otras palabras, ajustar bien los puntos de control sugeriría que es relativamente seguro interpolar dentro del simplex.
Como se explica en Cornell (2002), en la práctica también se utilizan diseños de celosía simplex más elaborados que posicionan los puntos de manera uniforme sobre todo el simplex. En experimentos con más de cuatro componentes, estos diseños son difíciles de ilustrar, pero se pueden formar los mismos tipos de diseños, como es el caso de los diseños factoriales. Por supuesto, a menudo habrá limitaciones en los niveles de los ingredientes de la formulación. Por ejemplo, a pocos consumidores les gustaría un aderezo para ensalada compuesto 100% de vinagre. En tales casos, se pueden crear pseudocomponentes (Cornell 2002), que son transformaciones de los componentes originales, o utilizar diseños asistidos por computadora en los espacios de diseño anormales creados por las restricciones. Estos diseños no son el tema central del presente artículo. También suponemos que el lector está familiarizado con los diseños factoriales estándar utilizados para las variables del proceso.
En los diseños de mezclas con variables de proceso, normalmente se utiliza algún diseño híbrido, de modo que se puedan estimar los efectos y modelos de la mezcla, así como los efectos y modelos del proceso. Si los experimentadores sospechan de interacción, entonces a menudo se desea tener la capacidad de estimar todos los términos en la versión linealizada de la Ecuación 2. Es decir, el diseño experimental elegido debe permitir la estimación de todos los efectos que se obtienen multiplicando cada término del modelo de mezcla por cada término del modelo de proceso. En el ejemplo mencionado anteriormente, se desearía un diseño que permitiera la estimación de los 28 términos de la Ecuación 3.
Estos diseños suelen cruzar un factorial o factorial fraccionado con un diseño mixto. Por ejemplo, el experimento de las hamburguesas de pescado de Cornell (Cornell 2002) cruzó un diseño simplex de tres componentes que incluía mezclas puras, un centroide y mezclas 50-50, con un 2 3 Diseño factorial en tres variables de proceso. Este diseño se muestra en la Figura 3. Tenga en cuenta que en cada punto de los 2 3 diseño factorial, se ejecutó el diseño simplex completo. Alternativamente, por supuesto, se podría representar esto como un diseño factorial completo en cada punto del simplex. Debido a que el diseño simplex tenía 7 puntos y el diseño factorial 8 puntos, el diseño completo fue de 56 puntos, ejecutado en orden aleatorio para evitar el trazado dividido (Cornell 2002, 2011).
Si no se prevé interacción, entonces, por supuesto, los diseños podrían ser mucho más pequeños. Por ejemplo, en el ejemplo de la hamburguesa de pescado de Cornell, un modelo de mezcla cúbica especial tendría 7 términos (3 términos de combinación lineal, tres productos cruzados de 2 factores y el producto cruzado cúbico especial de 3 factores), y un modelo factorial completo tendría 8 términos (1 intersección, 3 efectos principales, 3 interacciones de 2 factores y 1 interacción de 3 factores). Debido a que el modelo de mezcla f(x) incorpora una intersección, podríamos eliminar la intersección de g(z), dejando 7 + 8 – 1 = 14 términos para estimar en un modelo aditivo lineal sin interacción, es decir, c(x,z ) = f(x) + g(z). Claramente se podría ejecutar un diseño fraccionario mucho más pequeño, o como no hay interacción en el modelo, las variables de la mezcla y del proceso podrían investigarse de forma independiente.
El papel de la ingeniería estadística en modelos de mezclas con variables de proceso
Hoerl y Snee (2010) definieron la ingeniería estadística como: "El estudio de cómo utilizar mejor los conceptos, métodos y herramientas estadísticos, e integrarlos con la tecnología de la información y otras ciencias, para generar mejores resultados". Por el contrario, la ciencia estadística puede verse como el estudio y avance de la teoría subyacente y la aplicación de métodos estadísticos individuales. La distinción clave es que la ciencia estadística se centra en avanzar en el conocimiento fundamental de las herramientas mismas, así como en su aplicación. La ingeniería estadística, por otro lado, se centra en cómo tomar métodos y herramientas existentes, es decir, la ciencia estadística existente, y vincular e integrar creativamente estas herramientas, a menudo con herramientas no estadísticas, para producir un mayor impacto. La utilización creativa de la ciencia existente para lograr un mayor impacto es la esencia de cualquier campo de la ingeniería.
Obviamente, tanto la ciencia estadística como la ingeniería estadística son necesarias para que el campo de la estadística crezca y mejore su impacto en la sociedad. Sostenemos que si bien se necesita un enfoque equilibrado, el enfoque actual de la profesión tiende a estar sesgado hacia la ciencia estadística (Snee y Hoerl 2011). En particular, creemos que se necesita un mayor énfasis en el desarrollo de una teoría subyacente sobre cómo atacar problemas grandes, complejos y no estructurados, problemas demasiado grandes para que los resuelva una sola herramienta. Obviamente, estos problemas requieren la integración creativa de múltiples métodos estadísticos, así como el uso creativo de la tecnología de la información u otras ciencias. Es evidente que se requiere un enfoque de ingeniería. Consulte la edición especial de Quality Engineering on Statistical Engineering (Anderson-Cook y Lu 2012) para obtener más información sobre la disciplina de la ingeniería estadística.
Hemos observado que cuando se atacan problemas de mezcla con variables de proceso, la elección del diseño y la elección del modelo van de la mano. Es decir, los modelos que podemos estimar están determinados por el diseño, y el diseño apropiado depende de los modelos que deseamos estimar. Además, si conociéramos el modelo específico de antemano, podríamos construir un diseño óptimo para estimar ese modelo. Sin embargo, en muchas situaciones prácticas nuestro conocimiento de la materia es limitado y no estamos seguros del modelo final. Normalmente, esto da como resultado un enfoque iterativo para el diseño y el análisis, como lo enfatizan Box et al. (2005), Montgomery (2012) y muchos otros.
