你是一名环境调查员。你想调查东京（不包括离岛）的空气污染情况，但由于时间和成本的限制，你只能在东京市内随机选择 50 个地点进行调查。
在这种情况下，我们应该如何决定要调查的50个地点呢？由于调查覆盖整个东京都市区，因此尽可能避免调查地点出现偏差至关重要。一种方法是使用JMP软件，所得结果如下图所示，图中标出了这50个地点。
无论这些地点是否适合测量或容易测量，都可以确定测量点之间的距离并不非常近，而是均匀分布在整个区域内。
这里的 50 个位置是使用“空间填充设计”确定的，这是 JMP 使用的实验设计方法之一。
虽然空间填充设计是一种不太常见的实验设计技术，但本文解释了空间填充设计的基本概念和特点，并描述了如何将高斯过程模型应用于使用上述地图示例创建的设计。
什么是空间填充计划？
空间填充计划，顾名思义，旨在“填充空间”。它力求通过在目标因素的整个范围内均匀分布实验点，来获得不偏向任何特定区域的数据。
在处理连续因子时，这种类型的安排主要有两种方法（①和②）。
① 安排各点，使它们尽可能远离（最大化距离）。
② 在整个空间内以相等的间隔分布点（均匀性）
根据优先考虑哪些因素，或者是否结合使用两种因素，存在多种规划方法。以下七种方法可用于 JMP 的空间填充规划：
此示例显示实验次数（要放置的点数）设置为 20，并放置在 2D 设计区域中。
左下图展示了使用“堆积”方法排列球体的结果，而右下图展示了使用“均匀”方法排列球体的结果。在前一种情况下，点之间的距离较大；而在后一种情况下，可以看出每个轴向上的分布都很均匀。
“球形填充”是一种使两个规划点之间的距离最短最大化的规划方法，它强调①。另一方面，“均匀设计”是一种使每个因素的点均匀分布的规划方法，它强调②。
此外，还有一种称为“拉丁超方方法”的中间方法。
MaxPro 标准
空间填充方案提供诊断统计数据，用于评估方案质量。其中一项指标是最大投影（MaxPro）标准。为了便于后续解释，我将简要介绍一下该标准。
手册中包含有关 MaxPro 计算公式的详细信息，但它是一个评估点是否均匀分布在整个实验空间中的指标，数值越小表示设计越好。
MaxPro 的“投影”功能指的是将高维平面图投影到低维空间时，能够保持点阵的均匀性。当影响因素众多时，设计空间会变成高维空间，但根据设计的具体情况，即使在高维空间中是均匀的，投影到一维或二维空间时也可能出现偏差。
MaxPro 是一种评估指标，它在保持点之间尽可能大距离的同时，还考虑了每个维度和子空间的均匀性。
高速柔性灌装方案
首先显示的地图采用了一种称为“高速柔性填充（规划） ”的方法。
虽然 JMP 提供了在规划阶段设置线性约束和禁止因素组合的灵活性，但快速灵活的填充设计方法也可以处理这些约束。
该方法基于距离最大化（①），同时考虑均匀性（②）。实验点按以下方式确定。
- 在考虑约束条件的因子空间内随机生成大量候选点。
- 利用聚类分析，将实验划分成若干个与指定实验数量相对应的聚类。
- 从每个聚类中选择代表性点。默认情况下，使用 MaxPro 标准确定这些代表性点，这些点将作为最终的实验点。
JMP 中的操作
在这里，我们展示了使用 PM10（空气动力学直径为 10 µm 或更小的空气颗粒）作为衡量空气污染水平的指标的例子。
以下概述了操作流程，但有关更多详细信息，请参阅手册中在地图上创建空间填充计划的示例。
- 从 JMP 菜单栏中选择 [实验设计 (DOE)] > [特殊设计] > [空间填充设计]。
- 响应设置为 pm10，因子为 lat（经度）和 lon（纬度），并指定了东京都市圈内的最小值和最大值。
- [指定脚本中不允许的组合] 以排除东京以外的地区。
- 将“实验次数”更改为“50”，然后单击[快速灵活填充]。
最后，点击【创建表格】按钮，即可生成一个包含50个地点经纬度的数据表，如下图所示。这些点是初始地图上显示的调查地点。
高斯过程模型的拟合
作为一名环境调查员，您需要走访此处所示的50个地点，并测量每个地点的PM10浓度。然后，您需要将这些测量结果输入到“PM10”列中。
注意：pm10 使用“OpenWeatherMap” API 获取给定时间的值。
在收集响应数据后，系统会对因子与响应之间的关系进行建模。空间填充计划中创建的表格附带脚本，用于应用高斯过程模型。
该脚本表示拟合高斯过程模型，其中Y 为响应，X 为因子。
高斯过程模型能够有效地分析从空间填充项目中获得的数据。它们在测量误差极小的模拟实验中表现尤为出色，因为它们能够平滑地连接观测数据并完美地插值已知点。
在这个例子中，我们需要预测非测量点位置的pm10值。通过将高斯过程模型拟合到均匀分布在整个空间的数据（如本例所示），即使对于未观测到的位置，也能进行稳定的预测。
运行前面提到的脚本将显示应用高斯过程模型的报告。下图显示了以经度、纬度和高度 pm10 为基准的预测方程曲面，可以看到所有实验点都位于该曲面上。
当您将预测公式实际保存到数据表中时，您可以确认 pm10 的测量值和预测值是否匹配。
预测东京PM10分布情况
当高斯过程模型的预测值在地图上可视化时，会得到以下分布。红色表示PM10浓度高的区域，蓝色表示PM10浓度低的区域。
从这张地图中，我们可以观察到以下趋势，例如：
羽田机场及附近海湾地区的PM10浓度较高。
⇒ 因为该地区交通繁忙，工业活动频繁。
西部地区（奥库塔马和东京西部）的 PM10 水平较低。
⇒ 因为这是一个尚未城市化的地区，拥有大量的自然环境。
概括
本文解释了以下内容：
- 空间填充方案是一种旨在通过在整个空间内均匀分布点来获取无偏数据的方法。
- 排列点的方法有两种：一种是使点之间的距离最大化，另一种是使点均匀分布。
- JMP 提供多种方法，其快速、灵活的填充方案能够适应各种限制，在实际应用中非常有效。
- 通过将高斯过程模型应用于所获得的数据，可以平滑地估计整体关系和分布，包括未观察到的条件下的响应值。
此外，JMP Pro 19 新增的“贝叶斯优化”功能允许使用空间填充设计对因子空间进行无偏抽样。通过将高斯过程模型应用于这些数据，可以评估预测结果和不确定性，并高效地筛选出有利于进一步评估的条件。
作者：Naohiro Masukawa（JMP 日本）
Naohiro Masukawa - JMP 用户社区
你是如何指定不允许的组合的？你是将东京的边界定义为一个多边形，然后使用了“In Polygon()”函数吗？能够确定自然区域内地理位置的空间填充设计，真是太棒了。
