당신은 환경 조사원입니다. 도쿄도 전역(낙도를 제외한다)의 대기 오염 상황을 조사하고 싶습니다만, 시간이나 비용의 편의상, 도쿄도내의 임의의 50 지점에서 밖에 조사를 실시할 수 없습니다.
이 경우 조사할 50개 지점을 어떻게 결정하면 좋을까요? 도쿄도 전역을 대상으로 하기 때문에 가능한 한 조사 지점을 치우치지 않도록 하는 것이 중요합니다. 그 한 가지 방법으로 JMP를 사용하여 얻은 결과는 아래지도에 표시된 50 지점 플롯입니다.
조사 가능한 장소인지 조사가 쉬운 장소인지는 따로 따로 측정 지점이 극단적으로 가까이 되지 않고, 영역 전체에 밸런스 잘 변동되어 배치되어 있는 것을 확인할 수 있습니다.
여기서 50점은 JMP의 실험 계획 작성 방법의 하나인 「Space Filling 계획」(공간 충전 계획)을 사용해 정해진 것입니다.
실험 계획법 중에서는 덜 익숙한 방법이지만, 본 기사에서는 Space Filling 계획의 기본적인 사고방식과 특징을 설명하고, 위의 지도 예에서 작성한 계획에 Gauss 과정 모델을 적용하는 흐름을 설명합니다.
Space Filling 계획이란?
Space Filling 계획이란, 그 말대로 「공간을 메우는」 것을 목적으로 한 계획입니다. 대상 인자의 범위 전체에 걸쳐 실험점을 균등하게 배치하고, 특정 영역에 치우치지 않는 데이터 취득을 목적으로 합니다.
연속인자를 취급할 경우 이러한 배치에는 주로 다음 2가지(①, ②)의 사고방식이 있습니다.
①점과 점의 거리가 가능한 한 멀어지도록 배치( 거리 최대화 )
②공간 전체에 대하여 균등한 간격으로 점을 배치( 일양성 )
이 중 어느 것에 중점을 둘 것인지 또는 둘을 결합할지에 따라 다양한 계획 기법이 존재합니다. JMP의 Space Filling 계획에서는 다음 7가지 방법을 사용할 수 있습니다.
실험의 횟수(배치하는 점의 개수)를 20회로 하고, 2차원의 계획 영역에 배치한 예를 나타냅니다.
좌하의 그림은 「구의 채우기」에 의해, 우하의 그림은 「일정」에 의해 배치한 결과입니다. 전자는 점끼리의 거리가 커지도록 배치되고, 후자는 각 축 방향으로 균일한 분포가 되는 것을 확인할 수 있습니다.
「구의 채우기」는, 2 개의 계획점간의 최단 거리가 최대가 되는 계획을 작성하는 방법이며, ①을 중시한 수법입니다. 한편, 「균일계획」은, 각 인자의 점이 균일하게 흩어지는 계획을 작성하는 방법이며, ②를 중시한 수법입니다.
또한 이러한 중간 방법으로 "라틴 초방격법"이 있습니다.
MaxPro 기준
Space Filling 계획은 계획의 장점을 평가하기 위한 진단 통계량을 제공합니다. 그 중 하나가 MaxPro (Maximum Projection) 기준 입니다. 이 후의 설명을 위해서도, 이 기준을 조금 접해 둡니다.
MaxPro의 계산식 등의 자세한 내용은 매뉴얼 에 기재되어 있습니다만, 실험 공간 전체에 있어서 점이 균형있게 배치되어 있는지를 평가하는 지표 이며, 값이 작을수록 좋은 계획으로 됩니다.
MaxPro의 'Projection'은 투영을 의미하며, 고차원 계획을 저차원으로 투영해도 점의 균일성이 유지되는 것을 중시하고 있습니다. 요인 수가 많을 경우, 계획 공간은 고차원이 되지만, 설계에 따라서는 고차원에서는 균일해도 1차원이나 2차원에 투영하면 편향이 생길 수 있습니다.
MaxPro는 점끼리의 거리를 최대한 크게 유지함과 동시에 각 차원과 부분공간에서의 균일성도 고려한 평가지표입니다.
고속 유연 충전 계획
첫 번째 지도는 고속 유연 충전(계획) 방법을 사용합니다.
JMP는 계획을 작성할 때 선형 제약이나 허용하지 않는 요인 조합을 설정할 수 있는 유연성을 가지고 있지만 고속 유연 충전 계획은 이러한 제약을 설정한 경우에도 대응할 수 있는 기법입니다.
이 방법은 ①의 거리 최대화를 베이스로 하면서 ②의 균일성도 고려한 계획입니다. 다음과 같은 흐름으로 실험점을 결정합니다.
- 제약 조건 등을 고려한 인자 공간 내에 다수의 후보점을 랜덤하게 생성한다.
- 클러스터 분석을 사용하여 지정된 실험 횟수에 해당하는 수의 클러스터로 분할
- 각 클러스터에서 대표점을 선택합니다. 이 때 기본적으로 MaxPro 기준을 사용하여 대표 점을 결정하고 최종 실험 점이됩니다.
