Ich weiß, es ist nicht Halloween, aber Phantomvariablen sind zu jeder Jahreszeit wichtig! Schauen wir uns an, wie man Phantomvariablen in der Strukturgleichungsmodellierungsplattform (SEM) von JMP Pro spezifiziert und verwendet.
Phantomvariablen in Strukturgleichungsmodellen werden am häufigsten in Längsschnittanalysen verwendet. Stellen Sie sich drei wiederholte Messungen vor, die in unterschiedlichen Zeitabständen erhoben wurden. Beispielsweise haben wir in einem Jahr (nennen wir es Jahr 1) einen Multiple-Choice-Test durchgeführt, dann in Jahr 2 und schließlich in Jahr 4. Beachten Sie, dass die Abstände zwischen den Messungen ungleich sind.
Ein Analyst könnte daran interessiert sein, ein autoregressives Modell erster Ordnung (AR-Modell) an diese Daten anzupassen. Dieses Modell würde uns den Einfluss eines Wertes in einem bestimmten Jahr auf den Wert im Folgejahr aufzeigen. Häufig möchten wir prüfen, ob diese jährlichen Effekte über alle Zeitpunkte hinweg gleich sind. (Natürlich gibt es weitere interessante Modelle, wie beispielsweise ein lineares latentes Wachstumskurvenmodell, ein AR-Modell mit zufälligem Achsenabschnitt usw. Dieses einfache AR-Modell eignet sich jedoch hervorragend, um die Spezifikation und Verwendung von Phantomvariablen zu demonstrieren.)
Die SEM-Plattform verfügt über eine praktische Modellverknüpfung zur Spezifizierung autoregressiver Modelle im Untermenü „Längsschnittanalyse“ (suchen Sie nach „Cross-Lagged Panel Model“).
Die Modellverknüpfung fordert Benutzer auf, den Zeitpunkt jeder wiederholten Messung einzugeben. Diese Werte sind für die SEM-Plattform entscheidend, um das Modell korrekt zu spezifizieren (andernfalls ist unklar, welche Variable in welcher Reihenfolge erfasst wird). Es empfiehlt sich, die Zeitwerte an das Ende jedes Variablennamens anzuhängen. Dadurch kann die Schaltfläche „Variablennamen erraten“ im Startmenü verwendet werden.
Nachdem wir die Zeitwerte definiert haben, zeigt das nächste Fenster die Interpretation der wiederholten Messungen durch die SEM-Plattform. Wir müssen sicherstellen, dass die Zeitpunkte und die Reihenfolge in der Tabelle korrekt sind. Außerdem gibt es Optionen zum Festlegen von Gleichheitsbedingungen, zum Hinzufügen latenter Variablen zur Berücksichtigung von Messfehlern, zum Hinzufügen zufälliger Achsenabschnitte usw. Hier deaktivieren wir alle Optionen und klicken auf OK.
Das resultierende Modell ist technisch korrekt; man sollte jedoch bedenken, dass in vielen Anwendungen die Gleichheit der autoregressiven Effekte geprüft werden soll . Die aktuelle Modellspezifikation erlaubt dies nicht, da Jahr 1 → Jahr 2 nicht dasselbe ist wie Jahr 2 → Jahr 4 (die erste Verzögerung beträgt ein Jahr, die zweite jedoch zwei Jahre).
Phantomvariablen zur Rettung
Phantomvariablen sind latente Variablen, die nicht real existieren – ihnen sind also keine Indikatoren (beobachtete Variablen) zugeordnet. Sie eignen sich gut, um die Gleichheit autoregressiver Effekte zu testen, wenn die Messungen nicht in gleichen Abständen erfolgen.
Um eine Phantomvariable zu definieren, wählen wir eine beliebige manifeste Variable in der Zielliste aus, benennen die Phantomvariable aussagekräftig und klicken auf die Schaltfläche „+“. Die latente Variable wird im Pfaddiagramm angezeigt, jedoch müssen wir ihre Faktorladung, die sie mit der manifesten Variable verknüpft, entfernen (wählen Sie die Ladung im Diagramm aus und klicken Sie in den Aktionsschaltflächen auf „Entfernen“). Außerdem müssen wir ihre Varianz anpassen; vorerst setzen wir sie auf null (wählen Sie die Varianz im Diagramm aus und klicken Sie in den Aktionsschaltflächen auf „Festlegen auf“ oder „Entfernen“). Schließlich verfügen wir über eine echte Phantomvariable in unserem Modell.
Nun müssen wir die Phantomvariable so behandeln, als wäre sie eine reale Variable in unserem Modell. Sie dient als Platzhalter für die fehlenden Daten aus Jahr 3 und ermöglicht uns, genaue autoregressive Effekte zwischen den Jahren zu erhalten. Wählen Sie dazu im Diagramm den Regressionseffekt Jahr 2 → Jahr 4 aus und klicken Sie auf „Entfernen“. Wählen Sie anschließend die Variable für Jahr 2 in der „Von“-Liste, die Phantomvariable für Jahr 3 in der „Nach“-Liste aus und klicken Sie auf den Pfeil. Wiederholen Sie diese Schritte, um die Phantomvariable mit der Variable für Jahr 4 zu verbinden.
