ハロウィンシーズンではありませんが、ファントム変数は一年を通して重要です！JMP Proの構造方程式モデル（SEM）プラットフォームでファントム変数を指定して使用する方法を確認しましょう。
SEMにおけるファントム変数は、縦断的分析で最もよく使用されます。異なる期間で収集された3つの反復測定データを想像してみてください。ある年（これを1年目としましょう）に多肢選択式テストを実施し、2年目に再度実施し、さらに4年目に再度実施したとします。評価間隔が不均等であることに注目してください。
アナリストは、これらのデータにラグ1自己回帰（AR）モデルを当てはめることに興味を持つかもしれません。このモデルは、ある年のスコアが翌年のスコアにどのような影響を与えるかを示します。多くの場合、私たちはこれらの年次効果が各時点において等しいかどうかを検証することに関心があります。（もちろん、線形潜在成長曲線モデル、ランダム切片を持つARモデルなど、他にも興味深いモデルは存在します。しかし、このシンプルなARモデルは、ファントム変数の指定方法と使用方法を簡単に示すことができます。）
SEM プラットフォームには、縦断分析サブメニュー (Cross-Lagged Panel Model を探してください) で自己回帰モデルを指定するための便利なモデル ショートカットがあります。
モデルショートカットは、各繰り返し測定が行われた時点の時刻値を入力するようユーザーに促します。これらの値は、SEMプラットフォームがモデルをどのように指定するかを判断する上で重要です（そうでなければ、どの変数がどの変数の前にあるかが不明瞭になります）。各変数名の末尾に時刻値を含めるのが慣例です。これにより、最初のポップアップメニューにある「名前から推測」ボタンが使用できるようになります。
時間値を定義した後、次のウィンドウにはSEMプラットフォームによる反復測定の解釈が表示されます。表内の時間と順序が正しいことを確認する必要があります。また、等式制約の設定、測定誤差を考慮するための潜在変数の追加、ランダム切片の追加などのオプションもあります。ここでは、すべてのオプションのチェックを外し、「OK」をクリックします。
得られたモデルは技術的には正しいですが、多くの応用では自己回帰効果の等価性を検証する必要があることに注意してください。現在のモデル仕様では、Year 1 --> Year 2 が Year 2 --> Year 4 と同じではないため（最初のラグは1年ですが、2番目のラグは2年です）、自己回帰効果の等価性を検証することはできません。
ファントム変数が救世主
ファントム変数とは、実際には存在しない潜在変数、つまり指標（観測変数）が結び付けられていない変数です。ファントム変数は、評価が等間隔ではない場合に、自己回帰効果の等価性を検定するための優れたソリューションを提供します。
ファントム変数を指定するには、「対象リスト」から顕在変数を1つ選択し、ファントム変数に直感的に名前を付けて、「+」ボタンをクリックします。潜在変数はパス図に表示されますが、顕在変数にリンクしている因子負荷を削除する必要があります（図で負荷を選択し、アクションボタンで「削除」をクリックします）。また、分散についても対処する必要があります。ここでは、分散を0に固定します（図で分散を選択し、アクションボタンで「固定」または「削除」をクリックします）。これで、モデルに真のファントム変数が作成されます。
次に、モデル内でファントム変数を実際の変数として扱う必要があります。ファントム変数は、欠落している3年目のデータのプレースホルダーとして機能し、年ごとの自己回帰効果を正確に取得できるようにします。これを行うには、ダイアグラムで「2年目 --> 4年目」の回帰効果を選択し、「削除」をクリックします。次に、「Fromリスト」で2年目の変数、「Toリスト」で3年目のファントム変数を選択し、片方向矢印をクリックします。これらの手順を繰り返して、ファントム変数を4年目の変数に接続します。
これで、各回帰効果は同じタイムラグを表すようになりました。しかし、モデルをフィッティングする準備はまだ整っていません。モデルを識別するために、等式制約を追加する必要があります。最も単純なモデルでは、ファントム変数にリンクされた2つのパスに等式制約を設定します（これはモデルを識別するために必要な最小限の制約です）。パスを選択し、アクションボタンの「等式を設定」をクリックします。
「実行」をクリックしてモデルを当てはめます。結果を確認することもできますが、ここでの目的は自己回帰効果が時間経過とともに等しいかどうかを検証することです。そのため、すべての自己回帰効果に等式制約を課す別のモデルを当てはめる必要があります。3つの自己回帰効果をすべて選択し、「等式を設定」をクリックしてから「実行」をクリックして、2つ目のモデルを当てはめます。
2つ目のモデルの結果を調べる前に、まずはどちらのモデルが最も適合しているかを判断しましょう。「モデル比較」表で両方のモデルを選択し、表の下にある「選択したモデルを比較」ボタンをクリックします。カイ二乗差検定は、重要な疑問に答えてくれます。
この例では、カイ二乗検定の有意差は、すべての自己回帰効果に等式制約を課すと、モデルの不適合度が有意に増加することを示唆しています。言い換えれば、1年目→2年目効果は、2年目→3年目効果や3年目→4年目効果と等しくありません。最初のモデルの結果こそが、私たちが解釈すべき結果です。
1年目のスコアが1単位増加するごとに、2年目のスコアは1.527単位増加すると予想されます。この増加は、2年目→3年目、および3年目→4年目の1.304単位の増加よりも大幅に大きいです。重要なのは、2年目→3年目、および3年目→4年目の影響の等価性を実証的に検証するためのデータが存在しないことです。しかし、ファントム変数は3年目のプレースホルダーとして機能することで、適切な単位で自己回帰効果を推定するのに役立ちました。
ファントム変数の残差分散
場合によっては、残差分散の等式性を時間経過にわたって検定したい場合もあります。これは、各ファントム変数（他の変数は既に残差分散を持っています）の残差分散を指定し、時間経過にわたって適切な等式制約を設定することで可能です。この例では、ファントム変数が残差分散を持つために必要な最小限の等式制約の数を以下に示します。
すべての残差分散にわたって等式制約を持つモデルでは、すべての自己回帰効果でも等式制約が必要です。
異なるアプリケーションでは、ファントム変数の分散が1に固定されるか、場合によってはマイナス1になる可能性があることに注意してください（これは恐ろしいですね）。これらの代替仕様やより技術的な詳細については、David Rindskopfによる以下の科学論文をご覧ください。
Rindskopf, D. (1984). 線形構造モデルにおける制約をパラメータ化するためのファントムおよび虚数潜在変数の使用.サイコメトリカ, 49（１）、37-47頁。
要点
- ファントム変数は、指標がなく、自由に推定された分散のない潜在変数です。
- ファントム変数は、モデルの再パラメータ化を可能にするプレースホルダーのように機能します。
- 不等タイムラグを持つ自己回帰モデルの場合、ファントム変数を使用すると、等しいタイムラグの推定値を提供するモデルを指定できるため、時間の経過に伴う等しい効果をテストできます。
- JMP Proでは、SEMプラットフォームを「騙して」、指標を1つだけ持つ潜在変数を作成します。そして、その変数の本質以外のすべてを削除します。こうすることで、モデリングの目標達成を助けるという未完の任務を帯びた、ただの幻影だけが残ります。
