Vous êtes un expert en environnement. Vous souhaitez étudier la situation de la pollution atmosphérique dans tout Tokyo (à l'exclusion des îles périphériques), mais en raison de contraintes de temps et de budget, vous ne pouvez effectuer des relevés que dans 50 endroits choisis au hasard dans Tokyo.
Dans ce cas, comment déterminer les 50 sites à interroger ? L’enquête couvrant l’ensemble de la zone métropolitaine de Tokyo, il est essentiel de limiter au maximum les biais dans le choix des sites. L’utilisation de JMP permet d’y parvenir, et les résultats obtenus sont présentés sur la carte ci-dessous, qui représente les 50 sites.
Que les emplacements soient adaptés ou faciles à inspecter, il est possible de confirmer que les points de mesure ne sont pas extrêmement proches les uns des autres, mais répartis uniformément sur toute la zone.
Les 50 emplacements présentés ici ont été déterminés à l'aide de la méthode « Space Filling Design », l'une des méthodes de conception expérimentale utilisées par JMP.
Bien qu'il s'agisse d'une technique moins connue dans le domaine de la conception expérimentale, cet article explique les concepts et les caractéristiques de base de la conception de remplissage d'espace et décrit comment appliquer un modèle de processus gaussien à la conception créée à l'aide de l'exemple de carte ci-dessus.
Qu'est-ce qu'un plan de remplissage d'espace ?
Comme son nom l'indique, un plan de remplissage d'espace vise à « remplir l'espace ». Il cherche à obtenir des données non biaisées vers une région particulière en répartissant uniformément les points expérimentaux sur toute la plage du facteur cible.
Lorsqu'il s'agit de facteurs continus, il existe principalement deux approches pour ce type d'arrangement (① et ②).
① Disposez les points de manière à ce qu’ils soient aussi éloignés que possible ( maximisez la distance ).
② Répartition des points à intervalles égaux dans tout l'espace ( uniformité )
Selon la priorité accordée à l'un de ces éléments, ou selon l'utilisation d'une combinaison des deux, différentes méthodes de planification existent. Les sept méthodes suivantes peuvent être utilisées dans la planification de remplissage d'espace de JMP :
Cet exemple montre le nombre d'expériences (nombre de points à placer) fixé à 20 et placées dans une zone de conception 2D.
Le diagramme en bas à gauche illustre le résultat de la disposition des sphères par la méthode d'empilement, tandis que celui en bas à droite montre le résultat de leur disposition par la méthode uniforme. Dans le premier cas, les points sont disposés de manière à ce que la distance entre eux soit importante, alors que dans le second, la distribution est uniforme selon chaque axe.
Le « ball packing » est une méthode de création d'un plan qui maximise la distance la plus courte entre deux points prévus, et elle met l'accent sur le point 1. En revanche, la « conception uniforme » est une méthode de création d'un plan dans laquelle les points de chaque facteur sont répartis de manière égale, et elle met l'accent sur le point 2.
De plus, il existe une méthode intermédiaire appelée « méthode de l'hypercarré latin ».
Normes MaxPro
Les plans d'aménagement spatial fournissent des statistiques de diagnostic permettant d'évaluer leur qualité. L'un d'eux est le critère MaxPro (projection maximale) . J'aborderai brièvement ce critère dans la suite de mon explication.
Le manuel contient des détails sur la formule de calcul MaxPro, mais il s'agit d'un indice qui évalue si les points sont répartis uniformément dans tout l'espace expérimental , et une valeur plus petite indique une meilleure conception.
La fonction « Projection » de MaxPro fait référence à la projection, et plus particulièrement à la préservation de l'uniformité des points lors de la projection d'un plan multidimensionnel dans un espace de dimension inférieure. Lorsque de nombreux facteurs entrent en jeu, l'espace de conception devient multidimensionnel ; or, selon la conception, même si elle est uniforme en multidimensionnel, des biais peuvent apparaître lors de la projection en 1D ou 2D.
MaxPro est une métrique d'évaluation qui maintient la plus grande distance possible entre les points tout en tenant compte de l'uniformité dans chaque dimension et sous-espace.
Plan de remplissage flexible à grande vitesse
La première carte présentée utilise une méthode appelée « remplissage flexible à grande vitesse (planification) ».
Bien que JMP offre une flexibilité dans la définition des contraintes linéaires et des combinaisons de facteurs à interdire lors de la phase de planification, la conception de remplissage flexible rapide est une méthode qui peut également gérer ces contraintes.
Cette méthode repose sur la maximisation de la distance (①) tout en tenant compte de l'uniformité (②). Les points expérimentaux sont déterminés de la manière suivante.
- Un grand nombre de points candidats sont générés aléatoirement dans un espace factoriel qui prend en compte les contraintes.
- L'analyse de regroupement permet de diviser l'expérience en un certain nombre de groupes correspondant au nombre d'expériences spécifié.