Nun repräsentiert jeder Regressionseffekt dieselbe Zeitverzögerung. Das Modell ist jedoch noch nicht vollständig für die Anpassung bereit. Wir müssen noch Gleichheitsbedingungen hinzufügen, um das Modell zu identifizieren. Für unser einfachstes Modell legen wir Gleichheitsbedingungen für die beiden Pfade fest, die mit der Phantomvariablen verknüpft sind (dies ist das Minimum, das zur Modellidentifizierung erforderlich ist). Wählen Sie die Pfade aus und klicken Sie in den Aktionsschaltflächen auf „Gleich setzen“.
Klicken Sie nun auf „Ausführen“, um das Modell anzupassen. Wir können die Ergebnisse untersuchen, aber denken Sie daran, dass unser Ziel darin besteht, zu testen, ob autoregressive Effekte über die Zeit gleich sind. Daher müssen wir ein weiteres Modell anpassen, in dem wir Gleichheitsbedingungen für alle autoregressiven Effekte festlegen. Wählen Sie alle drei autoregressiven Effekte aus und klicken Sie auf „Gleichsetzen“, gefolgt von „Ausführen“, um das zweite Modell anzupassen.
Bevor wir die Ergebnisse des zweiten Modells untersuchen, bestimmen wir zunächst, welches der beiden Modelle besser passt. Wählen Sie beide Modelle in der Modellvergleichstabelle aus und klicken Sie unterhalb der Tabelle auf die Schaltfläche „Ausgewählte Modelle vergleichen“. Der Chi-Quadrat-Differenztest beantwortet unsere zentrale Frage:
In diesem Beispiel deutet der signifikante Unterschied im Chi-Quadrat-Wert auf eine signifikante Zunahme der Modellabweichung hin, wenn wir Gleichheitsbedingungen für alle autoregressiven Effekte einführen. Anders ausgedrückt: Der Effekt von Jahr 1 zu Jahr 2 ist nicht gleich dem Effekt von Jahr 2 zu Jahr 3 oder von Jahr 3 zu Jahr 4. Die Ergebnisse des ersten Modells sind daher maßgeblich für die Interpretation.
Für jede Erhöhung der Punktzahl im ersten Jahr um eine Einheit erwarten wir eine Erhöhung der Punktzahl im zweiten Jahr um 1,527 Einheiten. Diese Erhöhung ist deutlich höher als die Erhöhungen zwischen dem zweiten und dritten Jahr sowie zwischen dem dritten und vierten Jahr, die jeweils 1,304 Einheiten betragen. Wichtig ist, dass uns keine Daten vorliegen, um die Gleichheit der Effekte zwischen dem zweiten und dritten Jahr sowie zwischen dem dritten und vierten Jahr empirisch zu überprüfen . Die Phantomvariable half uns jedoch, die autoregressiven Effekte in den korrekten Einheiten zu schätzen, indem sie als Platzhalter für das dritte Jahr diente.
Restvarianzen für Phantomvariablen
In manchen Fällen möchte man möglicherweise auch die Gleichheit der Restvarianzen im Zeitverlauf prüfen. Dies ist möglich, indem man für jede Phantomvariable Restvarianzen festlegt (andere Variablen haben bereits Restvarianzen) und entsprechende Gleichheitsbedingungen über die Zeit definiert. In unserem Beispiel wird die minimale Anzahl an Gleichheitsbedingungen, die erforderlich sind, damit die Phantomvariable eine Restvarianz aufweist, unten angezeigt.
Ein Modell mit Gleichheitsbedingungen über alle Restvarianzen hinweg erfordert auch Gleichheitsbedingungen in allen autoregressiven Effekten.
Beachten Sie, dass Phantomvariablen in verschiedenen Anwendungen eine auf eins festgelegte oder sogar negative Varianz aufweisen können (das ist wirklich unheimlich!). Mehr über diese alternativen Spezifikationen und weitere technische Details erfahren Sie in diesem wissenschaftlichen Artikel von David Rindskopf:
Rindskopf, D. (1984). Verwendung von Phantom- und imaginären latenten Variablen zur Parametrisierung von Nebenbedingungen in linearen Strukturmodellen.Psychometrika, 49(1), 37-47.
Wichtigste Punkte
- Phantomvariablen sind latente Variablen ohne Indikatoren und ohne frei geschätzte Varianz.
- Phantomvariablen fungieren als Platzhalter, die es uns ermöglichen, ein Modell neu zu parametrisieren.
- Bei autoregressiven Modellen mit ungleichen Zeitverzögerungen ermöglichen uns Phantomvariablen, ein Modell zu spezifizieren, das Schätzungen für gleiche Zeitverzögerungen liefert, und somit können wir prüfen, ob die Effekte über die Zeit hinweg gleich sind.
- In JMP Pro „tricksen“ wir die SEM-Plattform aus, um eine latente Variable mit einem einzigen Indikator zu erstellen. Anschließend entfernen wir alles bis auf den Kern der Variable, sodass nur noch ein vages Konstrukt übrig bleibt, das uns weiterhin bei der Erreichung unserer Modellierungsziele unterstützen soll.
