Lo so, non è la stagione di Halloween, ma le variabili fantasma sono importanti in qualsiasi periodo dell'anno! Vediamo come specificare e utilizzare le variabili fantasma nella piattaforma Structural Equation Models (SEM) di JMP Pro.
Le variabili fantasma nell'analisi statistica a scansione differenziale (SEM) sono più comunemente utilizzate nell'analisi longitudinale. Immagina di avere tre misure ripetute raccolte a intervalli di tempo diversi. Magari abbiamo somministrato un test a risposta multipla in un dato anno (chiamiamolo Anno 1), poi lo abbiamo somministrato di nuovo nell'Anno 2 e poi di nuovo nell'Anno 4. Si noti che la spaziatura tra le valutazioni non è uniforme.
Un analista potrebbe essere interessato ad adattare un modello autoregressivo (AR) lag-1 a questi dati. Questo modello ci direbbe l'effetto che un punteggio in un dato anno ha sul punteggio dell'anno successivo. Spesso, siamo interessati a verificare se questi effetti annuali siano uniformi nei diversi punti temporali. (Naturalmente, ci sono altri modelli che potrebbero essere interessanti, come un modello lineare di curva di crescita latente, un modello AR con un'intercetta casuale e altri. Tuttavia, questo semplice modello AR semplifica la dimostrazione di come specificare e utilizzare variabili fantasma.)
La piattaforma SEM dispone di un utile collegamento al modello per specificare modelli autoregressivi nel sottomenu Analisi longitudinale (cercare Modello pannello cross-lapped).
La scorciatoia del modello richiede agli utenti di inserire il valore temporale in corrispondenza del quale è stata ottenuta ciascuna misura ripetuta. Questi valori sono fondamentali affinché la piattaforma SEM sappia come specificare il modello (altrimenti, quale variabile precede quale?). Un'ottima convenzione è quella di includere i valori temporali alla fine del nome di ogni variabile, consentendo l'utilizzo del pulsante "Indovina dai nomi" nel menu a comparsa iniziale.
Dopo aver definito i valori temporali, la finestra successiva mostra l'interpretazione delle misure ripetute da parte della piattaforma SEM. Dobbiamo assicurarci che i tempi e l'ordine siano corretti nella tabella. Abbiamo anche opzioni per impostare vincoli di uguaglianza, aggiungere variabili latenti per tenere conto dell'errore di misurazione, aggiungere intercette casuali, ecc. Qui deselezioniamo tutte le opzioni e clicchiamo su OK.
Il modello risultante è tecnicamente corretto; ma ricordate che in molte applicazioni vogliamo testare l'uguaglianza degli effetti autoregressivi . Le specifiche attuali del modello non ci consentono di farlo perché Anno 1 --> Anno 2 non è lo stesso di Anno 2 --> Anno 4 (il primo ritardo è di un anno, ma il secondo di due anni).
Le variabili fantasma in soccorso
Le variabili fantasma sono semplicemente variabili latenti che in realtà non esistono, ovvero non hanno indicatori (variabili osservate) ad esse collegati. Le variabili fantasma forniscono una buona soluzione per testare l'uguaglianza degli effetti autoregressivi quando le valutazioni non sono equidistanti.
Per specificare una variabile fantasma, dobbiamo selezionare una qualsiasi variabile manifesta nell'elenco "A", assegnarle un nome intuitivo e cliccare sul pulsante +. La variabile latente apparirà nel diagramma del percorso, ma dobbiamo rimuovere il caricamento fattoriale che la collega alla variabile manifesta (selezionare il caricamento nel diagramma e cliccare su "Rimuovi" nei pulsanti di azione). Dobbiamo anche intervenire sulla sua varianza; per ora, la fisseremo a zero (selezionare la varianza nel diagramma e cliccare su "Correggi a" o "Rimuovi" nei pulsanti di azione). Infine, abbiamo una vera variabile fantasma nel nostro modello:
Ora dobbiamo trattare la variabile fantasma come se fosse una variabile reale nel nostro modello. Fungerà da segnaposto per i dati mancanti dell'anno 3 e ci consentirà di ottenere effetti autoregressivi accurati anno per anno. Per fare ciò, seleziona l'effetto di regressione Anno 2 --> Anno 4 nel diagramma e fai clic su Rimuovi. Quindi, seleziona la variabile Anno 2 nell'elenco Da, la variabile fantasma Anno 3 nell'elenco A e fai clic sulla freccia a una punta. Ripeti questi passaggi per collegare la variabile fantasma alla variabile Anno 4.
