JMP ofrece una plataforma de diseño de experimentos (DOE) de primer nivel, ampliamente utilizada por científicos e ingenieros de diversos sectores, como el farmacéutico, el de semiconductores y el químico. Pero, ¿te sorprendería saber que la plataforma DOE de JMP también puede serte útil en tus proyectos artísticos?
Durante mi visita a la ciudad de Nueva York el pasado mes de junio, tuve la oportunidad de visitar el Museo de Arte Moderno (¡sugerencia de nuestra becaria Kexin Xie!). Mientras recorría el museo, me encontré con algunos ejemplos de arte serial . El arte serial se caracteriza por la repetición de elementos u objetos uniformes ensamblados según principios modulares.
Una de esas obras me llamó especialmente la atención. Presentaba múltiples réplicas de la misma imagen, pero con diferentes colores en ciertas áreas. Esto me recordó a un experimento multifactorial, donde cada copia de la imagen correspondía a una ejecución del experimento. Esta observación me hizo preguntarme si algún artista había utilizado diseños combinatorios (los componentes básicos del diseño de experimentos) en su obra; entonces descubrí Latin Fandago I: Curves, de la matemática y artista Margaret Kepner. Fandago latino muestra una caprichosa combinación de colores y curvas que, a primera vista, parece caótica, pero si se observa con más detenimiento, se aprecia la presencia de patrones y estructuras. ¿Qué relación tiene esto con el diseño de experimentos?
Resulta que Kepner utilizó un diseño combinatorio conocido como cuadrado latino para guiar la creación de la obra mencionada. En concreto, empleó un conjunto de seis cuadrados latinos mutuamente ortogonales (MOLS) de orden siete. Al enterarme de que había utilizado MOLS para crear su obra, recurrí inmediatamente a JMP para que me ayudara a encontrar diferentes conjuntos de MOLS y así poder experimentar creando mis propias piezas basadas en esta técnica. A continuación se muestra un ejemplo sencillo:
Imagen1.png
Sin embargo, en mi descripción anterior, sin duda omití muchos pasos entre abrir JMP y crear esta pieza. Entonces, ¿cómo utilicé JMP para crearla?
Para aquellos interesados, comenzaré con algunos preliminares matemáticos antes de detallar los pasos del proceso.
cuadrados latinos
Según el Manual de Diseños Combinatorios (Colbourn, 2010): “Un cuadrado latino de orden n es una matriz con n filas y n columnas donde cada celda contiene un solo símbolo de un conjunto S de tamaño n, de manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna”.
A continuación se muestra un ejemplo de cuadrado latino de orden 3 en el conjunto {1,2,3}:
Podemos ver claramente que cada símbolo en {1,2,3} aparece solo una vez en cada fila y en cada columna.
Cuadrados latinos mutuamente ortogonales
Sean L y L' cuadrados latinos de orden n sobre los conjuntos de símbolos S y S'. Intuitivamente, decimos que L y L' son ortogonales si, al superponer L sobre L', cada par ordenado posible del producto cartesiano de S y S' aparece exactamente una vez.
A continuación se muestra un ejemplo de dos cuadrados latinos ortogonales de orden tres en el conjunto {1,2,3}:
Se puede comprobar fácilmente que cada par ordenado de {1,2,3}x{1,2,3} se encuentra y aparece exactamente una vez cuando se superponen los dos arreglos: (2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3).
Según la definición de cuadrados latinos ortogonales, se dice que un conjunto de cuadrados latinos es mutuamente ortogonal si cada par de cuadrados latinos del conjunto es ortogonal.
Si bien JMP no cuenta con una plataforma de cuadrados latinos mutuamente ortogonales, para quienes conocen la teoría del diseño combinatorio, es bien sabido que los MOLS se pueden construir a partir de un determinado diseño combinatorio conocido como matriz ortogonal, que se puede construir en JMP.
matrices ortogonales
Las matrices ortogonales se utilizan a menudo para crear diseños experimentales y, en casos especiales, constituyen el diseño óptimo, ya que ofrecen la mayor eficiencia en comparación con diseños similares. Además, las matrices ortogonales generalizan el concepto de MOLS. Para los fines de este blog, defino un caso muy especial de matrices ortogonales de fuerza dos e índice uno (en adelante, simplemente matrices ortogonales), según el Manual de Diseños Combinatorios: «Una matriz ortogonal OA(n^2,k) es una matriz con n^2 filas y k columnas con entradas del conjunto S de n símbolos que satisfacen la propiedad de que, para cualesquiera dos columnas, cada par ordenado de símbolos del producto cartesiano de S consigo mismo aparece exactamente una vez».
A continuación se muestra un ejemplo de una matriz ortogonal con nueve filas y cuatro columnas, cuyos elementos provienen del conjunto {1,2,3}:
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
Conexión entre matrices ortogonales y MOLS
Dado un OA(n^2, m + 2) –es decir, un arreglo ortogonal con n^2 filas y m + 2 columnas– se puede construir un conjunto de m MOLS de orden n. Mostramos cómo se puede hacer esto mediante un ejemplo. El proceso que demostramos se puede aplicar a cualquier OA(n^2, m + 2).
Consideremos la matriz ortogonal dada anteriormente. Tiene 9 = 3² filas y cuatro columnas, por lo que deberíamos poder construir dos cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden tres. Así es como lo hacemos:
- Etiquete dos columnas cualesquiera como R y C (de "Fila" y "Columna"), y etiquete las columnas restantes como S1 y S2 para identificarlas con el primer y segundo cuadrado latino.
| R | do | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- Dibuja dos matrices vacías de 3x3, una para S1 y otra para S2.