La pregunta clave en tales situaciones es cómo abordar mejor el problema cuando anticipamos la interacción entre la mezcla y las variables del proceso, pero no estamos seguros. Observamos que esta es una pregunta muy diferente a preguntar cuál es el diseño óptimo para un modelo dado, y también diferente a preguntar cuál es el modelo óptimo para ajustarse a un conjunto de datos dado. Estas últimas son más cuestiones de ciencia estadística, porque tratan de la teoría y la práctica de herramientas individuales. Además, se puede determinar analíticamente la respuesta "correcta", basándose en criterios objetivos. Sin embargo, la cuestión de cómo atacar un problema complejo no es una cuestión de ciencia estadística, porque tenemos pocos datos dados y ninguna métrica objetiva acordada para el éxito. En otras palabras, el problema no está estructurado.
Sostenemos que esta pregunta estratégica es más adecuada para la ingeniería estadística porque requerimos un enfoque general que incorpore tanto el diseño como el análisis, quizás de manera secuencial, para obtener mejores resultados. La integración de múltiples herramientas es clave. En este caso, los "mejores resultados" pueden basarse en criterios estadísticos, o en ahorrar esfuerzo experimental, incluido tiempo y dinero, o ambos. En otras palabras, puede basarse en encontrar la mejor solución empresarial, en lugar de encontrar la mejor solución estadística. Este es un problema más complejo y menos estructurado que obtener el mejor diseño o el mejor modelo en condiciones específicas. Por lo tanto, el punto de vista de la ingeniería estadística guía nuestro estudio y estrategia recomendada para problemas de mezcla con variables de proceso.
Tres estudios de caso en diseño y análisis
Cornell (2002) presentó datos de un experimento con tres especies de hamburguesas de pescado: salmonete, corvina y corvina. Además, cada hamburguesa se cocinó a diferentes temperaturas de horneado, tiempos de horneado y tiempos de fritura (las hamburguesas se hornearon y se frieron). La respuesta de interés fue la textura de las hamburguesas resultantes. El diseño utilizado fue un simplex de siete corridas en las variables de mezcla, incluidas mezclas puras, mezclas 50-50 y el centroide. Para las variables de proceso, un 2 de ocho ejecuciones 3 que correr Cornell cruzó el diseño de la mezcla con el diseño del proceso, como se enumera en la Tabla 1 y se ilustra en la Figura 3. Este diseño tiene 7*8 = 56 ejecuciones en total. Cornell ajustó un modelo linealizado, donde:
f(x) = segundo 1 X 1 +b 2 X 2 +b 3 X 3 +b 12 X 1 X 2 +b 13 X 1 X 3 +b 23 X 2 X 3 +b 123 X 1 X 2 X 3 ,
g(z) = a 0 +a 1 p.ej 1 + un 2 p.ej 2 + un 3 p.ej 3 + un 12 p.ej 1 p.ej 2 + un 13 p.ej 1 p.ej 3 + un 23 p.ej 2 p.ej 3 + un 123 p.ej 1 p.ej 2 p.ej 3 , y
c(x,z) = f(x)*g(z)
TABLA 1 Datos de textura de las hamburguesas de pescado de Cornell
Ciego | tiempo de freír |
25 | 40 |
tiempo de horno |
25 | 40 | 25 | 40 |
Temperatura del horno |
325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 |
Mójol | cabeza de oveja | corvina | textura |
1 | 0 | 0 | - 1,84
- 2,86
- 3.01
- 4.13
- 1,65
- 2.32
- 3.04
- 4.13
|
0 | 1 | 0 | - 0,67
- 1.10
- 1.21
- 1,67
- 0,58
- 0,97
- 1.16
- 1.30
|
0 | 0 | 1 | - 1,51
- 1,60
- 2.32
- 2.57
- 1.21
- 2.12
- 2.00
- 2,75
- 0,5
- 0,5
|
0 | - 1.29
- 1,53
- 1,93
- 2.26
- 1.18
- 1,45
- 1,85
- 2.06
- 0,5
|
0 | - 0,5
- 1.42
- 1.81
- 2.57
- 3.15
- 1,45
- 1,93
- 2.39
- 2,82
|
0 | - 0,5
- 0,5
- 1.16
- 1,50
- 1,83
- 2.22
- 1.07
- 1.28
- 1,60
- 2.10
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 1,59
- 1,68
- 1,94
- 2.60
- 1.41
- 1,54
- 2.05
- 2.32
|
Dado que f(x) tiene 7 términos y g(z) tiene 8 términos, cuando los términos individuales se multiplican para crear un modelo linealizado, c(x,z) tiene 7*8 = 56 términos. Obviamente, no quedaban grados de libertad para estimar el error experimental con 56 ejecuciones en el diseño, lo que produjo un error cuadrático medio (RMSE) de 0, y no había capacidad para estimar la desviación estándar del término de error (e), es decir, el error estándar. Además, no hubo oportunidad de evaluar los residuos en busca de evidencia de insuficiencia del modelo ni de realizar pruebas de falta de ajuste. Por lo tanto, Cornell utilizó la variación entre mediciones repetidas (no réplicas verdaderas) como estimación del error estándar. Obviamente, esta variación dentro de las series no permite estimar las fuentes de variación entre series, por lo que no puede considerarse una estimación del error estándar equivalente a la estimada a partir de réplicas verdaderas, o incluso a partir de grados de libertad residuales.
Para nuestros propósitos de comparar modelos, aplicamos el método PSE (pseudo error estándar) de Lenth (Lenth 1989) para obtener una estimación del error estándar para el modelo de Cornell. El método de Lenth primero determina los efectos que parecen ser reales y luego descarta las variables restantes, utilizando los grados de libertad obtenidos para estimar el error estándar. Es un error pseudo estándar en el sentido de que depende de eliminar los términos apropiados del modelo.
Prescott (2004) probó los volúmenes de hogazas de pan utilizando tres harinas, Tjalve, Folke, ambas noruegas, y Hard Red Spring, que es estadounidense. También hubo dos variables de proceso, el tiempo de fermentación y el tiempo de mezcla. Hubo restricciones en los niveles de tres harinas: .25 X 1 1, 0 X 2 .75 y 0 X 3 .75, donde Tjalve es x 1 , la gente es x 2 y Hard Red Spring es x 3 . Cuando se aplica al espacio de mezcla simplex, esto da como resultado un simplex completo más pequeño en un espacio reducido. Al convertir a pseudocomponentes (Cornell 2002), todavía se puede utilizar un diseño simplex estándar. Para fines de comparación de modelos, y sin pérdida de generalidad, utilizamos la versión de pseudocomponentes del diseño de mezcla de Prescott. Prescott utilizó un diseño reticular simplex de 10 corridas para las variables de mezcla y un diseño de 3 2 , es decir, un factorial de tres niveles en dos variables, para el diseño del proceso. Este diseño tiene 9 corridas, por supuesto.
