Sei un perito ambientale. Vuoi indagare sulla situazione dell'inquinamento atmosferico in tutta Tokyo (escluse le isole periferiche), ma a causa di vincoli di tempo e di budget, puoi condurre indagini solo in 50 punti scelti a caso all'interno di Tokyo.
In questo caso, come dovremmo decidere quali 50 località intervistare? Poiché l'indagine copre l'intera area metropolitana di Tokyo, è importante evitare il più possibile distorsioni nella scelta delle località. Un modo per farlo è utilizzare JMP, e i risultati ottenuti sono mostrati nella mappa sottostante, che indica le 50 località.
A prescindere dal fatto che i luoghi siano adatti o facili da rilevare, si può confermare che i punti di misurazione non sono estremamente vicini tra loro, ma sono distribuiti uniformemente su tutta l'area.
Le 50 posizioni qui indicate sono state determinate utilizzando il metodo "Space Filling Design", uno dei metodi di progettazione sperimentale impiegati da JMP.
Sebbene sia una tecnica meno conosciuta nell'ambito della progettazione sperimentale, questo articolo spiega i concetti e le caratteristiche di base del design Space Filling e descrive come applicare un modello di processo gaussiano al design creato utilizzando l'esempio della mappa sopra riportato.
Che cos'è un piano di riempimento degli spazi?
Un piano di riempimento dello spazio, come suggerisce il nome, mira a "riempire lo spazio". Cerca di ottenere dati che non siano distorti verso alcuna regione particolare, distribuendo uniformemente i punti sperimentali sull'intero intervallo del fattore target.
Quando si ha a che fare con fattori continui, esistono principalmente due approcci a questo tipo di disposizione (① e ②).
① Disponi i punti in modo che siano il più distanti possibile ( massimizza la distanza ).
② Distribuzione dei punti a intervalli uguali in tutto lo spazio ( uniformità )
A seconda di quale di questi elementi venga prioritario, o se si utilizzi una combinazione di entrambi, esistono diversi metodi di pianificazione. I seguenti sette metodi possono essere utilizzati nella pianificazione del riempimento degli spazi di JMP:
Questo esempio mostra il numero di esperimenti (numero di punti da posizionare) impostato a 20 e posizionato in un'area di progettazione 2D.
Il diagramma in basso a sinistra mostra il risultato della disposizione delle sfere utilizzando il metodo di "impacchettamento", mentre il diagramma in basso a destra mostra il risultato della loro disposizione utilizzando il metodo "uniforme". Nel primo caso, i punti sono disposti in modo tale che la distanza tra di loro sia elevata, mentre nel secondo si può osservare che la distribuzione è uniforme lungo ciascun asse.
Il "ball packing" è un metodo per creare un piano che massimizza la distanza più breve tra due punti pianificati e pone l'accento su ①. D'altra parte, il "design uniforme" è un metodo per creare un piano in cui i punti di ciascun fattore sono distribuiti uniformemente e pone l'accento su ②.
Inoltre, esiste un metodo intermedio chiamato "metodo dell'iperquadrato latino".
Standard MaxPro
I piani di riempimento dello spazio forniscono statistiche diagnostiche per valutare la qualità del piano. Uno di questi è il criterio MaxPro (Massima Proiezione) . Tratterò brevemente questo criterio ai fini della spiegazione che segue.
Il manuale contiene i dettagli sulla formula di calcolo di MaxPro, che è un indice che valuta se i punti sono distribuiti uniformemente nell'intero spazio sperimentale , e un valore inferiore indica un progetto migliore.
La funzione "Proiezione" di MaxPro si riferisce alla proiezione, ponendo l'accento sulla conservazione dell'uniformità dei punti anche quando si proietta un piano ad alta dimensionalità in uno spazio a dimensionalità inferiore. Quando sono presenti molti fattori, lo spazio di progettazione diventa ad alta dimensionalità, ma a seconda del progetto, anche se uniforme nelle dimensioni superiori, possono verificarsi distorsioni quando viene proiettato in 1D o 2D.
MaxPro è una metrica di valutazione che mantiene la massima distanza possibile tra i punti, tenendo conto anche dell'uniformità in ogni dimensione e sottospazio.
Piano di riempimento flessibile ad alta velocità
La mappa mostrata utilizza innanzitutto un metodo chiamato " riempimento flessibile ad alta velocità (pianificazione) ".
Sebbene JMP offra flessibilità nell'impostazione di vincoli lineari e combinazioni di fattori da escludere durante la fase di pianificazione, la progettazione rapida e flessibile del riempimento è un metodo in grado di gestire anche questi vincoli.
Questo metodo si basa sulla massimizzazione della distanza (①) tenendo conto anche dell'uniformità (②). I punti sperimentali vengono determinati nel modo seguente.
- Un gran numero di punti candidati viene generato in modo casuale all'interno di uno spazio fattoriale che tiene conto dei vincoli.
- Utilizzando l'analisi dei cluster, l'esperimento viene suddiviso in un numero di cluster corrispondente al numero di esperimenti specificato.