JMP로 작업
여기에서는, 대기 오염 상황을 측정하는 지표로서 pm10(공기 중에 부유하는 입자 중, 공기역학적 직경이 10μm 이하의 것)을 이용하는 예를 나타냅니다.
아래에 작업 흐름이 나와 있습니다. 자세한 내용은 매뉴얼의 지도에서 Space Filling 계획 작성 예 를 참조하십시오.
- JMP 메뉴 모음에서 실험 계획법(DOE) > 특수 계획 > Space Filling 계획을 선택합니다.
- 응답에 pm10을, 요인을 lat(경도), lon(위도)로 하고, 도쿄도의 영역에 있어서의 최소치와 최대치를 지정
- [스크립트에서 허용하지 않는 조합 지정]에서 도쿄도 영역 밖 제외
- 실험 횟수를 50으로 변경하고 [고속 유연 충전]을 클릭합니다.
마지막으로 [테이블 만들기]를 클릭하면 다음과 같은 50개 지점의 위도와 경도를 가진 데이터 테이블이 생성됩니다. 이 점이 첫 번째 지도에 표시된 조사 지점이었습니다.
Gauss 프로세스 모델의 적합
환경조사원인 여러분은 여기에 표시된 50점으로 가서 각 지점의 pm10을 측정했다고 가정합니다. 이 측정값을 pm10 열에 입력합니다.
참고 : pm10은 "OpenWeatherMap"의 API를 사용하여 특정 시간의 값을 얻습니다.
응답 입력 후 요인과 응답의 관계를 모델링합니다. Space Filling 계획에서 작성된 테이블에는 Gauss 프로세스 모델을 적용하는 스크립트가 추가됩니다.
이 스크립트는 응답을 Y, 인자를 X로 한 Gauss (가우스) 과정 모델 을 적용하는 것을 의미합니다.
Space Filling 계획에서 얻은 데이터를 분석하려면 Gauss 프로세스 모델이 유효합니다. 특히 시뮬레이션 실험과 같이 측정 오차가 거의 없는 경우 관측 데이터를 매끄럽게 묶어 알려진 점을 완전히 보간하는 모델로서 기능합니다.
이 예에서는 측정점이 아닌 지점의 pm10 예측이 필요합니다. 이번과 같이 공간 전체에 균등하게 배치된 데이터에 Gauss 과정 모델을 적용함으로써 미관측 지점에 대해서도 안정된 예측이 가능해집니다.
이전 스크립트를 실행하면 Gauss 프로세스 모델을 적용한 보고서가 표시됩니다. 아래 그림은 저면을 경도, 위도, 높이를 pm10으로 했을 때의 예측식의 곡면을 나타내고 있습니다만, 실험점 모두가 이 곡면상에 타고 있는 것을 알 수 있습니다.
실제로 예측 식을 데이터 테이블에 저장하면 pm10의 실측치와 예측값이 일치하는지 확인할 수 있습니다.
도쿄 전역에서 pm10의 분포 예측
Gauss 과정 모델에 의한 예측값을 지도에 시각화하면 다음과 같은 분포를 얻을 수 있습니다. 빨간색은 PM10이 높은 영역, 파란색은 낮은 영역을 나타냅니다.
이 지도에서 예를 들어 다음과 같은 경향을 읽을 수 있습니다.
・하네다 공항이나 그 근처의 걸프 지역에서 pm10이 높아지고 있다
⇒ 교통량이나 공업 활동이 많은 지역 때문에
서쪽 지역 (오쿠타마와 니시 도쿄)에서 pm10이 낮습니다.
⇒ 도시화가 진행되지 않고 자연 환경이 많은 지역이기 때문에
요약
이 기사에서는 다음을 설명했습니다.
- Space Filling 계획은 공간 전체에 균형 있게 점을 배치하고 편향이 없는 데이터 취득을 목적으로 하는 수법이다.
- 배치 방법에는 점끼리의 거리를 최대화하는 방법과 균일하게 분포시키는 방법이 있다.
- JMP에서는 복수의 수법을 이용할 수 있어 제약에 대응 가능한 고속 유연 충전 계획이 실무로 유효하다.
- 얻어진 데이터에 가우스 프로세스 모델을 적용함으로써, 미관측의 조건에 있어서의 응답값도 포함하여, 전체의 관계성이나 분포를 매끄럽게 추정할 수 있다.
또한 JMP Pro 19의 새로운 기능인 'Bayes(베이즈) 최적화'에서는 Space Filling 계획에 의해 인자 공간을 편차 없이 샘플링하고, 그 데이터에 가우스 과정 모델을 적용함으로써 예측과 불확실성을 평가하고, 다음에 평가해야 할 유망한 조건을 효율적으로 선정할 수 있습니다.
by 마스카와 나오히로(JMP Japan)
마스카와 나오히로 - JMP 사용자 커뮤니티