Al cruzar nuevamente el diseño de la mezcla con el diseño del proceso, Prescott creó un diseño de 10*9 = 90 corridas, que se enumera en la Tabla 2 y se ilustra en la Figura 4. Para el modelo de mezcla f(x), Prescott consideró el mismo modelo cúbico especial con 7 términos que usó Cornell, y para el modelo de proceso, g(z), consideró un modelo cuadrático completo con 6 términos:
g(z) = a 0 + un 1 p.ej 1 + un 2 p.ej 2 + un 12 p.ej 1 p.ej 2 +
TABLA 2 Datos de volumen de hogaza de Prescott
Pseudo componente mezcla | Tiempo de prueba (minutos) |
35 | - 47,5
| 60 |
Tiempo de mezcla (minutos) |
5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 |
Tjalve | Gente | Primavera roja dura | Volumen de pan |
.25 | .75 | 0 | - 378,89
- 396,67
- 392.22
- 445.56
- 452.22
- 487,78
- 457.22
- 500.56
- 472,78
|
.50 | .50 | 0 | - 388,89
- 423.33
- 416.11
- 460.00
- 488.89
- 475,78
- 472,78
- 478.00
- 506.11
|
.75 | .25 | 0 | - 426.11
- 483.33
- 389,44
- 474.44
- 514.44
- 462,78
- 506.67
- 591,67
- 522.22
- 1.0
|
0 | 0 | - 386.11
- 459.11
- 423.33
- 458.33
- 506.11
- 514.44
- 545.56
- 522.22
- 551.11
|
.25 | .50 | .25 | - 417,78
- 437.22
- 444.56
- 484.44
- 490.00
- 495.00
- 497,78
- 531.11
- 577,78
|
.50 | .25 | .25 | - 389,44
- 447.22
- 415.00
- 490.89
- 528,89
- 507,78
- 517,78
- 567,22
- 538.33
|
.75 | 0 | .25 | - 448.33
- 459,44
- 455.56
- 436.00
- 535.00
- 552.22
- 507.44
- 578,89
- 590.00
|
.25 | .25 | .50 | - 413.89
- 485.56
- 462.22
- 483.89
- 529,44
- 540.00
- 565.00
- 598,89
- 580.56
|
.50 | 0 | .50 | - 415.56
- 514.44
- 437,78
- 493.89
- 583.33
- 578,89
- 524,44
- 649,44
- 640.00
|
.25 | 0 | .75 | - 432,78
- 498.33
- 517.22
- 474,44
- 568.33
- 579,44
- 541.11
- 638,89
- 638,89
|
Tenga en cuenta que los términos cuadráticos son estimables porque el diseño del proceso fue un diseño de tres niveles. Prescott ejecutó varios modelos interactivos linealizados, es decir, de la forma c(x,z) = f(x)*g(z), que tenían 7*6 = 42 términos en total. Con 90 ejecuciones había suficientes grados de libertad para estimar el modelo completo de 42 términos y aún quedaban grados de libertad para estimar el error estándar. Después de considerar varios modelos, el modelo final sugerido por Prescott para estos datos fue un modelo reducido de la forma:
y = 522,8x 1 + 448,1x 2 + 599,3x 3 + 13,0x 1 p.ej 1 + 1,7x 2 p.ej 1 + 54,3x 3 p.ej 1 + 56,3x 1 p.ej 2 + 37,2x 2 p.ej 2
+ 73,8x 3 p.ej 2 - 39,4x 1 + 3,7x 2 – 46.0x 3 - 10,2x 1 + 28,4x 2 + 1,0x 3
Tenga en cuenta que algunos términos se eliminaron del modelo, como los términos que involucran productos cruzados de x i , o la interacción de z 1 y z 2 . De hecho, sólo 15 de los 42 términos posibles se incluyeron en este modelo final. Volvemos a este punto al comparar los modelos linealizados con los no lineales.
Wang y cols. (2013) ejecutaron un diseño experimental de mezcla/proceso como parte de un proyecto de clase para un curso de estadística impartido por el primer autor en la Universidad de Rutgers en 2013. Este experimento incluye tres variables de mezcla, agua, leche y jugo de naranja, y dos variables de proceso, la adición de azúcar (0 o 2 gramos) y el tipo de leche utilizada (2% o entera). La respuesta fue el tiempo de fusión en minutos del hielo producido a partir de la mezcla. El diseño de la mezcla fue un diseño simplex de 10 corridas con componentes puros, mezclas 50-50, puntos de control y un centroide, en forma de pseudocomponente. Este es el diseño ilustrado en la Figura 2. Para el diseño del proceso, Wang ejecutó un 2 2 factorial en cuatro corridas. El diseño cruzado con 10*4 = 40 ejecuciones y las respuestas resultantes se dan en la Tabla 3 y se ilustran en la Figura 5.
TABLA 3 Wang et al. Datos de tiempo de fusión
mezcla | Tipo de leche |
2% | Entero |
Azúcar |
0g | 2g | 0g | 2g |
Agua | Leche | Jugo | tiempo de fusión |
1/6 | 1/6 | 2/3 | - 29.43
- 24.31
- 34,94
- 32,97
|
0 | - 0,5
- 0,5
- 37,36
- 32,89
- 45,69
- 39.06
- 0,5
- 0,5
|
0 | - 33.32
- 28.34
- 41,78
- 35,84
|
1 | 0 | 0 | - 19.13
- 17,73
- 23.7
- 22.16
|
2/3 | 1/6 | 1/6 | - 24.11
- 22.49
- 29,76
- 25.43
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 32.08
- 26.29
- 36,97
- 30.13
|
0 | 0 | 1 | - 30.41
- 23.25
- 31,92
- 29,45
- 0,5
|
0 | - 0,5
- 21,86
- 22,88
- 27.09
- 26.21
|
1/6 | 2/3 | 1/6 | - 37,35
- 28.43
- 42,92
- 39,95
|
0 | 1 | 0 | - 48,64
- 33.00
- 45.08
- 47,35
|
Wang y cols. (2013) ajustaron un modelo linealizado utilizando una cúbica especial de 7 términos para f(x) y un modelo de proceso factorial de 4 términos para g(z), que tenía una intersección, dos efectos principales y la interacción de 2 factores. Por lo tanto, al multiplicar todos los términos, c(x,z) es el modelo linealizado de 28 términos dado en la Ecuación 3. Con 40 corridas y 28 términos para estimar, quedaban 12 grados de libertad para estimar el error estándar.