- Selezionare punti rappresentativi da ciascun cluster. Per impostazione predefinita, vengono utilizzati i criteri MaxPro per determinare questi punti rappresentativi, che costituiranno i punti sperimentali finali.
Operazioni in JMP
Qui presentiamo un esempio di utilizzo del PM10 (particelle aerodisperse con un diametro aerodinamico pari o inferiore a 10 µm) come indicatore per la misurazione dei livelli di inquinamento atmosferico.
Di seguito viene illustrato il flusso operativo, ma per ulteriori dettagli si prega di fare riferimento all'esempio del manuale relativo alla creazione di un piano di riempimento degli spazi su una mappa .
- Dalla barra dei menu di JMP, selezionare [Design of Experiments (DOE)] > [Special Designs] > [Space Filling Designs].
- La risposta è impostata su pm10, i fattori sono lat (longitudine) e lon (latitudine), e vengono specificati i valori minimi e massimi all'interno dell'area metropolitana di Tokyo.
- [Specificare le combinazioni non consentite nello script] per escludere le aree al di fuori di Tokyo.
- Modifica "Numero di esperimenti" in "50" e fai clic su [Riempimento rapido e flessibile].
Infine, cliccando su [Crea tabella] viene generata una tabella di dati con la latitudine e la longitudine di 50 posizioni, come mostrato di seguito. Questi punti corrispondono alle posizioni del rilevamento indicate sulla mappa iniziale.
Adattamento del modello del processo gaussiano
In qualità di addetto al rilevamento ambientale, visiterete le 50 località indicate e misurerete il livello di PM10 in ciascuna di esse. Successivamente, inserirete queste misurazioni nella colonna "PM10".
Nota: pm10 utilizza l'API "OpenWeatherMap" per ottenere i valori in un dato momento.
Dopo aver inserito la risposta, viene modellata la relazione tra i fattori e la risposta stessa. Alla tabella creata nel piano di riempimento dello spazio è associato uno script che applica un modello di processo gaussiano.
Questo script significa adattare un modello di processo gaussiano in cui Y è la risposta e X è il fattore.
I modelli basati sui processi gaussiani si rivelano efficaci per l'analisi dei dati ottenuti dal progetto Space Filling. Funzionano particolarmente bene negli esperimenti di simulazione, dove gli errori di misurazione sono minimi, poiché collegano in modo continuo i dati osservati e interpolano perfettamente i punti noti.
In questo esempio, dobbiamo prevedere il PM10 in luoghi che non sono punti di misurazione. Adattando un modello di processo gaussiano a dati distribuiti uniformemente nell'intero spazio, come in questo caso, è possibile ottenere previsioni stabili anche per i luoghi non osservati.
L'esecuzione dello script menzionato in precedenza visualizzerà un report con il modello di processo gaussiano applicato. La figura seguente mostra la superficie dell'equazione di previsione con base costituita da longitudine, latitudine e altezza pm10, e si può notare che tutti i punti sperimentali giacciono su questa superficie.
Quando si salva effettivamente la formula di previsione in una tabella di dati, è possibile verificare che i valori misurati e previsti per il PM10 corrispondano.
Distribuzione prevista delle particelle PM10 a Tokyo.
Quando i valori previsti dal modello del processo gaussiano vengono visualizzati su una mappa, si ottiene la seguente distribuzione. Il rosso indica le aree con alti livelli di PM10, mentre il blu indica le aree con bassi livelli.
Da questa mappa possiamo osservare, ad esempio, le seguenti tendenze:
I livelli di PM10 sono elevati all'aeroporto di Haneda e nella vicina area della baia.
⇒ Perché si tratta di una zona ad alto traffico e con intensa attività industriale.
I livelli di PM10 sono bassi nelle zone occidentali (Okutama e Tokyo occidentale).
⇒ Perché è una zona non urbanizzata e ricca di ambiente naturale.
riepilogo
Questo articolo spiegava quanto segue:
- Il metodo di riempimento dello spazio (Space Filling) mira ad acquisire dati imparziali distribuendo i punti in modo uniforme nell'intero spazio.
- Esistono due metodi per disporre i punti: uno che massimizza la distanza tra i punti e un altro che li distribuisce uniformemente.
- JMP offre molteplici metodi e il suo piano di riempimento rapido e flessibile, in grado di adattarsi a vincoli specifici, si dimostra efficace nelle applicazioni pratiche.
- Applicando un modello di processo gaussiano ai dati ottenuti, è possibile stimare in modo continuo le relazioni e le distribuzioni complessive, inclusi i valori di risposta in condizioni non osservate.
Inoltre, la nuova funzionalità "Ottimizzazione Bayesiana" di JMP Pro 19 consente un campionamento imparziale dello spazio dei fattori utilizzando un disegno di riempimento dello spazio. Applicando un modello di processo gaussiano a questi dati, è possibile valutare le previsioni e le incertezze e selezionare in modo efficiente le condizioni più promettenti per ulteriori valutazioni.
di Naohiro Masukawa (JMP Giappone)
Naohiro Masukawa - Comunità degli utenti JMP