Ora, ogni effetto di regressione rappresenta lo stesso ritardo temporale. Tuttavia, il modello non è ancora pronto per essere adattato. Dobbiamo ancora aggiungere vincoli di uguaglianza per identificare il modello. Per il nostro modello più semplice, imposteremo semplicemente vincoli di uguaglianza sui due percorsi collegati alla variabile fantasma (questo è il minimo necessario per identificare il modello). Seleziona i percorsi e fai clic su "Imposta uguale" nei pulsanti di azione:
Ora clicca su "Esegui" per adattare il modello. Possiamo esaminare i risultati, ma ricordiamo che il nostro obiettivo è verificare se gli effetti autoregressivi sono uguali nel tempo. Pertanto, dobbiamo adattare un altro modello in cui imponiamo vincoli di uguaglianza a tutti gli effetti autoregressivi. Seleziona tutti e tre gli effetti autoregressivi e clicca su "Imposta uguale" seguito da "Esegui" per adattare il secondo modello:
Prima di esaminare i risultati del secondo modello, determiniamo innanzitutto quale dei due modelli si adatta meglio. Seleziona entrambi i modelli nella tabella "Confronto modelli" e clicca sul pulsante "Confronta modelli selezionati" sotto la tabella. Il test della differenza del chi-quadrato risponde alla nostra domanda chiave:
In questo esempio, la differenza significativa nel chi-quadrato suggerisce che si verifica un aumento significativo dell'errore di adattamento del modello quando si applicano vincoli di uguaglianza a tutti gli effetti autoregressivi. In altre parole, l'effetto Anno 1 --> Anno 2 non è uguale a Anno 2 --> Anno 3 o Anno 3 --> Anno 4. I risultati del primo modello sono quelli che dovremmo interpretare.
Per ogni unità di aumento nei punteggi del primo anno, ci aspettiamo un aumento di 1,527 unità nei punteggi del secondo anno. Questo aumento è significativamente maggiore degli aumenti per il passaggio dal secondo anno al terzo anno e dal terzo anno al quarto anno, che ammontano a 1,304 unità. È importante sottolineare che non disponiamo di dati per testare empiricamente l'uguaglianza degli effetti nel passaggio dal secondo anno al terzo anno e dal terzo anno al quarto anno. Tuttavia , la variabile fantasma ci ha aiutato a stimare gli effetti autoregressivi nelle unità appropriate, fungendo da segnaposto per il terzo anno.
Varianze residue per variabili fantasma
In alcuni casi, potrebbe essere necessario testare anche l'uguaglianza delle varianze residue nel tempo. Ciò è possibile specificando le varianze residue per ciascuna variabile fantasma (altre variabili presentano già varianze residue) e impostando opportuni vincoli di uguaglianza nel tempo. Nel nostro esempio, il numero minimo di vincoli di uguaglianza richiesti affinché la variabile fantasma possa avere una varianza residua è mostrato di seguito.
Un modello con vincoli di uguaglianza su tutte le varianze residue richiede anche vincoli di uguaglianza su tutti gli effetti autoregressivi.
Si noti che in diverse applicazioni, le variabili fantasma possono avere una varianza fissa pari a uno o addirittura negativa (questo sì che è inquietante)! Potete scoprire di più su queste specifiche alternative e su ulteriori dettagli tecnici in questo articolo scientifico di David Rindskopf:
Rindskopf, D. (1984). Utilizzo di variabili latenti fantasma e immaginarie per parametrizzare i vincoli nei modelli strutturali lineari.Psicometria, 49(1), 37-47.
Punti chiave
- Le variabili fantasma sono variabili latenti senza indicatori e senza una varianza liberamente stimata.
- Le variabili fantasma agiscono come segnaposto che ci consentono di riparametrizzare un modello.
- Per i modelli autoregressivi con ritardi temporali non uniformi, le variabili fantasma ci consentono di specificare un modello che fornisce stime per ritardi temporali uguali e quindi ci consentono di testare effetti uguali nel tempo.
- In JMP Pro, "inganniamo" la piattaforma SEM per creare una variabile latente con un solo indicatore. Poi, rimuoviamo tutto tranne la sua anima, lasciando solo un fantasma persistente con il compito incompiuto di aiutarci a raggiungere i nostri obiettivi di modellazione.