Modelos y resultados lineales y no lineales
Para cada uno de estos diseños y conjuntos de datos, también se pueden considerar modelos mucho más pequeños, como el modelo aditivo lineal, c(x,z) = f(x) + g(z), que por supuesto no tiene términos para estimar la interacción. entre variables de mezcla y de proceso, y también el modelo no lineal. Para estimar el modelo no lineal se encuentra la solución de mínimos cuadrados para c(x,z) = f(x)*g(z) directamente, sin multiplicar los términos. Como se señaló anteriormente, este modelo no es lineal en los parámetros. Por ejemplo, en el caso simplista con dos variables de mezcla y una variable de proceso:
c(x,z) = ( b 1 X 1 +b 2 X 2 +b 12 X 1 X 2 )* (a 0 + un 1 z) (4)
Suponiendo que deseamos estimar cada uno de estos 5 coeficientes, entonces podemos considerar la Ecuación 4 como una ecuación no lineal con 5 coeficientes y usar mínimos cuadrados no lineales para encontrar una solución. Como se señaló anteriormente, en la práctica solo tenemos 4 coeficientes para estimar porque la Ecuación 4 está sobredeterminada y no tendrá una solución única de mínimos cuadrados. Al establecer arbitrariamente un 0 = 1,0, generalmente podemos obtener una solución única de mínimos cuadrados en los demás parámetros. Usar algún otro valor distinto de cero para un 0 no cambiaría las métricas del modelo, como R 2 , error estándar, etc. Por supuesto, con mínimos cuadrados no lineales no se garantiza una solución única.
Para ajustar el modelo no lineal utilizamos el algoritmo de regresión no lineal en JMP Pro 10, ejecutado en una computadora portátil MacBook Pro estándar. Como se señaló anteriormente, ejecutar modelos no lineales es más desafiante que modelos lineales, pero con software moderno ciertamente es factible y sugerimos que es una opción viable para este tipo de problemas. Antes de discutir los resultados obtenidos ajustando modelos lineales aditivos y no lineales a estos tres conjuntos de datos, discutimos brevemente la interpretación de los coeficientes en el modelo no lineal. No analizamos el modelo aditivo lineal, ya que la interpretación de los términos de mezcla se ha discutido ampliamente en la literatura, como esquife (1963), Cornell (2002) y muchos otros.
Después de estimar los términos en el modelo no lineal de la Ecuación 4, somos libres de multiplicar los términos estimados para ayudar a la interpretación. Tenga en cuenta que esto produce un modelo muy diferente del obtenido al multiplicar los términos antes de estimar los coeficientes, lo que produciría el modelo linealizado. Entonces, la decisión de establecer un 0 = 1 en lugar de algún otro valor hace que la interpretación del modelo sea más sencilla. Una vez que multiplicamos los términos estimados en el enfoque no lineal de la Ecuación 4 obtenemos:
= ( 1 X 1 + 2 X 2 + 12 X 1 X 2 )*(1 + 1 z)
= ( X 1 +x 2 + 12 X 1 X 2 ) + ( X 1 +x 2 + 12 X 1 X 2 )* 1 z (5)
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que z se escala para tener una media de 0. Por lo tanto, cuando z está en su valor medio, la Ecuación 5 se simplifica solo a la parte izquierda, que es el modelo de mezcla pura, f(x). Por lo tanto, podemos interpretar los coeficientes de mezcla como la mezcla que estimamos en el punto medio de la variable del proceso o, alternativamente, como la mezcla promedio en todo el diseño. Esta interpretación es válida independientemente de que exista o no interacción con z. La interpretación de 1 es más complicado. Tenga en cuenta que el único lugar donde aparece z en la Ecuación 5 es a través de un conjunto de interacciones.
Esto implica la incapacidad del modelo no lineal para estimar el efecto principal de z únicamente a partir de las interacciones de z con las variables de la mezcla. Esto se debe a que el único coeficiente disponible para incorporar el efecto principal de z y también sus interacciones con x i es 1 . Si bien f(x) podría reescribirse como un modelo de variable holgada con una intersección, todavía tendríamos solo un grado de libertad para incorporar tanto el efecto principal de z como sus interacciones con las variables mixtas. Vemos esto como un inconveniente del enfoque no lineal y especulamos que el resultado práctico será tener algunas dificultades para ajustar superficies con grandes efectos principales de las variables del proceso y una interacción severa entre la mezcla y las variables del proceso.
Podemos extender esta interpretación a modelos no lineales más grandes, como el modelo de mezcla cúbica especial de 7 términos y el modelo de variable de proceso de 8 términos de su experimento de hamburguesa de pescado. Si estimamos c(x,z) = f(x)*g(z) directamente como un modelo no lineal, estimaríamos 7 + 8 – 1 = 14 coeficientes. Recuerde que fijamos un 0 = 1. Después de resolver estos 14 coeficientes usando mínimos cuadrados no lineales, podemos multiplicar los términos para ayudar en la interpretación. Hacerlo produce:
(x)*(1 + 1 p.ej 1 + 2 p.ej 2 + 3 p.ej 3 + 12 p.ej 1 p.ej 2 + 13 p.ej 1 p.ej 3 + 23 p.ej 2 p.ej 3 + 123 p.ej 1 p.ej 2 p.ej 3 ),
que es 1 por (x), más 1 p.ej 1 veces (x), más 2 p.ej 2 veces (x), y así sucesivamente. En otras palabras, todos los demás términos del modelo además de (x)*1 implican i veces uno o más z i , veces (x). Por lo tanto, ninguno de los efectos principales de la z i sólo se puede estimar a partir de la interacción de ese z i con las variables de mezcla (y sus interacciones), análoga a la situación en la Ecuación 5. De manera similar, las interacciones entre z i , como 1 p.ej 2 , por ejemplo, no puede estimarse únicamente a partir de las interacciones entre este término y los términos de la mezcla.
