JMP 提供世界一流的实验设计 (DOE) 平台，已被制药、半导体和化工等众多行业的科学家和工程师广泛使用。但如果我告诉你 JMP 的 DOE 平台也能帮助你进行艺术创作，你会感到惊讶吗？
今年六月我去纽约的时候，有机会参观了现代艺术博物馆（感谢我们的实习生谢可欣的推荐！）。在博物馆里漫步时，我看到了一些系列艺术作品。系列艺术的特点是重复使用统一的元素或物体，并按照模块化原则进行组合。
其中一件作品尤其吸引了我的目光。这件作品由同一幅图像的多个副本组成，但某些区域的颜色各不相同。这让我联想到一个多因素实验，图像的每个副本都对应着实验中的一次运行。这一观察让我思考，是否有艺术家在他们的作品中运用了组合设计（实验设计的基本要素）；随后，我发现了数学家兼艺术家玛格丽特·凯普纳（Margaret Kepner）的作品《拉丁幻想曲 I：曲线》（Latin Fandago I: Curves） 。 《拉丁幻想曲》描绘了一系列奇特的色彩和曲线，乍看之下似乎杂乱无章，但如果仔细观察，就会发现其中蕴含着某种模式和结构。那么，这与实验设计（DOE）有何关联呢？
原来，凯普纳运用了一种名为拉丁方阵的组合设计来指导上述作品的创作。具体来说，她使用了一组六个互为正交的七阶拉丁方阵（MOLS）。得知她使用MOLS创作艺术作品后，我立即求助于JMP软件，寻找不同的MOLS组合，以便尝试创作自己的MOLS作品。下面是一个简单的MOLS作品示例：
图片1.png
然而，在我上面的描述中，我肯定省略了从打开 JMP 到创作这幅作品之间的许多步骤。那么，我是如何使用 JMP 来帮助我完成这幅作品的呢？
对于感兴趣的人，我将先介绍一些数学基础知识，然后再详细介绍工作流程中的步骤。
拉丁方
根据《组合设计手册》 （Colbourn，2010）：“n 阶拉丁方阵是一个 n 行 n 列的数组，其中每个单元格包含一个来自大小为 n 的集合 S 的符号，使得每个符号在每一行和每一列中都恰好出现一次。”
下面给出集合 {1,2,3} 上的 3 阶拉丁方示例：
我们可以清楚地看到，{1,2,3}中的每个符号在每一行和每一列中都只出现一次。
相互正交的拉丁方
设 L 和 L' 是符号集 S 和 S' 上的 n 阶拉丁方。直观地说，如果将 L 叠加到 L' 上，S 和 S' 的笛卡尔积中的每个可能的有序对都恰好出现一次，则称 L 和 L' 正交。
下面给出集合 {1,2,3} 上的两个三阶正交拉丁方的例子：
很容易验证，当将两个数组叠加时，{1,2,3}x{1,2,3} 中的每个有序对都能找到，并且恰好出现一次：(2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3)。
根据正交拉丁方的定义，如果一组拉丁方中的每一对拉丁方都是正交的，则称这组拉丁方是相互正交的。
虽然 JMP 中没有相互正交拉丁方平台，但对于熟悉组合设计理论的人来说，众所周知，MOLS 可以从称为正交阵列的某种组合设计中构建，而正交阵列可以在 JMP 中构建。
正交阵列
正交阵列常用于创建实验设计，在某些特殊情况下，它们是最优设计，与类似设计相比效率最高。此外，正交阵列推广了多目标最小二乘法（MOLS）的概念。为了便于本文讨论，我根据《组合设计手册》给出了强度为2、索引为1的正交阵列（以下简称正交阵列）的一个非常特殊情况的定义： “正交阵列OA(n^2,k)是一个n^2行k列的阵列，其元素来自n个符号的集合S，满足以下性质：对于任意两列，S与其自身的笛卡尔积中的每个有序符号对都恰好出现一次。”
下面给出一个九行四列的正交数组示例，数组元素取自集合{1,2,3}：
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
正交阵列与MOLS之间的联系
给定一个 OA(n^2, m + 2)——即一个 n^2 行 m + 2 列的正交数组——我们可以构造一组 m 个 n 阶 MOLS。我们通过一个例子来说明如何做到这一点。我们演示的方法可以应用于任何 OA(n^2, m + 2)。
考虑上面给出的正交阵列。它有 9 = 3^2 行和 4 列，因此我们应该能够构造两个相互正交的三阶拉丁方。方法如下：
- 将任意两列标记为 R 和 C（分别代表“行”和“列”），并将剩余的列标记为 S1 和 S2，分别对应第一个和第二个拉丁方。
