할로윈 시즌은 아니지만, 가상 변수는 계절에 상관없이 중요합니다! JMP Pro의 구조방정식 모델(SEM) 플랫폼에서 가상 변수를 지정하고 사용하는 방법을 살펴보겠습니다.
구조방정식 모델(SEM)에서 가상 변수는 주로 종단 분석에 사용됩니다. 서로 다른 시간 간격으로 수집된 세 번의 반복 측정값을 생각해 보세요. 예를 들어, 특정 연도(1년차라고 합시다)에 객관식 시험을 실시하고, 2년차에 다시 실시하고, 4년차에 또 다시 실시했다고 가정해 봅시다. 이때 평가 간격이 일정하지 않다는 점에 유의해야 합니다.
분석가는 이러한 데이터에 1차 자기회귀(AR) 모델을 적용하는 데 관심을 가질 수 있습니다. 이 모델은 특정 연도의 점수가 다음 연도의 점수에 미치는 영향을 알려줍니다. 종종 우리는 이러한 연간 효과가 시점별로 동일한지 여부를 검정하는 데 관심이 있습니다. (물론 선형 잠재 성장 곡선 모델, 무작위 절편이 있는 AR 모델 등 다른 흥미로운 모델들도 있습니다. 하지만 이 간단한 AR 모델은 가상 변수를 지정하고 사용하는 방법을 쉽게 보여줄 수 있습니다.)
SEM 플랫폼에는 종단 분석 하위 메뉴에서 자기회귀 모델을 지정하는 유용한 모델 바로가기 기능이 있습니다(교차지연 패널 모델 참조).
모델 바로가기 기능을 사용하면 각 반복 측정값이 얻어진 시간 값을 입력하라는 메시지가 나타납니다. 이러한 값은 SEM 플랫폼이 모델을 지정하는 데 매우 중요합니다(그렇지 않으면 어떤 변수가 어떤 변수보다 먼저 오는지 알 수 없습니다). 각 변수 이름 끝에 시간 값을 포함하는 것이 좋습니다. 이렇게 하면 초기 팝업 메뉴에서 "이름으로 추측" 버튼을 사용할 수 있습니다.
시간 값을 정의한 후, 다음 창에는 SEM 플랫폼이 반복 측정값을 해석한 결과가 표시됩니다. 표에서 시간과 순서가 정확한지 확인해야 합니다. 또한 등식 제약 조건을 설정하거나, 측정 오차를 설명하기 위해 잠재 변수를 추가하거나, 무작위 절편을 추가하는 등의 옵션도 있습니다. 여기서는 모든 옵션을 선택 해제하고 확인을 클릭합니다.
결과적으로 얻어진 모델은 기술적으로는 정확하지만, 많은 응용 분야에서는 자기회귀 효과의 동일성을 검정해야 한다는 점을 기억해야 합니다. 현재 모델 사양으로는 이를 검정할 수 없습니다. 왜냐하면 1년차 → 2년차와 2년차 → 4년차가 동일하지 않기 때문입니다(첫 번째 시차는 1년이지만 두 번째 시차는 2년입니다).
가상 변수가 해결책을 제시합니다
가상 변수는 실제로 존재하지 않는 잠재 변수, 즉 연결된 지표(관측 변수)가 없는 변수입니다. 가상 변수는 평가 간격이 일정하지 않을 때 자기회귀 효과의 동일성을 검정하는 데 유용한 해결책을 제공합니다.
가상 변수를 지정하려면 대상 목록에서 임의의 현시 변수 하나를 선택하고, 직관적으로 가상 변수 이름을 지정한 다음, + 버튼을 클릭합니다. 잠재 변수는 경로 다이어그램에 나타나지만, 현시 변수와 연결되는 요인 적재량을 제거해야 합니다(다이어그램에서 적재량을 선택하고 작업 버튼에서 제거를 클릭). 또한 분산도 처리해야 하는데, 우선 분산을 0으로 고정합니다(다이어그램에서 분산을 선택하고 작업 버튼에서 고정 또는 제거를 클릭). 이렇게 하면 모델에 진정한 가상 변수가 추가됩니다.
이제 가상 변수를 모델의 실제 변수처럼 처리해야 합니다. 이 변수는 누락된 3년차 데이터를 대체하는 역할을 하며, 연도별 자기회귀 효과를 정확하게 계산할 수 있도록 해줍니다. 이를 위해 다이어그램에서 2년차 → 4년차 회귀 효과를 선택하고 [제거]를 클릭합니다. 그런 다음 [시작] 목록에서 2년차 변수를 선택하고 [종료] 목록에서 3년차 가상 변수를 선택한 후 화살표 버튼을 클릭합니다. 이 단계를 반복하여 가상 변수를 4년차 변수에 연결합니다.