Desde un punto de vista práctico, la incapacidad de estimar coeficientes individuales, para z 1 yx 1 p.ej 1 , por ejemplo, es más preocupante que la incapacidad de estimar coeficientes individuales para interacciones como z 1 p.ej 2 p.ej 3 yx 1 X 2 X 3 p.ej 1 p.ej 2 p.ej 3 , en el sentido de resolución del diseño (Box et al. 2005). Es decir, los profesionales rara vez se preocuparían por la importancia práctica de una interacción de seis factores.
Ajustando tanto el modelo aditivo lineal, c(x,z) = f(x) + g(z), como el modelo no lineal, c(x,z) = f(x)*g(z), a los tres datos conjuntos discutidos anteriormente, obtenemos los resultados que se muestran en la Tabla 4. Para los conjuntos de datos de Cornell y Wang, ajustamos modelos completos sin intentar seleccionar subconjuntos. Con los datos de Prescott, tanto para el modelo lineal aditivo como para el no lineal, incorporamos solo los términos en f(x) y g(z) que Prescott seleccionó para estar en su modelo linealizado final. Específicamente, para f(x) usamos solo x 1 , X 2 yx 3 . Para g(z) incluimos z 1 , p.ej 2 , , y . En este sentido, las comparaciones de Cornell y Wang son "manzanas con manzanas" sin selección de subconjuntos, y la comparación de Prescott es "manzanas con manzanas" con la selección de subconjuntos aplicada por Prescott.
El criterio numérico que estamos utilizando es el error estándar estimado o raíz del error cuadrático medio (RMSE). Obviamente, no existe una métrica única que pueda determinar la "bondad" de un modelo. Para desarrollar modelos apropiados en la práctica, es necesario observar varios criterios numéricos, evaluar gráficos residuales, comparar los resultados con la teoría sólida de la materia, etc. El lector no debe inferir que recomendamos centrarse únicamente en RMSE en la construcción de modelos. Sin embargo, a los efectos de la comparación de modelos, utilizamos el error estándar estimado simplemente como un criterio objetivo conveniente para medir el grado en que el modelo es capaz de ajustarse a los datos.
En la Tabla 4 vemos que en dos casos el modelo linealizado proporciona el error estándar estimado más pequeño y es casi el más pequeño para los datos de Cornell. Esto no es sorprendente, ya que el modelo aditivo lineal no admite ninguna interacción y el modelo no lineal tiene las limitaciones señaladas anteriormente. De estos tres análisis concluimos que si se dispone de suficientes grados de libertad, el modelo linealizado es el enfoque preferido, basándose en que estos tres modelos aplican este criterio.
TABLA 4 RMSE de modelos linealizados, lineales aditivos y no lineales
datos de cornell Datos de Prescott Datos Wang
Linealizado 0,17* 21,0 1,36
Aditivos lineales 0,24 24,3 2,38
No lineal 0,16 23,1 2,05
*Calculado usando el método de Lenth porque no hay gl para error.
Sin embargo, tras un examen más detenido, notamos que para dos de los conjuntos de datos, los datos de Cornell y los datos de Prescott, las diferencias entre los modelos no son tan grandes como cabría esperar y, de hecho, el modelo no lineal RMSE es ligeramente más pequeño que el modelo linealizado RMSE para los datos de Cornell. Recuerde que debido a que no quedan grados de libertad para estimar el error, el modelo linealizado RMSE se calcula utilizando el método de Lenth. El rendimiento del enfoque no lineal es impresionante dada la magnitud de las diferencias en el número de coeficientes estimados en estos modelos: 14 (lineal aditivo o no lineal) versus 56 (linealizado) para el modelo de Cornell, 12 versus 42 para el modelo completo de Prescott (7 versus 15 si utilizamos sólo los términos del modelo reducido de Prescott), y 10 versus 28 para el modelo de Wang. Los modelos aditivos lineales y no lineales son mucho más parsimoniosos.
Una posible explicación de por qué los enfoques aditivos lineales y no lineales no funcionan bien para los datos de Wang es que existe una interacción muy significativa entre las variables de la mezcla y del proceso con estos datos. Por ejemplo, los términos del modelo linealizado para leche*azúcar*tipo de leche (x 2 p.ej 1 p.ej 2 ), y leche*jugo*azúcar*tipo de leche (x 2 X 3 p.ej 1 p.ej 2 ), son ambos estadísticamente significativos al nivel de 0,01. El término para agua*leche*azúcar*tipo de leche (x 1 X 2 p.ej 1 p.ej 2 ), es casi significativo al nivel de 0,01 (valor de p = 0,0101). En nuestra experiencia, es muy inusual encontrar interacciones de cuatro factores tan significativas. El modelo lineal, que no incluye ningún término para la interacción entre las variables del proceso y de la mezcla, obviamente no podrá modelar eficazmente dicha interacción. El modelo no lineal simplemente no tiene suficientes términos para proporcionar una buena aproximación. Con una interacción de orden superior tan significativa, es probable que se requiera el enfoque linealizado.
Dadas las diferencias relativamente bajas que se observan en la Tabla 4, parece plausible que podamos ahorrar mucho tiempo y dinero al reducir la cantidad de experimentación inicial. Ciertamente, no se necesitan 90 ejecuciones para estimar 12 términos en el modelo no lineal de Prescott utilizando todos los términos, ni 56 ejecuciones para estimar los 14 términos en el modelo no lineal de Cornell. Para responder a esta pregunta, evaluamos cómo cada uno de estos modelos se ajustaría a una fracción de los diseños realmente ejecutados.
