JMP 提供世界一流的實驗設計 (DOE) 平台，已被製藥、半導體和化學等眾多行業的科學家和工程師廣泛使用。但如果我告訴你 JMP 的 DOE 平台也能幫助你進行藝術創作，你會感到驚訝嗎？
今年六月我去紐約的時候，有機會參觀了現代藝術博物館（感謝我們的實習生謝可欣的推薦！）。在博物館裡漫步時，我看到了一些系列藝術作品。系列藝術的特點是重複使用統一的元素或物體，並按照模組化原則進行組合。
其中一件作品尤其吸引了我的目光。這件作品由同一幅圖像的多個副本組成，但某些區域的顏色各不相同。這讓我聯想到一個多因素實驗，圖像的每個副本都對應著實驗中的一次運行。這個觀察讓我思考，是否有藝術家在他們的作品中運用了組合設計（實驗設計的基本要素）；隨後，我發現了數學家兼藝術家瑪格麗特·凱普納（Margaret Kepner）的作品《拉丁幻想曲 I：曲線》（Latin Fandago I: Curves） 。 《拉丁幻想曲》描繪了一系列奇特的色彩和曲線，乍看之下似乎雜亂無章，但如果仔細觀察，就會發現其中蘊含著某種模式和結構。那麼，這與實驗設計（DOE）有何關聯呢？
原來，凱普納運用了一種名為拉丁方陣的組合設計來指導上述作品的創作。具體來說，她使用了一組六個互為正交的七階拉丁方陣（MOLS）。得知她使用MOLS創作藝術作品後，我立即求助於JMP軟體，尋找不同的MOLS組合，以便嘗試創作自己的MOLS作品。下面是一個簡單的MOLS作品範例：
圖片1.png
然而，在我上面的描述中，我肯定省略了從打開 JMP 到創作這幅作品之間的許多步驟。那麼，我是如何使用 JMP 來幫助我完成這幅作品的呢？
對於有興趣的人，我將先介紹一些數學基礎知識，然後再詳細介紹工作流程中的步驟。
拉丁方
根據《組合設計手冊》 （Colbourn，2010）：“n 階拉丁方陣是一個 n 行 n 列的數組，其中每個單元格包含一個來自大小為 n 的集合 S 的符號，使得每個符號在每一行和每一列中都恰好出現一次。”
下面給出集合 {1,2,3} 上的 3 階拉丁方範例：
我們可以清楚地看到，{1,2,3}中的每個符號在每一行和每一列中都只出現一次。
相互正交的拉丁方
設 L 和 L' 是符號集 S 和 S' 上的 n 階拉丁方。直觀地說，如果將 L 疊加到 L' 上，S 和 S' 的笛卡爾積中的每個可能的有序對都恰好出現一次，則稱 L 和 L' 正交。
下面給出集合 {1,2,3} 上的兩個三階正交拉丁方的例子：
很容易驗證，當兩個數組疊加時，{1,2,3}x{1,2,3} 中的每個有序對都能找到，並且恰好出現一次：(2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3)。
根據正交拉丁方的定義，如果一組拉丁方中的每一對拉丁方都是正交的，則稱這組拉丁方是相互正交的。
雖然 JMP 中沒有相互正交拉丁方平台，但對於熟悉組合設計理論的人來說，眾所周知，MOLS 可以從稱為正交陣列的某種組合設計中構建，而正交陣列可以在 JMP 中構建。
正交陣列
正交陣列常用於創建實驗設計，在某些特殊情況下，它們是最優設計，與類似設計相比效率最高。此外，正交陣列推廣了多目標最小平方法（MOLS）的概念。為了方便本文討論，我根據《組合設計手冊》給出了強度為2、索引為1的正交陣列（以下簡稱正交陣列）的一個非常特殊情況的定義： “正交陣列OA(n^2,k)是一個n^2行k列的陣列，其元素來自n個符號的集合S，滿足以下性質：對於任意兩列，S與其自身的笛卡爾積中恰好出現一次的順序性質。
下面給出一個九行四列的正交數組範例，數組元素取自集合{1,2,3}：
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
正交陣列與MOLS之間的聯繫
給定一個 OA(n^2, m + 2)－－也就是一個 n^2 行 m + 2 列的正交數組－－我們可以構造一組 m 個 n 階 MOLS。我們透過一個例子來說明如何做到這一點。我們示範的方法可以應用於任何 OA(n^2, m + 2)。
考慮上面給出的正交陣列。它有 9 = 3^2 行和 4 列，因此我們應該能夠構造兩個相互正交的三階拉丁方。方法如下：
- 將任兩列標記為 R 和 C（分別代表「行」和「列」），並將剩餘的列標記為 S1 和 S2，分別對應第一個和第二個拉丁方。
