Eres un inspector ambiental. Quieres investigar la situación de la contaminación del aire en todo Tokio (excluyendo las islas periféricas), pero debido a limitaciones de tiempo y presupuesto, solo puedes realizar estudios en 50 ubicaciones arbitrarias dentro de Tokio.
En este caso, ¿cómo debemos decidir qué 50 ubicaciones encuestar? Dado que la encuesta abarca toda el área metropolitana de Tokio, es importante evitar sesgos en la selección de las ubicaciones. Una forma de lograrlo es usar JMP, y los resultados obtenidos se muestran en el mapa a continuación, donde se ubican las 50 ubicaciones.
Independientemente de si las ubicaciones son adecuadas para realizar estudios topográficos o si son fáciles de inspeccionar, se puede confirmar que los puntos de medición no están extremadamente cerca unos de otros, sino que están distribuidos uniformemente por toda el área.
Las 50 ubicaciones aquí descritas se determinaron utilizando el "Diseño de Relleno Espacial", uno de los métodos de diseño experimental utilizados por JMP.
Si bien es una técnica menos conocida en el diseño experimental, este artículo explica los conceptos básicos y las características del diseño de relleno espacial y describe cómo aplicar un modelo de proceso gaussiano al diseño creado utilizando el ejemplo del mapa anterior.
¿Qué es un plan de ocupación de espacios?
Un plan de relleno espacial, como su nombre indica, tiene como objetivo "llenar el espacio". Busca obtener datos que no estén sesgados hacia ninguna región en particular, distribuyendo uniformemente los puntos experimentales en todo el rango del factor objetivo.
Cuando se trata de factores continuos, existen principalmente dos enfoques para este tipo de arreglo (① y ②).
① Disponga los puntos de manera que estén lo más separados posible ( maximice la distancia ).
② Distribuir los puntos a intervalos iguales en todo el espacio ( uniformidad ).
Dependiendo de cuál de estos elementos se priorice, o si se utiliza una combinación de ambos, existen diversos métodos de planificación. Los siguientes siete métodos se pueden utilizar en la planificación de ocupación de espacios de JMP:
Este ejemplo muestra el número de experimentos (número de puntos a colocar) establecido en 20 y ubicado en un área de diseño 2D.
El diagrama inferior izquierdo muestra el resultado de disponer las esferas mediante el método de empaquetamiento, mientras que el diagrama inferior derecho muestra el resultado de disponerlas mediante el método uniforme. En el primero, los puntos se disponen de forma que la distancia entre ellos sea grande, mientras que en el segundo se observa que la distribución es uniforme en cada eje.
El método de "empaquetamiento de bolas" consiste en crear un plano que maximice la distancia mínima entre dos puntos planificados y se centra en el factor ①. Por otro lado, el método de "diseño uniforme" consiste en crear un plano en el que los puntos de cada factor se distribuyan uniformemente y se centra en el factor ②.
Además, existe un método intermedio llamado "método del hipercuadrado latino".
Estándares MaxPro
Los planos de ocupación del espacio proporcionan estadísticas de diagnóstico para evaluar la calidad del plano. Uno de estos criterios es MaxPro (Proyección Máxima) . Hablaré brevemente de este criterio para la explicación que sigue.
El manual contiene detalles sobre la fórmula de cálculo de MaxPro, pero se trata de un índice que evalúa si los puntos están distribuidos uniformemente en todo el espacio experimental , y un valor menor indica un mejor diseño.
La función "Proyección" de MaxPro hace referencia a la proyección, haciendo hincapié en la preservación de la uniformidad de los puntos incluso al proyectar un plano de alta dimensión a un espacio de menor dimensión. Cuando intervienen muchos factores, el espacio de diseño se vuelve de alta dimensión, pero dependiendo del diseño, incluso si es uniforme en alta dimensión, puede producirse un sesgo al proyectarlo a 1D o 2D.
MaxPro es una métrica de evaluación que mantiene la mayor distancia posible entre puntos, teniendo en cuenta la uniformidad en cada dimensión y subespacio.
Plan de llenado flexible de alta velocidad
El mapa que se muestra primero utiliza un método llamado " relleno flexible de alta velocidad (planificación) ".
Si bien JMP ofrece flexibilidad para establecer restricciones lineales y combinaciones de factores que no se deben permitir durante la etapa de planificación, el diseño de relleno rápido y flexible es un método que también puede manejar estas restricciones.
Este método se basa en la maximización de la distancia (①) considerando también la uniformidad (②). Los puntos experimentales se determinan de la siguiente manera.
- Se genera aleatoriamente un gran número de puntos candidatos dentro de un espacio factorial que tiene en cuenta ciertas restricciones.
- Mediante el análisis de conglomerados, el experimento se divide en varios conglomerados que corresponden al número de experimentos especificado.