Resultados con diseños fraccionarios
Cada uno de los diseños que hemos comentado se produjo cruzando el diseño de la mezcla con el diseño del proceso. Por lo tanto, el número total de ejecuciones fue n 1 *norte 2 , donde norte 1 fue el número en el diseño de la mezcla, y n 2 el número en el diseño del proceso.Para el diseño de hamburguesa de pescado de Cornell, esto fue 7*8 = 56. Dados los resultados mostrados anteriormente para modelos no lineales, una pregunta lógica es si las 56 ejecuciones fueron realmente necesarias, o si Cornell podría haber podido ejecutar un diseño mucho más pequeño y obtener casi los mismos resultados. Una de las justificaciones dadas por Cornell (2002) para ejecutar el diseño de 56 corridas fue la necesidad de estimar todos los coeficientes en el modelo linealizado.
Cornell (2002) también señaló que si los experimentadores no pudieran ejecutar el diseño completo, podrían crear un diseño fraccionado ejecutando una fracción del diseño del proceso en cada punto del espacio de la mezcla. Para garantizar que se pudieran estimar tantos términos como fuera posible, Cornell sugirió cambiar qué fracción del diseño del proceso se ejecutaba en diferentes puntos del diseño de la mezcla. Por ejemplo, en el caso de tres variables de proceso, podríamos ejecutar el comando z 1 p.ej 2 p.ej 3 = 1 media fracción en aproximadamente la mitad de los puntos de diseño de la mezcla, y z 1 p.ej 2 p.ej 3 = -1 en la otra mitad. Cornell recomendó además ejecutar el diseño completo del proceso en el centroide del espacio de mezcla, si es posible. Observó que si se ejecutara este diseño fraccionario, el experimentador no podría estimar el modelo linealizado completo, sino que estaría restringido a estimar un subconjunto de estos términos.
En el caso de la hamburguesa de pescado, el diseño de la mezcla tuvo 7 puntos y el diseño del proceso 8. Ejecutar los 8 puntos en el centroide y luego 4 (media fracción) en todos los demás puntos daría como resultado un diseño fraccionario con 32 puntos. Estos no son puntos suficientes para estimar todos los términos en el modelo de hamburguesa de pescado linealizado, pero son más que suficientes para estimar los 14 términos en el modelo aditivo lineal o no lineal. En la Figura 6 mostramos el diseño fraccionario con z 1 p.ej 2 p.ej 3 = 1 ejecución en las mezclas puras, y z 1 p.ej 2 p.ej 3 = -1 ejecución en las mezclas 50-50. Para facilitar la interpretación gráfica y permitir comparaciones con la Figura 3, mostramos nuevamente los puntos de mezcla ejecutados en cada punto del diseño del proceso, aunque el método de construcción fue el mencionado anteriormente.
Además de ver qué tan bien se ajusta el modelo no lineal al conjunto de datos reducido, también tenemos una muestra de reserva natural para evaluar mejor el modelo. Es decir, sólo se utilizan 32 ejecuciones para estimar el modelo no lineal. Por lo tanto, una vez que hayamos estimado los términos del modelo, podemos usar este modelo para predecir las 24 ejecuciones que no se usaron para estimar este modelo. Esta muestra reservada generalmente se considera un criterio más válido para evaluar un modelo estimado, ya que el modelo no ha visto estos datos y no puede verse influenciado por ellos durante el proceso de ajuste. La Tabla 5 muestra los resultados del primer ajuste de los modelos lineales aditivos y no lineales al diseño fraccionario que se muestra en la Figura 6, y también el error estándar de predicción (RMSE) al predecir los datos reservados. Tenga en cuenta que el modelo de Cornell tenía demasiados términos para estimar con un diseño fraccionario, por lo que el modelo linealizado no es una opción.
Obviamente, se podría revertir arbitrariamente el diseño fraccionado en las mezclas puras frente a las mezclas 50-50. Por lo tanto, para completar, consideramos el diseño que se muestra en la Figura 6 como diseño fraccional 1 y definimos el diseño fraccional 2 como aquel en el que z 1 p.ej 2 p.ej 3 = -1 se ejecuta en mezclas puras y z 1 p.ej 2 p.ej 3 = 1 se ejecuta con 50-50 mezclas. Nuevamente, los 8 puntos de diseño del proceso completos se ejecutan en el centroide.
TABLA 5 Resultados de predicción con diseños fraccionarios de Cornell
*Calculado usando el método de Lenth porque no hay gl para error.
Obsérvese en la Tabla 5 que para ambos diseños fraccionarios los modelos no lineales hacen un buen trabajo al ajustar los datos de "entrenamiento" y se ajustan razonablemente bien a los datos de reserva. El RMSE de predicción es 0,22 para ambos diseños fraccionarios, que es mayor que el RMSE original de 0,16, pero dentro de lo razonable, considerando que solo utilizamos 32 de las 56 ejecuciones originales, lo que representa una reducción del 43 %. El modelo aditivo lineal también funciona de manera consistente con el ajuste de todo el conjunto de datos. Como se señaló anteriormente, si nuestro único objetivo es maximizar el ajuste del modelo, entonces se prefiere un diseño completamente cruzado con el modelo linealizado. Sin embargo, si el tiempo y el costo son consideraciones importantes, entonces se debe considerar un modelo no lineal con menor precisión de predicción, pero obtenido con mucho menos esfuerzo experimental.
El diseño de la mezcla de Prescott era una red simplex con dos puntos de borde entre cada mezcla pura y un centroide. Esto fue cruzado con un 3. 2 diseño de procesos. Esta combinación presenta más desafíos a la hora de determinar un diseño fraccionario que sea equilibrado en un sentido heurístico. Después de considerar varias opciones, definimos el diseño fraccionado 1 como el 3 completo. 2 en el centroide, los puntos donde z 1 p.ej 2 = 0 en las mezclas puras, y los puntos donde z 1 = por ejemplo 2 = 0 y también donde z 1 p.ej 2 = +/-1 en los siguientes tres puntos de borde: (2/3, 1/3, 0), (0, 2/3, 1/3) y (1/3, 0, 2/3).Esto da como resultado un diseño fraccional de 39 ejecuciones (9 + 5*3 + 5*3), ilustrado en la Figura 7. Tenga en cuenta que el diseño fraccionado tiene menos de la mitad de puntos que el diseño original de 90 corridas. El diseño fraccional 2 se obtuvo ejecutando nuevamente el 3 completo 2 en el centroide, pero invirtiendo los puntos del proceso ejecutados en las mezclas puras versus los tres puntos de borde.
