你是環境調查員。你想調查東京（不包括離島）的空氣污染情況，但由於時間和成本的限制，你只能在東京市內隨機選擇 50 個地點進行調查。
在這種情況下，我們該如何決定要調查的50個地點呢？由於調查涵蓋整個東京都會區，因此盡可能避免調查地點出現偏差至關重要。一種方法是使用JMP軟體，所得結果如下圖所示，圖中標示了這50個地點。
無論這些地點是否適合測量或容易測量，都可以確定測量點之間的距離並不非常近，而是均勻分佈在整個區域內。
這裡的 50 個位置是使用「空間填充設計」確定的，這是 JMP 使用的實驗設計方法之一。
雖然空間填充設計是一種不太常見的實驗設計技術，但本文解釋了空間填充設計的基本概念和特點，並描述如何將高斯過程模型應用於使用上述地圖範例創建的設計。
什麼是空間填充計劃？
空間填充計劃，顧名思義，旨在“填充空間”。它力求透過在目標因素的整個範圍內均勻分佈實驗點，來獲得不偏向任何特定區域的數據。
在處理連續因子時，這種類型的安排主要有兩種方法（①和②）。
① 安排各點，使它們盡可能遠離（最大化距離）。
② 在整個空間以相等的間隔分佈點（均勻性）
根據優先考慮哪些因素，或是否結合使用兩種因素，有許多規劃方法。以下七種方法可用於 JMP 的空間填充規劃：
此範例顯示實驗次數（要放置的點數）設定為 20，並放置在 2D 設計區域中。
左下角的圖展示了使用「堆積」方法排列球體的結果，而右下角的圖則展示了使用「均勻」方法排列球體的結果。在前一種情況下，點之間的距離較大；而在後一種情況下，點在每個軸向上的分佈都是均勻的。
「球形填充」是一種使兩個規劃點之間的距離最短最大化的規劃方法，它強調①。另一方面，「均勻設計」是一種使每個因素的點均勻分佈的規劃方法，它強調②。
此外，還有一種稱為「拉丁超方方法」的中間方法。
MaxPro 標準
空間填充方案提供診斷統計數據，用於評估方案品質。其中一項指標是最大投影（MaxPro）標準。為了便於後續解釋，我將簡要介紹該標準。
手冊中包含有關 MaxPro 計算公式的詳細信息，但它是一個評估點是否均勻分佈在整個實驗空間中的指標，數值越小表示設計越好。
MaxPro 的「投影」功能指的是將高維平面圖投影到低維空間時，能夠保持點陣的均勻性。當影響因素眾多時，設計空間會變成高維空間，但根據設計的具體情況，即使在高維空間中是均勻的，投影到一維或二維空間時也可能出現偏差。
MaxPro 是一種評估指標，它在保持點之間盡可能大距離的同時，也考慮了每個維度和子空間的均勻性。
高速柔性灌裝方案
首先顯示的地圖採用了一種稱為「高速柔性填充（規劃） 」的方法。
雖然 JMP 提供了在規劃階段設定線性約束和禁止因素組合的靈活性，但快速且靈活的填充設計方法也可以處理這些限制。
此方法基於距離最大化（①），同時考慮均勻性（②）。實驗點按以下方式確定。
- 在考慮約束條件的因子空間內隨機產生大量候選點。
- 利用聚類分析，將實驗分成若干個與指定實驗數量相對應的聚類。
- 從每個聚類中選擇代表性點。預設情況下，使用 MaxPro 標準來確定這些代表性點，這些點將作為最終的實驗點。
JMP 中的操作
在這裡，我們展示了使用 PM10（空氣動力學直徑為 10 µm 或更小的空氣顆粒）作為衡量空氣污染水平的指標的例子。
以下概述了操作流程，但有關更多詳細信息，請參閱手冊中在地圖上建立空間填充計劃的範例。
- 從 JMP 功能表列中選擇 [實驗設計 (DOE)] > [特殊設計] > [空間填充設計]。
- 響應設定為 pm10，因子設定為 lat（經度）和 lon（緯度），並指定了東京都市圈內的最小值和最大值。
- [指定腳本中不允許的組合] 以排除東京以外的地區。
- 將“實驗次數”更改為“50”，然後按一下[快速靈活填充]。
最後，點選【建立表格】按鈕，即可產生包含50個地點經緯度的資料表，如下圖所示。這些點是初始地圖上顯示的調查地點。
高斯過程模型的擬合
身為環境調查員，您需要造訪此處所示的50個地點，並測量每個地點的PM10濃度。然後，您需要將這些測量結果輸入到「PM10」欄位中。
注意：pm10 使用“OpenWeatherMap” API 取得給定時間的值。
在收集響應資料後，系統會對因子與響應之間的關係進行建模。空間填充計劃中建立的表格附帶腳本，用於應用高斯過程模型。
此腳本表示擬合高斯過程模型，其中Y 為響應，X 為因子。
高斯過程模型能夠有效地分析從空間填充項目中獲得的數據。它們在測量誤差極小的模擬實驗中表現尤為出色，因為它們能夠平滑地連接觀測數據並完美地插值已知點。
在這個例子中，我們需要預測非測量點位置的pm10值。透過將高斯過程模型擬合到均勻分佈在整個空間的資料（如本例所示），即使對於未觀測到的位置，也能進行穩定的預測。
運行前面提到的腳本將顯示應用了高斯過程模型的報告。下圖顯示了以經度、緯度和海拔（pm10）為基準的預測方程式曲面，可以看到所有實驗點都位於該曲面上。
當您將預測公式實際儲存到資料表中時，您可以確認 pm10 的測量值和預測值是否相符。
預測東京PM10分佈狀況
當高斯過程模型的預測值在地圖上視覺化時，會得到以下分佈。紅色表示PM10濃度高的區域，藍色表示PM10濃度低的區域。
從這張地圖中，我們可以觀察到以下趨勢，例如：
羽田機場及附近海灣地區的PM10濃度較高。
⇒ 因為該地區交通繁忙，工業活動頻繁。
西部地區（奧庫塔馬和東京西部）的 PM10 水準較低。
⇒ 因為這是一個尚未都市化的地區，擁有大量的自然環境。
概括
本文解釋了以下內容：
- 空間填充方案是一種旨在透過在整個空間內均勻分佈點來獲取無偏資料的方法。
- 排列點的方法有兩種：一種是使點之間的距離最大化，另一種是使點均勻分佈。
- JMP 提供多種方法，其快速、靈活的填充方案能夠適應各種限制，在實際應用中非常有效。
- 透過將高斯過程模型應用於所獲得的數據，可以平滑地估計整體關係和分佈，包括未觀察到的條件下的反應值。
此外，JMP Pro 19 新增的「貝葉斯最佳化」功能允許使用空間填充設計對因子空間進行無偏抽樣。透過將高斯過程模型應用於這些數據，可以評估預測結果和不確定性，並有效率地篩選出有利於進一步評估的條件。
作者：Naohiro Masukawa（JMP 日本）
Naohiro Masukawa - JMP 使用者社區
你是如何指定不允許的組合的？你是將東京的邊界定義為一個多邊形，然後使用了「In Polygon()」函數嗎？能夠確定自然區域內地理位置的空間填充設計，真是太棒了。