- Seleccione puntos representativos de cada grupo. Por defecto, se utilizan los criterios de MaxPro para determinar estos puntos representativos, que serán los puntos experimentales finales.
Operaciones en JMP
Aquí mostramos un ejemplo del uso de PM10 (partículas en suspensión con un diámetro aerodinámico de 10 µm o menos) como indicador para medir los niveles de contaminación del aire.
A continuación se describe el flujo de trabajo, pero para obtener más detalles, consulte el ejemplo del manual sobre cómo crear un plan de relleno de espacio en un mapa .
- Desde la barra de menú de JMP, seleccione [Diseño de experimentos (DOE)] > [Diseños especiales] > [Diseños de relleno de espacio].
- La respuesta se establece en pm10, los factores son lat (longitud) y lon (latitud), y se especifican los valores mínimo y máximo dentro del área metropolitana de Tokio.
- [Especifique las combinaciones no permitidas en el script] para excluir áreas fuera de Tokio.
- Cambie "Número de experimentos" a "50" y haga clic en [Relleno rápido y flexible].
Finalmente, al hacer clic en [Crear tabla] se genera una tabla de datos con la latitud y longitud de 50 ubicaciones, como se muestra a continuación. Estos puntos corresponden a las ubicaciones del estudio que se muestran en el mapa inicial.
Ajuste del modelo de proceso gaussiano
Como inspector ambiental, usted visita las 50 ubicaciones que se muestran aquí y mide el nivel de PM10 en cada una de ellas. Luego, ingresa estas mediciones en la columna "PM10".
Nota: pm10 utiliza la API "OpenWeatherMap" para obtener valores en un momento dado.
Tras introducir la respuesta, se modela la relación entre los factores y la respuesta. La tabla creada en el plan de relleno de espacio tiene un script asociado que aplica un modelo de proceso gaussiano.
Este script consiste en ajustar un modelo de proceso gaussiano donde Y es la respuesta y X es el factor.
Los modelos de procesos gaussianos son eficaces para analizar los datos obtenidos del proyecto Space Filling. Funcionan especialmente bien en experimentos de simulación donde los errores de medición son mínimos, ya que conectan de forma fluida los datos observados e interpolan perfectamente los puntos conocidos.
En este ejemplo, necesitamos predecir la concentración de PM10 en ubicaciones que no son puntos de medición. Al ajustar un modelo de proceso gaussiano a datos distribuidos uniformemente en todo el espacio, como en este caso, es posible obtener predicciones estables incluso para ubicaciones no observadas.
Al ejecutar el script mencionado anteriormente, se mostrará un informe con el modelo de proceso gaussiano aplicado. La siguiente figura muestra la superficie de la ecuación de predicción, cuya base son la longitud, la latitud y la altura pm10, y se puede observar que todos los puntos experimentales se encuentran sobre esta superficie.
Cuando guardes la fórmula de predicción en una tabla de datos, podrás confirmar que los valores medidos y predichos para pm10 coinciden.
Distribución prevista de PM10 en Tokio
Al visualizar en un mapa los valores predichos por el modelo de proceso gaussiano, se obtiene la siguiente distribución: el rojo indica áreas con altos niveles de PM10 y el azul, áreas con bajos niveles.
A partir de este mapa, podemos observar las siguientes tendencias, por ejemplo:
Los niveles de partículas PM10 son elevados en el aeropuerto de Haneda y en la zona de la bahía cercana.
⇒ Porque es una zona con mucho tráfico y actividad industrial.
Los niveles de PM10 son bajos en las zonas occidentales (Okutama y el oeste de Tokio).
⇒ Porque es una zona que no está urbanizada y tiene mucho entorno natural.
resumen
Este artículo explicaba lo siguiente:
- El método de relleno espacial tiene como objetivo obtener datos imparciales mediante la distribución uniforme de puntos en todo el espacio.
- Existen dos métodos para disponer los puntos: uno que maximiza la distancia entre ellos y otro que los distribuye uniformemente.
- JMP ofrece múltiples métodos, y su plan de llenado rápido y flexible, que puede adaptarse a las restricciones, resulta eficaz en aplicaciones prácticas.
- Al aplicar un modelo de proceso gaussiano a los datos obtenidos, se pueden estimar de forma precisa las relaciones y distribuciones generales, incluidos los valores de respuesta en condiciones no observadas.
Además, la nueva función de "Optimización Bayesiana" de JMP Pro 19 permite un muestreo imparcial del espacio factorial mediante un diseño de llenado del espacio. Al aplicar un modelo de proceso gaussiano a estos datos, se pueden evaluar las predicciones y las incertidumbres, y seleccionar de manera eficiente las condiciones prometedoras para una evaluación posterior.
por Naohiro Masukawa (JMP Japón)
Naohiro Masukawa - Comunidad de usuarios de JMP