Los resultados de predicción para los diseños fraccionarios de Prescott se muestran en la Tabla 6. Tenga en cuenta que para el modelo linealizado de Prescott, solo los 15 términos conservados por Prescott se utilizaron en el modelo final, por lo que podemos estimar este modelo con el diseño fraccionario. Esto nos permite comparar el modelo linealizado con los modelos lineales aditivos y no lineales con los datos faccionales. Por supuesto, si Prescott hubiera ejecutado un modelo de mezcla cúbica especial completo en 7 términos con un diseño de proceso factorial en 6 términos, no tendríamos los 42 grados de libertad necesarios para estimar todos los términos.
Podemos ver en la Tabla 6 que el modelo linealizado funciona extremadamente bien con los diseños fraccionarios utilizando los datos de entrenamiento. De hecho, los RMSE para ambos diseños son más bajos que los RMSE obtenidos con el conjunto de datos completo. Esto puede explicarse en parte por el hecho de que Prescott determinó los parámetros necesarios en el modelo linealizado a partir del conjunto de datos completo. En este sentido, utilizamos información del conjunto de datos completo cuando ajustamos un modelo linealizado a los datos fraccionarios. Sin embargo, no podemos estimar todos los términos del modelo linealizado completo con estos 39 puntos de datos. Tenga en cuenta, sin embargo, que el modelo linealizado obtiene resultados mucho peores a la hora de predecir los datos reservados. De hecho, para ambos diseños fraccionarios el RMSE de predicción linealizada es mayor que el de los modelos lineal y no lineal.
Nuevamente, los modelos lineales aditivos y no lineales proporcionan un RMSE de predicción razonablemente cercano al RMSE del conjunto de entrenamiento, para ambos diseños. Como fue el caso con los datos de Cornell, vemos que ajustar un modelo lineal aditivo o no lineal con un diseño fraccionario proporciona una alternativa viable a ejecutar el diseño completo de 90 corridas.
TABLA 6 Resultados de predicción con diseños fraccionarios de Prescott
El diseño original de Wang era un simplex de 10 corridas con 50-50 puntos de borde y puntos de control, cruzado con un 2 2 diseño del proceso, lo que da como resultado 10*4 = 40 ejecuciones. Obtenemos el diseño fraccionario 1 ejecutando un 2 completo 2 en el centroide y en mezclas puras, la media fracción z 1 p.ej 2 = 1 en los 50-50 puntos del borde, y la media fracción z 1 p.ej 2 = -1 en los puntos de control. Esto da como resultado 4*4 + 2*3 + 2*3 = 28 ejecuciones, como se muestra en la Figura 8. El diseño fraccional 2 se obtuvo invirtiendo las fracciones ejecutadas en los puntos de borde y puntos de control 50-50.
Utilizando estos diseños fraccionarios, comparamos nuevamente los modelos linealizado, lineal aditivo y no lineal en términos de predicción RMSE. Dado que el modelo linealizado ejecutado por Wang tiene 28 parámetros, podemos estimar este modelo completo, aunque sin grados de libertad restantes para estimar el error. Por lo tanto, para fines de comparación utilizamos nuevamente el error pseudoestándar de Lenth en lugar del RMSE para el modelo linealizado. Los resultados de estas comparaciones se muestran en la Tabla 7.
TABLA 7 Resultados de predicción con diseños fraccionarios de Wang
*Calculado usando el método de Lenth porque no hay gl para error.
Quizás lo más destacable del Cuadro 7 sean las malas predicciones del modelo linealizado. En gran parte, esto probablemente se deba al hecho de que hay cero grados de libertad para estimar el error con los diseños fraccionarios. En nuestra opinión, una lección clave de esto es el peligro de utilizar modelos de regresión con pocos o ningún grado de libertad de error para predecir nuevos datos. La evaluación y validación de modelos son tareas difíciles; hacerlo con pocos o ningún grado de libertad de error probablemente dé como resultado predicciones deficientes. Los modelos lineales aditivos y no lineales funcionan mejor y son aproximadamente equivalentes entre sí en términos de predicción fuera de la muestra. Tenga en cuenta que ni los modelos lineales aditivos ni los no lineales produjeron un RMSE cercano al modelo linealizado con el conjunto de datos completo. Sin embargo, al predecir fuera de la muestra, ambos funcionan mejor que el modelo linealizado. Nuevamente, sostenemos que esto proporciona cierta evidencia de que los modelos lineales aditivos y no lineales, ejecutados en diseños fraccionarios, son alternativas viables a considerar en la práctica.
¿Qué hemos aprendido?
Hemos comparado modelos linealizados, lineales aditivos y no lineales utilizando dos conjuntos de datos de procesos mixtos publicados y un conjunto de datos nuevo. Además, hemos comparado estos enfoques no sólo en términos de ajuste de los conjuntos de datos originales, sino también en el ajuste de diseños fraccionarios potenciales que podrían haberse ejecutado en lugar de los diseños completamente cruzados (proceso de tiempos de mezcla). Repetimos que nuestro propósito no es encontrar el diseño óptimo o el mejor modelo en sentido absoluto. Más bien, proponemos un enfoque de ingeniería estadística para determinar la mejor estrategia para atacar los problemas de procesos de mezcla frente a una posible interacción. Una estrategia de este tipo consideraría los beneficios prácticos de los diseños fraccionarios y los enfoques secuenciales.
En resumen, sostenemos que hemos aprendido lo siguiente de estas comparaciones:
- Si se dispone de suficientes grados de libertad, los modelos linealizados, obtenidos multiplicando los términos del modelo de mezcla por los del modelo de proceso, probablemente se ajusten mejor a los datos y proporcionen las mejores predicciones de los datos fuera de la muestra.
- Los modelos aditivos lineales, que ignoran la interacción mezcla-proceso, y los modelos no lineales, ofrecen alternativas viables al modelo linealizado y ofrecen ventajas significativas en el número de términos a estimar.
- Cuando los experimentadores consideran la opción de modelos lineales aditivos o no lineales, una estrategia secuencial que comienza con diseños fraccionarios ofrece el potencial de reducir significativamente la cantidad total de experimentación necesaria para desarrollar un modelo útil.
