Je sais, ce n'est pas la saison d'Halloween, mais les variables fantômes sont importantes quelle que soit la période de l'année ! Revoyons comment spécifier et utiliser les variables fantômes dans la plateforme de modélisation par équations structurelles (SEM) de JMP Pro.
Les variables fantômes en modélisation par équations structurelles (SEM) sont surtout utilisées dans les analyses longitudinales. Imaginons trois mesures répétées à différents intervalles de temps. Par exemple, un test à choix multiples est administré une année donnée (appelons-la Année 1), puis une autre année (Année 2), et enfin une dernière année (Année 4). On constate que l'espacement entre les évaluations est inégal.
Un analyste pourrait souhaiter ajuster un modèle autorégressif (AR) à décalage 1 à ces données. Ce modèle permettrait de déterminer l'effet d'un score obtenu une année donnée sur le score de l'année suivante. Souvent, on cherche à vérifier si ces effets annuels sont constants d'une année à l'autre. (Bien entendu, d'autres modèles seraient intéressants, comme un modèle de courbe de croissance latente linéaire, un modèle AR avec une ordonnée à l'origine aléatoire, etc. Toutefois, ce modèle AR simple permet de démontrer facilement comment spécifier et utiliser des variables fictives.)
La plateforme SEM dispose d'un raccourci utile pour spécifier les modèles autorégressifs dans le sous-menu Analyse longitudinale (recherchez Modèle de panel à décalage croisé).
Le raccourci du modèle invite les utilisateurs à saisir la valeur temporelle de chaque mesure répétée. Ces valeurs sont essentielles pour que la plateforme d'équations structurelles puisse spécifier le modèle (sinon, quelle variable précède quelle autre ?). Il est recommandé d'inclure les valeurs temporelles à la fin de chaque nom de variable, ce qui permet d'utiliser le bouton « Deviner à partir des noms » du menu contextuel initial.
Après avoir défini les valeurs temporelles, la fenêtre suivante affiche l'interprétation des mesures répétées par la plateforme SEM. Il est impératif de vérifier l'exactitude des temps et de leur ordre dans le tableau. Des options permettent également de définir des contraintes d'égalité, d'ajouter des variables latentes pour tenir compte des erreurs de mesure, d'ajouter des ordonnées à l'origine aléatoires, etc. Ici, nous allons décocher toutes les options et cliquer sur OK.
Le modèle obtenu est techniquement correct ; toutefois, il convient de rappeler que dans de nombreuses applications, on souhaite tester l’égalité des effets autorégressifs . La spécification actuelle du modèle ne le permet pas, car la transition Année 1 → Année 2 diffère de la transition Année 2 → Année 4 (le premier décalage est d’un an, tandis que le second est de deux ans).
Les variables fantômes à la rescousse
Les variables fantômes sont simplement des variables latentes qui n'existent pas réellement ; autrement dit, elles ne sont associées à aucun indicateur (variable observée). Elles constituent une solution intéressante pour tester l'égalité des effets autorégressifs lorsque les évaluations ne sont pas équidistantes.
Pour spécifier une variable fantôme, sélectionnez une variable manifeste dans la liste déroulante, nommez-la de manière intuitive, puis cliquez sur le bouton « + ». La variable latente apparaîtra dans le diagramme de cheminement, mais il faut supprimer le facteur qui la relie à la variable manifeste (sélectionnez le facteur dans le diagramme et cliquez sur « Supprimer » parmi les boutons d'action). Il faut également traiter sa variance ; pour l'instant, fixez-la à zéro (sélectionnez la variance dans le diagramme et cliquez sur « Fixer à » ou « Supprimer » parmi les boutons d'action). Ainsi, nous avons une véritable variable fantôme dans notre modèle.
Il nous faut maintenant traiter la variable fictive comme s'il s'agissait d'une variable réelle de notre modèle. Elle servira de variable de substitution pour les données manquantes de l'année 3 et nous permettra d'obtenir des effets autorégressifs précis d'une année à l'autre. Pour ce faire, sélectionnez l'effet de régression Année 2 → Année 4 dans le diagramme et cliquez sur Supprimer. Ensuite, sélectionnez la variable Année 2 dans la liste « De », la variable fictive Année 3 dans la liste « À », puis cliquez sur la flèche à une seule pointe. Répétez ces étapes pour connecter la variable fictive à la variable Année 4.
