JMP의 「예측 프로파일」에서는, 「만족도의 극대화」를 이용하는 것으로, 각 응답의 목적(큰 쪽이 좋은・작은 쪽이 좋은・목표치에 맞춘다)을 가능한 한 동시에 만족시키는 인자(설명 변수)의 조합, 이른바 최적 조건 을 구할 수 있습니다.
다만 요구된 인자의 최적치는 어디까지나 1개의 점이며, 실제 공정에서는 온도나 습도 등을 최적치 정확하게 제어하는 것은 어렵고, 또한 환경 요인 등에 의해 인자는 최적치의 주위에서 편차를 가지고 변동한다고 생각하는 것이 자연스럽습니다.
요인이 변동하면 그에 따라 반응이 변동하므로 응답의 값도 분포를 구성합니다. 응답에 사양 범위(LSL: 하측, USL: 상측)가 설정되어 있는 경우, 그 분포의 일부가 사양 한계를 넘어, 부적합이 발생할 가능성이 있습니다.
아래 그림은 요인이 변동한다고 가정할 때 응답(Error1) 분포의 예입니다. 히스토그램을 보면, 사양 범위 밖에 위치하는 데이터가 일정수 존재하고 있습니다. 이 경우 인자를 최적값으로 설정해도 어느 비율로 사양 한계에서 벗어나는, 즉 부적합이 발생할 가능성이 있습니다.
그 때문에, 「만족도의 최적화」에서 구한 최적치는 평균적으로 좋은 조건이어도, 사양 범위내에 가능한 한 들어가는 관점에서는 최적이 아닌 경우가 있습니다.
그렇다면 사양 범위 내에 가능한 한 맞는 요인의 값을 찾는 방법은 무엇입니까?
JMP에서는 「 시뮬레이션 실험 」이라고 하는 기능이 있어, 인자의 편차를 가정해 다수회의 시뮬레이션을 실시해, 부적합율(사양 범위에 맞지 않는 비율)을 최소화하는 조건 을 검토할 수 있습니다.
최적화까지의 예
여기에서는 실험계획법에 따라 다음과 같은 설정을 실시합니다.
응답은 2개의 오차(Error1, Error2)로 하고, 모두 오차이므로 목표값은 0으로 합니다. 단, 사양 한계로서 -1.5 ~ 1.5 의 범위를 설정하고 있습니다.
응답 곡면계획에 근거하여 실험을 실시하고, 얻어진 실험점과 응답치(Error1, Error2)를 정리한 데이터 테이블을 나타냅니다. 이 데이터를 사용하여 Error1, Error2 각각에 응답 곡면 모델을 적용합니다.
'예측 프로필'에서 '만족도 극대화'를 수행할 때의 보고서를 나타냅니다. 응답의 Error1, Error2는 모두 거의 0이 되어, 오차를 제로로 하고 싶다는 요구를 잘 충족하고 있습니다. 이때 인자의 최적값은 Temp1=73.2, Temp2=102.4, Humidity=15.6으로 구하였다.
시뮬레이터에 의한 편차 평가
최적 값 주위에서 요인이 변동하는 분포를 표현하기 위해 예측 프로파일의 옵션 인 시뮬레이터 를 사용합니다. 각 인자에 대해 최적값을 평균, 일정한 표준 편차를 파라미터로 하는 정규 분포를 따른다고 가정합니다.
시뮬레이션에서는 이러한 분포에서 10,000쌍의 난수를 생성하고 응답 곡면의 예측 수식을 기반으로 응답 값을 계산합니다. 이렇게 하여 얻은 10,000개의 응답값 중 사양 범위(-1.5~1.5)를 벗어나는 비율이 부적합률 로 산출됩니다.
아래 그림은 시뮬레이션 결과의 예입니다. "Error1"의 부적합률은 0.4051, "Error2"의 부적합률은 0.286입니다. 즉, 최적값으로 설정해도 각각 40%, 29% 정도의 비율로 부적합이 발생할 가능성이 있는 것을 알 수 있습니다.