이제 각 회귀 효과는 동일한 시간 지연을 나타냅니다. 하지만 모델이 아직 완전히 적합된 것은 아닙니다. 모델을 식별하기 위해 등식 제약 조건을 추가해야 합니다. 가장 간단한 모델의 경우, 가상 변수에 연결된 두 경로에만 등식 제약 조건을 설정합니다(이것이 모델을 식별하는 데 필요한 최소한의 조건입니다). 경로를 선택하고 작업 버튼에서 "등식 설정"을 클릭합니다.
이제 실행을 클릭하여 모델을 적합시키세요. 결과를 살펴볼 수 있지만, 우리의 목표는 자기회귀 효과가 시간에 따라 동일한지 여부를 검정하는 것임을 기억하세요. 따라서 모든 자기회귀 효과에 동일성 제약 조건을 적용한 또 다른 모델을 적합시켜야 합니다. 세 가지 자기회귀 효과를 모두 선택하고 동일 설정(Set Equal)을 클릭한 다음 실행(Run)을 클릭하여 두 번째 모델을 적합시키세요.
두 번째 모델의 결과를 살펴보기 전에 먼저 두 모델 중 어느 모델이 가장 적합한지 결정해 보겠습니다. 모델 비교표에서 두 모델을 모두 선택하고 표 아래에 있는 '선택한 모델 비교' 버튼을 클릭하세요. 카이제곱 차이 검정을 통해 핵심 질문에 대한 답을 얻을 수 있습니다.
이 예시에서 카이제곱 값의 유의미한 차이는 모든 자기회귀 효과에 대해 등식 제약을 적용할 때 모델 부적합도가 크게 증가함을 시사합니다. 즉, 1년차 → 2년차 효과는 2년차 → 3년차 또는 3년차 → 4년차 효과와 같지 않습니다. 따라서 첫 번째 모델의 결과를 해석해야 합니다.
1학년 점수가 1점 증가할 때마다 2학년 점수는 1.527점 증가할 것으로 예상됩니다. 이 증가폭은 2학년에서 3학년으로, 그리고 3학년에서 4학년으로의 증가폭(1.304점)보다 유의미하게 큽니다. 중요한 것은 2학년에서 3학년으로, 그리고 3학년에서 4학년으로의 효과가 동일한지 실증적으로 검증할 데이터가 없다는 점입니다. 하지만 가상의 변수를 3학년을 대신하는 변수로 사용함으로써 자기회귀 효과를 적절한 단위로 추정할 수 있었습니다.
가상 변수에 대한 잔차 분산
경우에 따라 시간에 따른 잔차 분산의 동일성을 검정해야 할 수도 있습니다. 이는 각 가상 변수에 대해 잔차 분산을 지정하고(다른 변수들은 이미 잔차 분산을 가지고 있음) 시간에 따른 적절한 동일성 제약 조건을 설정함으로써 가능합니다. 아래 예시에서는 가상 변수가 잔차 분산을 갖도록 하기 위해 필요한 최소 동일성 제약 조건의 개수가 나와 있습니다.
모든 잔차 분산에 걸쳐 등식 제약 조건을 갖는 모델은 모든 자기회귀 효과에 대해서도 등식 제약 조건을 필요로 합니다.
참고로, 응용 분야에 따라 가상 변수의 분산이 1로 고정되거나 심지어 음수(정말 소름 끼치죠!)로 설정될 수도 있습니다. 이러한 대체 사양 및 더 자세한 기술적 내용은 David Rindskopf의 과학 논문에서 확인할 수 있습니다.
Rindskopf, D. (1984). 선형 구조 모델의 제약 조건을 매개변수화하기 위해 가상 및 가상의 잠재 변수를 사용합니다.심리측정학, 49(1), 37-47.
핵심 사항
- 가상 변수는 지표가 없고 분산을 자유롭게 추정할 수 없는 잠재 변수입니다.
- 가상 변수는 모델의 매개변수화를 재조정할 수 있도록 해주는 자리 표시자 역할을 합니다.
- 시간 지연이 서로 다른 자기회귀 모델의 경우, 가상 변수를 사용하면 시간 지연이 동일한 경우 의 추정치를 제공하는 모델을 지정할 수 있으므로 시간에 따른 효과가 동일한지 검정할 수 있습니다.
- JMP Pro에서 우리는 SEM 플랫폼을 속여 하나의 지표를 가진 잠재 변수를 생성합니다. 그런 다음, 그 변수의 본질만 남기고 나머지는 모두 제거합니다. 그러면 남는 것은 모델링 목표 달성을 돕는 미완의 과제를 안고 있는, 마치 유령처럼 남아있는 변수뿐입니다.