Chaque effet de régression représente désormais le même décalage temporel. Cependant, le modèle n'est pas encore prêt à être ajusté. Il nous faut encore ajouter des contraintes d'égalité pour l'identifier. Pour notre modèle le plus simple, nous allons simplement définir des contraintes d'égalité sur les deux chemins liés à la variable fantôme (c'est le minimum requis pour identifier le modèle). Sélectionnez les chemins et cliquez sur « Définir comme égal » dans le menu d'actions.
Cliquez maintenant sur « Exécuter » pour ajuster le modèle. Nous pouvons examiner les résultats, mais rappelons que notre objectif est de vérifier si les effets autorégressifs sont égaux dans le temps. Il nous faut donc ajuster un autre modèle en imposant des contraintes d'égalité à tous les effets autorégressifs. Sélectionnez les trois effets autorégressifs et cliquez sur « Définir comme égaux », puis sur « Exécuter » pour ajuster le second modèle.
Avant d'examiner les résultats du second modèle, déterminons d'abord lequel des deux est le plus approprié. Sélectionnez les deux modèles dans le tableau de comparaison des modèles et cliquez sur le bouton « Comparer les modèles sélectionnés » situé sous le tableau. Le test du χ² répond à notre question principale :
Dans cet exemple, la différence significative du chi carré suggère une augmentation significative de l'écart au modèle lorsque l'on impose des contraintes d'égalité à tous les effets autorégressifs. Autrement dit, l'effet Année 1 → Année 2 est différent de l'effet Année 2 → Année 3 et de l'effet Année 3 → Année 4. Ce sont les résultats du premier modèle qu'il convient d'interpréter.
Pour chaque unité d'augmentation des scores de l'année 1, nous prévoyons une augmentation de 1,527 unité des scores de l'année 2. Cette augmentation est significativement supérieure à celles observées lors des transitions année 2 → année 3 et année 3 → année 4, qui sont de 1,304 unité. Il est important de noter que nous ne disposons pas de données permettant de tester empiriquement l'égalité des effets des transitions année 2 → année 3 et année 3 → année 4. Cependant , la variable fictive nous a permis d'estimer les effets autorégressifs dans les unités appropriées en servant de variable de substitution pour l'année 3.
Variances résiduelles pour les variables fantômes
Dans certains cas, il peut être utile de tester l'égalité des variances résiduelles au fil du temps. Pour ce faire, il faut spécifier les variances résiduelles de chaque variable fantôme (les autres variables possèdent déjà des variances résiduelles) et définir des contraintes d'égalité appropriées. Dans notre exemple, le nombre minimal de contraintes d'égalité requis pour que la variable fantôme présente une variance résiduelle est indiqué ci-dessous.
Un modèle avec des contraintes d'égalité sur toutes les variances résiduelles requiert également des contraintes d'égalité sur tous les effets autorégressifs.
Notez que, dans certaines applications, la variance des variables fantômes peut être fixée à un, voire à -1 (c'est plutôt inquiétant !). Vous trouverez plus d'informations sur ces spécifications alternatives et d'autres détails techniques dans cet article scientifique de David Rindskopf :
Rindskopf, D. (1984). Utilisation de variables latentes fantômes et imaginaires pour paramétrer les contraintes dans les modèles structurels linéaires.Psychométrie, 49(1), 37-47.
Points clés
- Les variables fantômes sont des variables latentes sans indicateurs et sans variance librement estimée.
- Les variables fantômes agissent comme des espaces réservés qui nous permettent de reparamétrer un modèle.
- Pour les modèles autorégressifs avec des décalages temporels inégaux, les variables fantômes nous permettent de spécifier un modèle qui fournit des estimations pour des décalages temporels égaux , et nous permettent ainsi de tester l'égalité des effets au fil du temps.
- Dans JMP Pro, nous « trompons » la plateforme SEM pour créer une variable latente avec un seul indicateur. Ensuite, nous supprimons tout sauf l'élément essentiel, ne laissant subsister qu'une sorte de fantôme persistant, chargé de nous aider à atteindre nos objectifs de modélisation.