| 拉 | C | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- 绘制两个 3x3 的空数组，一个用于 S1，一个用于 S2。
- 查看 R 和 C 列，发现第一行 R 和 C 的值分别为 2 和 2。看到 S1 等于 1，S2 等于 3。根据 R 和 C 的值，在 S1 的第二行第二列中填入 1。同样地，在 S2 的第二行第二列中填入 3。
- S1
- S2
- 查看 OA(9,4) 的第二行，在 S1 的第一行第三列中填入 1，在 S2 的第一行第三列中填入 1。
- S1
- S2
- 对 OA(9,4) 的其余行重复此过程。
- S1
- S2
很容易验证，步骤 5 中的两个数组是拉丁方，并且它们相互正交。
在 JMP 中构造正交阵列 OA(n^2, m + 2)
遗憾的是，并非每个 n 和 k 的组合都存在正交数组，但 JMP 能够找到许多存在的正交数组！以下示例展示了如何在 JMP 中查找正交数组：
- 在 JMP 中，转到 DOE 平台下的自定义设计。
- 在“因子”子菜单下，转到“添加 N 个因子”框，然后输入 m+2 的值。
- 点击“添加因子”三角形菜单，然后转到“分类”并选择“n 个水平”。在本例中，我们创建了一个 OA(9,4)。
图片2.png
- 点击“继续”。
- 确保模型设置为主效应模型。将运行次数设置为 n^2。单击“生成设计”。
图片3.png
- 如果设计的 D 效率（以及 G 效率和 A 效率）达到 100%，则表明您创建的设计是正交阵列，该效率可在设计诊断中找到。
图片4.png
现在你已经有了正交阵列，可以开始创作艺术了！
利用正交阵列创作艺术作品
为了展示制作这些受 MOLS 启发的作品时的不同思路，让我们从制作一个新的正交阵列开始。
按照上述说明，我构造了一个 OA(4^2, 3 + 2):
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
然后，我按照前面概述的过程构建以下三个 MOL：
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
由于我使用了三个四阶多目标线性回归（MOLS），我创建了一个 4x4 的图像，并根据上述 MOLS 将三个因子应用于 16 个子图像中的每一个。每个因子都有四个级别。
此时，我们可以相当自由地决定三个因素及其对应的四个级别。在这个例子中，我们有一个子图像，它由背景颜色、位于子图像四个角之一的小正方形以及小正方形的颜色组成。在这个例子中，我的第一个因素是背景颜色（对应于 S1），其级别分别为：青绿色 = 1，蓝色 = 2，天蓝色 = 3，黑色 = 4。我的第二个因素是小正方形的位置（对应于 S2），其级别分别为：右上角 = 1，右下角 = 2，左下角 = 3，左上角 = 4。最后，我的最后一个因素是小正方形的颜色（对应于 S3），其级别分别为：黄色 = 1，橙色 = 2，朱红色 = 3，粉色 = 4。
然后我将图像分割成 16 个子图像，每行每列各有四个子图像。将三个 MOLS S1、S2 和 S3 叠加在一起，我发现第一个子图像（第一行第一列）的背景是黑色，左上角有一个朱红色的小方块。类似地，第二个子图像（第一行第二列）的背景是蓝色，右上角有一个橙色的小方块。以此类推，最后一个子图像（第四行第四列）的背景也是蓝色，右下角有一个朱红色的小方块。最终效果如下：
图片5.png
结论
瞧！JMP 的 DOE 平台可以辅助创作基于相互正交拉丁方 (MOLS) 的艺术作品，类似于 Margaret Kepner 的作品。这需要使用自定义设计功能创建特定类型的正交阵列，然后从该正交阵列构建一组 MOLS。参考本博客中的示例，您也可以尝试创作一些受 DOE 启发的艺术作品！
最后，对于对第一张图感兴趣的朋友：这张图是用两个三阶正交拉丁方阵生成的。我在 JMP 中创建的对应正交拉丁方阵有九行四列，每列有三个层级。这张图由九个子图组成，每个子图都包含一个背景和四个角上的四分之一圆。两个影响因素分别是背景颜色（有三个层级：蓝色、天蓝色和青绿色）和四分之一圆颜色（有三个层级：黄色、橙色和朱红色）。
参考
- Colbourn, Charles J. CRC 组合设计手册。CRC 出版社，2010 年。