- Sélectionnez des points représentatifs dans chaque groupe. Par défaut, les critères MaxPro sont utilisés pour déterminer ces points représentatifs, qui constitueront les points expérimentaux finaux.
Opérations dans JMP
Nous présentons ici un exemple d'utilisation des PM10 (particules en suspension dans l'air d'un diamètre aérodynamique de 10 µm ou moins) comme indicateur pour mesurer les niveaux de pollution de l'air.
Le déroulement des opérations est décrit ci-dessous, mais veuillez vous référer à l' exemple du manuel concernant la création d'un plan de remplissage d'espace sur une carte pour plus de détails.
- Dans la barre de menu JMP, sélectionnez [Conception d'expériences (DOE)] > [Plans spéciaux] > [Plans de remplissage d'espace].
- La réponse est définie sur pm10, les facteurs sur lat (longitude) et lon (latitude), et les valeurs minimales et maximales dans la zone métropolitaine de Tokyo sont spécifiées.
- [Spécifiez les combinaisons non autorisées dans le script] pour exclure les zones situées en dehors de Tokyo.
- Modifiez « Nombre d'expériences » à « 50 » et cliquez sur [Remplissage rapide et flexible].
Enfin, cliquer sur [Créer un tableau] génère un tableau de données contenant les coordonnées de latitude et de longitude de 50 emplacements, comme illustré ci-dessous. Ces points correspondent aux emplacements de l'enquête indiqués sur la carte initiale.
Ajustement du modèle de processus gaussien
En tant qu'inspecteur environnemental, vous vous rendez aux 50 sites indiqués ici et mesurez le niveau de PM10 à chaque site. Vous reportez ensuite ces mesures dans la colonne « PM10 ».
Remarque : pm10 utilise l’API « OpenWeatherMap » pour obtenir les valeurs à un instant donné.
Après la saisie de la réponse, la relation entre les facteurs et cette réponse est modélisée. Le tableau créé dans le plan de remplissage de l'espace est associé à un script qui applique un modèle de processus gaussien.
Ce script permet d'ajuster un modèle de processus gaussien où Y est la réponse et X est le facteur.
Les modèles de processus gaussiens sont efficaces pour analyser les données issues du projet Space Filling. Ils fonctionnent particulièrement bien dans les simulations où les erreurs de mesure sont minimales, car ils permettent de relier les données observées de manière continue et d'interpoler parfaitement les points connus.
Dans cet exemple, nous devons prédire les PM10 à des emplacements qui ne sont pas des points de mesure. En ajustant un modèle de processus gaussien à des données uniformément réparties sur l'ensemble de l'espace, comme c'est le cas ici, des prédictions stables deviennent possibles même pour les emplacements non observés.
L'exécution du script mentionné précédemment affichera un rapport avec le modèle de processus gaussien appliqué. La figure ci-dessous représente la surface de l'équation de prédiction, dont la base est définie par la longitude, la latitude et l'altitude pm10. On constate que tous les points expérimentaux se situent sur cette surface.
Lorsque vous enregistrez la formule de prédiction dans un tableau de données, vous pouvez confirmer que les valeurs mesurées et prédites pour les PM10 correspondent.
Distribution prévue des PM10 à travers Tokyo
Lorsque les valeurs prédites par le modèle de processus gaussien sont visualisées sur une carte, on obtient la distribution suivante : le rouge indique les zones à forte concentration de PM10 et le bleu les zones à faible concentration.
Cette carte nous permet d'observer les tendances suivantes, par exemple :
Les niveaux de PM10 sont élevés à l'aéroport de Haneda et dans la baie voisine.
⇒ Parce qu'il s'agit d'une zone à fort trafic et à forte activité industrielle.
Les niveaux de PM10 sont faibles dans les zones occidentales (Okutama et l'ouest de Tokyo).
⇒ Parce que c'est une zone non urbanisée et qui possède un environnement naturel abondant.
résumé
Cet article expliquait les points suivants :
- La méthode de remplissage de l'espace vise à acquérir des données objectives en répartissant les points uniformément dans l'ensemble de l'espace.
- Il existe deux méthodes pour disposer les points : l’une qui maximise la distance entre les points, et l’autre qui les répartit uniformément.
- JMP propose plusieurs méthodes, et son plan de remplissage rapide et flexible, qui peut s'adapter aux contraintes, est efficace dans les applications pratiques.
- En appliquant un modèle de processus gaussien aux données obtenues, les relations et distributions globales peuvent être estimées de manière continue, y compris les valeurs de réponse dans des conditions non observées.
De plus, la nouvelle fonction « Optimisation bayésienne » de JMP Pro 19 permet un échantillonnage non biaisé de l'espace des facteurs grâce à un plan d'expériences de remplissage d'espace. L'application d'un modèle de processus gaussien à ces données permet d'évaluer les prédictions et les incertitudes, et de sélectionner efficacement les conditions prometteuses pour une évaluation plus approfondie.
par Naohiro Masukawa (JMP Japon)
Naohiro Masukawa - Communauté d'utilisateurs JMP