| 拉 | C | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- 繪製兩個 3x3 的空數組，一個用於 S1，一個用於 S2。
- 查看 R 和 C 列，發現第一行 R 和 C 的值分別為 2 和 2。看到 S1 等於 1，S2 等於 3。根據 R 和 C 的值，在 S1 的第二行第二列填入 1。同樣地，在 S2 的第二行第二列填入 3。
- S1
- S2
- 查看 OA(9,4) 的第二行，在 S1 的第一行第三列填入 1，在 S2 的第一行第三列填入 1。
- S1
- S2
- 對 OA(9,4) 的其餘行重複此程序。
- S1
- S2
很容易驗證，步驟 5 中的兩個陣列都是拉丁方，它們相互正交。
在 JMP 中構造正交陣列 OA(n^2, m + 2)
遺憾的是，並非每個 n 和 k 的組合都存在正交數組，但 JMP 可以找到許多存在的正交數組！以下範例展示如何在 JMP 中尋找正交數組：
- 在 JMP 中，前往 DOE 平台下的自訂設計。
- 在「因子」子選單下，前往「新增 N 個因子」框，然後輸入 m+2 的值。
- 點擊“新增因子”三角形選單，然後前往“分類”並選擇“n 個等級”。在本例中，我們建立了一個 OA(9,4)。
圖片2.png
- 點選“繼續”。
- 確保模型設定為主效應模型。將運行次數設定為 n^2。按一下“生成設計”。
圖片3.png
- 如果設計的 D 效率（以及 G 效率和 A 效率）達到 100%，則表示您建立的設計是正交陣列，該效率可在設計診斷中找到。
圖4.png
現在你已經有了正交陣列，可以開始創作藝術了！
利用正交陣列創作藝術作品
為了展示製作這些受 MOLS 啟發的作品時的不同思路，讓我們從製作一個新的正交陣列開始。
按照上述說明，我建構了一個 OA(4^2, 3 + 2):
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
然後，我按照前面概述的流程建立以下三個 MOL：
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
由於我使用了三個四階多目標線性迴歸（MOLS），我創建了一個 4x4 的影像，並根據上述 MOLS 將三個因子應用於 16 個子影像中的每一個。每個因子都有四個等級。
此時，我們可以相當自由地決定三個因素及其對應的四個層級。在這個例子中，我們有一個子圖像，它由背景顏色、位於子圖像四個角落之一的小正方形以及小正方形的顏色組成。在這個例子中，我的第一個因素是背景顏色（對應 S1），其等級分別為：青綠色 = 1，藍色 = 2，天藍色 = 3，黑色 = 4。我的第二個因素是小正方形的位置（對應 S2），其等級分別為：右上角 = 1，右下角 = 2，左下角 = 3，左上角 = 4。最後，我的最後一個因素是小正方形的顏色（對應於 S3），其等級分別為：黃色 = 1，橘色 = 2，朱紅色 = 3，粉紅色 = 4。
然後我將圖像分割成 16 個子圖像，每行每列各有四個子圖像。將三個 MOLS S1、S2 和 S3 疊在一起，我發現第一個子影像（第一行第一列）的背景是黑色，左上角有一個朱紅色的小方塊。類似地，第二個子圖像（第一行第二列）的背景是藍色，右上角有一個橘色的小方塊。以此類推，最後一個子圖像（第四行第四列）的背景也是藍色，右下角有一個朱紅色的小方塊。最終效果如下：
圖片5.png
結論
瞧！ JMP 的 DOE 平台可以用來輔助創作基於相互正交拉丁方 (MOLS) 的藝術作品，類似於 Margaret Kepner 的作品。這需要使用自訂設計功能建立特定類型的正交陣列，然後從該正交陣列建立一組 MOLS。參考本部落格中的範例，您也可以嘗試創作一些受 DOE 啟發的藝術作品！
最後，對於對第一張圖有興趣的朋友：這張圖是用兩個三階正交拉丁方陣產生的。我在 JMP 中創建的對應正交拉丁方陣有九行四列，每列有三個層級。這張圖由九個子圖組成，每個子圖都包含一個背景和四個角落上的四分之一圓。兩個影響因素分別是背景顏色（有三個層級：藍色、天藍色和青綠色）和四分之一圓形顏色（有三個層級：黃色、橙色和朱紅色）。
參考
- Colbourn, Charles J. CRC 組合設計手冊。 CRC 出版社，2010 年。