- Si los modelos lineales aditivos y no lineales no se ajustan lo suficientemente bien a los diseños fraccionarios originales, los experimentadores pueden ejecutar el diseño cruzado completo restante y ajustar el modelo linealizado. En este sentido, los experimentadores tienen mucho que ganar y muy poco que perder al considerar una estrategia secuencial.
- Un punto adicional que no debe pasarse por alto es que los modelos con pocos o ningún grado de libertad para el error residual pueden ajustarse bien a los datos de la muestra, pero es arriesgado utilizarlos para predecir a partir de datos de la muestra.
La estrategia que sugerimos se ilustra en la Figura 1. Al ejecutar inicialmente el diseño fraccionado, tenemos el potencial de reducir significativamente la cantidad de experimentación necesaria para ajustar un modelo adecuado. Los diferentes diseños fraccionarios y el número de coeficientes en los distintos modelos se resumen en la Tabla 8 para fines de comparación.
TABLA 8 Tamaño de los diseños completos y fraccionarios y número de coeficientes en los modelos
conjunto de datos | - No. Ejecuta diseño completo
| - No. Ejecuta diseño fraccionado
| Reducción | - No. Coeficientes del modelo linealizado
- No. Coeficientes del modelo aditivo lineal
- No. Coeficientes del modelo no lineal
|
Cornell | 56 | 32 | 43% | 56 | 14 | 14 |
Prescott | 90 | 39 | 57% | 42 | 12 | 12 |
Wang y cols. | 40 | 28 | 30% | 28 | 11 | 11 |
Sugerimos ejecutar modelos lineales aditivos y no lineales en datos fraccionarios. Si el modelo no lineal se ajusta apreciablemente mejor, esto indicaría una interacción notable entre la mezcla y las variables del proceso. Por supuesto, no hay garantía de que el modelo lineal aditivo o el modelo no lineal se ajusten bien. En particular, con altos grados de interacción entre la mezcla y las variables del proceso, probablemente se necesitarán modelos linealizados.
Si los experimentadores no están satisfechos con los modelos generados a partir del diseño fraccionario, tienen la opción de ejecutar la otra fracción (la fracción que no se analizó inicialmente) para completar el diseño completo. Esta opción debe ser parte de la estrategia adoptada al inicio del estudio. Este enfoque permitiría la estimación del modelo linealizado completo. Se requeriría un grado de libertad para bloquear efectivamente el diseño a lo largo del tiempo, entre la primera fracción y la segunda fracción. De lo contrario, este enfoque no tiene ningún inconveniente real, suponiendo que sea posible experimentar de forma secuencial. Nuevamente reconocemos que la teoría subyacente a los modelos no lineales no está tan desarrollada como la de los modelos lineales.
Por supuesto, el paso de adecuación del modelo en la Figura 1 no debe limitarse a evaluar el RMSE. Este paso de decisión pretende incluir una evaluación completa de la adecuación del modelo, incluido un escrutinio cuidadoso de los residuos, la evaluación de posibles valores atípicos, la comparación con el conocimiento actual del dominio sobre este problema, etc. Se supone dicha evaluación del modelo linealizado, por lo que no la hemos incluido como otro paso en la Figura 1. Nuestro objetivo en esta figura es mostrar cómo evaluar los diferentes modelos de forma secuencial, en lugar de describir los detalles de la construcción de un modelo estadístico sólido, como se analiza en Box et al. (2005), por ejemplo.
El lector puede notar que en este artículo no investigamos el potencial de los diseños asistidos por computadora para seleccionar una fracción óptima que se ajuste al diseño no lineal. Creemos que la investigación sobre la aplicación de diseños informáticos para modelos no lineales en problemas de procesos mixtos podría proporcionar resultados incluso mejores que los que presentamos. Dejamos esto para futuras investigaciones.
Se ha desarrollado, probado e ilustrado una estrategia viable
Consideramos el problema de diseñar experimentos y ajustar modelos con variables tanto de mezcla como de proceso, que se considera probable que interactúen entre sí. Un enfoque común para estos problemas es ejecutar un diseño de mezcla completo cruzado con un diseño factorial completo en las variables del proceso. Un diseño de este tipo permite la estimación de todos los coeficientes en un modelo linealizado, un modelo creado cruzando todos los términos del modelo mixto con todos los del modelo de proceso. Sin embargo, tanto los modelos como los diseños necesarios para estimarlos suelen ser bastante grandes. Por ejemplo, en el ejemplo de fabricación de pan de Prescott, se utilizó un diseño de 90 tiradas. El diseño de la hamburguesa de pescado de Cornell requirió 56 corridas.
Consideramos el caso en el que a los experimentadores les gustaría un buen modelo, quizás no el óptimo, y les gustaría obtener dicho modelo con mucha menos experimentación que 90 o 56 ejecuciones. En estas situaciones, sostenemos que una estrategia de ingeniería estadística que utiliza experimentación secuencial, diseños fraccionarios mucho más pequeños inicialmente y la consideración de modelos lineales aditivos o no lineales proporciona un mejor enfoque general. Para repetir, no afirmamos que el modelo no lineal sea probablemente superior al modelo linealizado en términos de RMSE o RMSE de predicción. Tampoco afirmamos que los diseños fraccionarios contengan tanta información como los diseños completamente cruzados. En este sentido, no estamos proponiendo un diseño específico per se, ni tampoco un modelo específico per se.
Más bien, proponemos una estrategia para atacar tales problemas que creemos que es superior en general a los enfoques sugeridos en la literatura actual. En este sentido, nuestra estrategia propuesta es un enfoque de ingeniería estadística. Con base en los resultados mostrados aquí, llegamos a la conclusión de que este enfoque es superior porque ofrece el potencial de ahorrar una cantidad significativa de tiempo y esfuerzo experimental, sin prácticamente ningún inconveniente, suponiendo que un enfoque secuencial sea factible. En particular, los modelos no lineales son bastante sencillos de estimar con software estadístico moderno, como R, JMP, Minitab o SAS, por lo que el software no tiene por qué ser un obstáculo para la consideración de modelos no lineales. Además, creemos que enfoques similares pueden ser de uso más general en otras aplicaciones de superficies de respuesta, más allá de los modelos de variables de proceso/mezcla, pero este es un tema para investigaciones futuras.
Referencias
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