※난수를 이용한 시뮬레이션 때문에, 실행할 때마다 수치는 다소 변동합니다.
"시뮬레이션 실험"에 의한 부적합을 최소화하는 조건
그래서, 어느 정도 응답의 목표치(Error1=0, Error2=0)로부터 다소 어긋나도 좋기 때문에, 부적합율을 보다 작게 하는 인자 설정 을 시뮬레이션 실험에 의해 구해 봅니다.
시뮬레이션 실험 창에서는 다양한 실험 설정을 지정할 수 있지만, 여기에서는 실험 횟수가 128회, 실험당 시뮬레이션 횟수가 10,000회로 설정되어 있음을 의식해 둡니다.
확인을 클릭하여 실행하면 128행으로 구성된 데이터 테이블이 출력됩니다. 각 행은 하나의 실험에 해당하며, 각각에 대해 10,000회의 시뮬레이션 결과가 정리되어 있습니다.
여기서 시뮬레이션 실험이란 요인 분포의 위치(평균)를 변화시킬 때 부적합률이 어떻게 변하는지를 조사하고 있습니다.
예를 들어 1행째에서는, Temp1= 73.21, Temp2=107.9, Humidity = 14.00 을 평균으로 해, 시뮬레이터와 같은 표준 편차를 가지는 정규 분포(정확하게는 가중 정규 분포)로부터 10,000개 난수를 생성해, 응답치를 계산하고 있습니다. 그 값이 사양 한계 밖에 되어 있는 비율을 산출합니다.
그 결과, Error1의 부적합률은 0.202, Error2의 부적합률은 0.654가 되어, 적어도 어느 한쪽이 부적합이 되는 「전체 부적합률」이 0.670인 것을 나타냅니다. 유사한 실험을 128대로 실시한 결과가 위의 데이터 테이블이 됩니다.
이 128개의 실험점은 전체 실험 공간을 넓고 균등하게 커버하는 Space Filling 계획을 기반으로 선택됩니다.
부적합률 모델 작성
얻어진 시뮬레이션 결과로부터, 부적합율을 3개의 인자(Temp1, Temp2, Humidity)로 예측하는 모델을 작성합니다. JMP는 시뮬레이션 실험 모델링에 적합한 Gauss 프로세스 모델 을 사용합니다. 적합 모델을 이용한 부적합률을 최소화하는 요인 설정을 구합니다.
목적 변수에는 부적합률 그 자체가 아니라 상용 로그를 취한 Log10 부적합률을 사용합니다. 이 모델을 이용하여 「만족도 최적화」에 의해 「Log10 부적합율」을 최소로 하는 인자 설정을 구합니다.
Gauss 과정 모델을 맞추고, 「만족도의 최적화」를 이용해 「Log 10 부적합율」을 최소로 하는 인자 설정을 구한 상태를 나타냅니다. 이 때의 인자의 값은 Temp1 = 71.7, Temp2 = 106.9, Humidity = 15.3이 되어, 서두에서 구한 최적값과 다소 다른 것을 알 수 있습니다.
이 인자 설정을 평균으로 다시 시뮬레이터를 실행하면 Error1, Error2의 예측값은 모두 0에서 조금 떨어지지만, 부적합률은 각각 0.1179, 0.119가 되어, 최초의 최적화 결과(0.4051, 0.286)에 비해 크게 개선됩니다.
요약
이 예에서 알 수 있듯이 사양 한계 내에 들어가는 것이 중요한 경우 응답의 목표 값을 가장 잘 충족시키는 조건이 반드시 부적합률을 최소화하는 조건은 아닙니다.
요인이 변하는 것을 전제로 시뮬레이션 실험을 실시하는 것으로, 부적합율을 작게 억제하는 요인 설정을 검토할 수 있습니다.
"제대로 사양을 충족하는 제품을 만드는 것이 중요하다"는 관점에서 생각하면 이번에 소개한 접근법은 많은 현장에서 효과적인 방법이 될 것입니다.
by 마스카와 나오히로(JMP Japan)
마스카와 나오히로 - JMP 사용자 커뮤니티