- Observa las columnas R y C, y verás que los valores de R y C en la primera fila son 2 y 2, respectivamente. Observa que S1 es igual a 1 y S2 es igual a 3. Basándote en R y C, ve a la segunda fila y segunda columna de S1 y coloca un 1. De manera similar, ve a la segunda fila y segunda columna de S2 y coloca un 3.
- S1
- S2
- Observando la segunda fila de OA(9,4), coloque un 1 en la primera fila y tercera columna de S1 y un 1 en la primera fila y tercera columna de S2.
- S1
- S2
- Repita este proceso para las filas restantes de OA(9,4).
- S1
- S2
Se puede comprobar fácilmente que las dos matrices del paso 5 son cuadrados latinos y que son mutuamente ortogonales.
Construcción de una matriz ortogonal OA(n^2, m + 2) en JMP
Desafortunadamente, no siempre existen arreglos ortogonales para cada combinación de n y k, ¡pero JMP es capaz de encontrar muchos de los que sí existen! A continuación, se muestra un ejemplo de cómo se pueden encontrar arreglos ortogonales en JMP:
- Dirígete a Diseño personalizado dentro de la plataforma DOE en JMP.
- En el submenú Factores, vaya al cuadro “Agregar N factores” e ingrese su valor para m+2.
- Haz clic en el menú triangular Agregar factores, luego ve a Categórico y selecciona n nivel. Para este ejemplo, hemos creado un OA(9,4).
Imagen2.png
- Haz clic en Continuar.
- Asegúrese de que el modelo esté configurado como un modelo de efectos principales. Establezca el número de ejecuciones en n^2. Haga clic en Crear diseño.
Imagen3.png
- Un indicador de que el diseño que ha creado es una matriz ortogonal es que la eficiencia D del diseño (así como las eficiencias G y A) sea del 100%, lo cual se puede comprobar en el diagnóstico del diseño.
Imagen4.png
¡Ahora que tienes una matriz ortogonal, estás listo para crear arte!
Crear arte utilizando tu matriz ortogonal
Para ilustrar diferentes ideas al crear estas piezas inspiradas en MOLS, comencemos creando una nueva matriz ortogonal.
Siguiendo las instrucciones indicadas anteriormente, construyo un OA(4^2, 3 + 2):
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
A continuación, construyo los tres MOLS siguientes, utilizando el proceso descrito anteriormente:
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
Dado que utilizo tres MOLS de orden cuatro, he creado una imagen de 4x4, y se aplican tres factores a cada una de las 16 subimágenes según los MOLS mencionados anteriormente. Cada uno de estos factores tiene cuatro niveles.
En este punto, se tiene bastante libertad para decidir cuáles serán los tres factores y sus cuatro niveles correspondientes. Para este ejemplo, tenemos una subimagen compuesta por un color de fondo, un pequeño cuadrado ubicado en una de las cuatro esquinas de la subimagen y el color del pequeño cuadrado. En este ejemplo, mi primer factor es COLOR DE FONDO (correspondiente a S1) con los niveles: verde azulado = 1, azul = 2, azul cielo = 3 y negro = 4. Mi segundo factor es UBICACIÓN DEL CUADRADO (correspondiente a S2) con los niveles: esquina superior derecha = 1, esquina inferior derecha = 2, esquina inferior izquierda = 3 y esquina superior izquierda = 4. Por último, mi factor final es COLOR DEL CUADRADO (correspondiente a S3) con los niveles: amarillo = 1, naranja = 2, bermellón = 3 y rosa = 4.
A continuación, creo una imagen dividida en 16 subimágenes, con cuatro subimágenes en cada fila y columna. Al superponer las tres MOLS S1, S2 y S3, observo que la primera subimagen (primera fila, primera columna) tiene un fondo negro, con un pequeño cuadrado en la esquina superior izquierda, de color bermellón. De manera similar, la segunda subimagen (primera fila, segunda columna) tiene un fondo azul, con un pequeño cuadrado en la esquina superior derecha, de color naranja. La última subimagen (cuarta fila, cuarta columna) tiene un fondo azul, con un pequeño cuadrado en la esquina inferior derecha, de color bermellón. La pieza final tiene este aspecto:
Imagen5.png
Conclusión
¡Ahí lo tienen! La plataforma DOE de JMP puede usarse como herramienta para crear obras de arte basadas en cuadrados latinos mutuamente ortogonales (MOLS), similares a las obras de Margaret Kepner. Esto implica usar Diseño Personalizado para crear un tipo específico de matriz ortogonal y luego construir un conjunto de MOLS a partir de esta matriz. Siguiendo los ejemplos de este blog, ¡usted también puede intentar crear arte inspirado en DOE!
Por último, para quienes estén interesados en la primera imagen: la creé utilizando dos cuadrados latinos ortogonales de tercer orden. El OA correspondiente que creé en JMP tenía nueve filas y cuatro columnas, cada una con tres niveles. La imagen se compone de nueve subimágenes, cada una con un fondo y cuartos de círculo en cada esquina. Los dos factores son COLOR DE FONDO (con tres niveles: azul, azul cielo y verde azulado) y COLOR DE CUARTO DE CÍRCULO (con tres niveles: amarillo, naranja y bermellón).
Referencia
- Colbourn, Charles J. Manual CRC de diseños combinatorios . CRC Press, 2010.
