JMP는 제약, 반도체, 화학 산업 등 다양한 산업 분야의 과학자와 엔지니어들이 널리 사용하는 세계적 수준의 실험 설계(DOE) 플랫폼을 제공합니다. 그런데 JMP의 DOE 플랫폼이 예술 활동에도 도움이 될 수 있다는 사실을 알면 놀라시겠습니까?
지난 6월 뉴욕 방문 중, 인턴인 셰커신(Kexin Xie)의 추천으로 뉴욕 현대미술관(MoMA)에 갈 기회가 있었습니다. 미술관을 둘러보던 중 연작 미술 작품 들을 접하게 되었습니다. 연작 미술은 동일한 요소나 사물을 모듈식 원리에 따라 반복적으로 배치하는 것이 특징입니다.
특히 제 눈길을 사로잡은 작품이 하나 있었습니다. 그 작품은 동일한 이미지를 여러 개 복제했지만 특정 영역의 색상을 다르게 표현한 것이었습니다. 이는 마치 다중 요인 실험을 떠올리게 했는데, 이미지의 각 복제본이 실험의 한 단계에 해당하는 듯했습니다. 이러한 관찰을 통해 저는 혹시 다른 예술가들이 조합 설계(DOE의 기본 요소)를 작품에 활용한 적이 있는지 궁금해졌습니다. 그러다 수학자이자 예술가인 마가렛 케프너의 작품, <라틴 판다고 I: 곡선>을 발견했습니다. <라틴 판다고>는 기발한 색상과 곡선의 조합을 묘사하는데, 처음 봤을 때는 혼란스러워 보이지만, 작품을 자세히 살펴보면 패턴과 구조가 존재함을 알 수 있습니다. 그렇다면 이 작품은 DOE와 어떤 관련이 있을까요?
알고 보니 케프너는 위에서 언급한 작품을 제작하는 데 라틴 스퀘어라고 알려진 조합 설계 방식을 사용했습니다. 특히, 그녀는 7차의 서로 직교하는 라틴 스퀘어(MOLS) 6개를 사용했습니다. 그녀가 MOLS를 사용하여 작품을 만들었다는 사실을 알게 되자마자, 저도 직접 MOLS 기반 작품을 만들어 보기 위해 JMP에서 다양한 MOLS 세트를 찾아보았습니다. 그러한 작품의 간단한 예시를 아래에 보여드립니다.
Picture1.png
하지만 위 설명에서 저는 JMP를 열고 이 작품을 만드는 과정 사이에 많은 단계를 생략했습니다. 그렇다면 저는 JMP를 어떻게 활용하여 이 작품을 만들었을까요?
관심 있는 분들을 위해 워크플로의 단계를 자세히 설명하기 전에 몇 가지 수학적 기초부터 시작하겠습니다.
라틴방격법
《조합 설계 핸드북》 (Colbourn, 2010)에 따르면, "n차 라틴방격은 n개의 행과 n개의 열을 가진 배열로, 각 셀에는 크기가 n인 집합 S에서 선택된 하나의 기호가 포함되며, 각 기호는 각 행과 각 열에 정확히 한 번씩 나타난다."
집합 {1,2,3}에 대한 3차 라틴방격의 예는 다음과 같습니다.
{1,2,3}의 각 기호는 각 행과 각 열에 한 번씩만 나타나는 것을 분명히 알 수 있습니다.
상호 직교하는 라틴 사각형
기호 집합 S와 S'에 대한 n차 라틴방격 L과 L'이 있다고 하자. 직관적으로, L을 L' 위에 겹쳐 놓았을 때, S와 S'의 데카르트 곱에서 가능한 모든 순서쌍이 정확히 한 번씩만 나타나는 경우, L과 L'이 직교한다고 한다.
집합 {1,2,3}에 대한 3차 직교 라틴 제곱의 예는 다음과 같습니다.
{1,2,3}x{1,2,3}의 모든 순서쌍이 발견되고 두 배열을 겹쳐보면 정확히 한 번씩 나타나는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다: (2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3).
직교 라틴 사각형의 정의에 따르면, 라틴 사각형들의 집합은 그 집합 내의 모든 라틴 사각형 쌍이 서로 직교할 때 상호 직교한다고 합니다.
JMP에는 상호 직교 라틴 제곱(MOLS) 플랫폼이 없지만, 조합 설계 이론에 정통한 사람이라면 JMP에서 구성할 수 있는 직교 배열이라는 특정 조합 설계를 통해 MOLS를 구성할 수 있다는 것을 잘 알고 있을 것입니다.
직교 배열
직교 배열은 실험 설계를 구성하는 데 자주 사용되며, 특별한 경우에는 유사한 설계와 비교했을 때 가장 효율적인 최적의 설계가 될 수 있습니다. 또한 직교 배열은 다중 최소 제곱법(MOLS)의 개념을 일반화한 것입니다. 이 블로그에서는 조합 설계 핸드북(Handbook of Combinatorial Designs) 에 따라 강도 2, 인덱스 1인 직교 배열(이하 단순히 직교 배열로 표기)의 매우 특별한 경우를 정의합니다. "직교 배열 OA(n^2,k)는 n개의 기호로 이루어진 집합 S에서 가져온 요소들을 포함하는 n^2 행과 k 열의 배열이며, 임의의 두 열에 대해 S와 자기 자신의 카르테시안 곱에서 나온 각 순서쌍이 정확히 한 번씩 나타나는 속성을 만족합니다."
다음은 {1, 2, 3} 집합에서 가져온 요소로 구성된 9행 4열의 직교 배열의 예입니다.
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
직교 배열과 MOLS 간의 연결
n²행 m + 2열의 직교 배열인 OA(n², m + 2)가 주어졌을 때, 차수 n의 m개의 다중 행렬(MOLS) 집합을 구성할 수 있습니다. 본 논문에서는 예시를 통해 그 방법을 보여줍니다. 제시된 과정은 모든 OA(n², m + 2)에 적용 가능합니다.
위의 직교 배열을 생각해 보세요. 이 배열은 9 = 3^2개의 행과 4개의 열을 가지고 있으므로, 서로 직교하는 3차 라틴방격자를 두 개 만들 수 있습니다. 그 방법은 다음과 같습니다.
- 임의의 두 열을 각각 R과 C(행과 열)로 표시하고, 나머지 열에는 첫 번째와 두 번째 라틴방격도를 나타내는 S1과 S2라는 레이블을 붙이십시오.
| 아르 자형 | 기음 | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- S1과 S2에 각각 하나씩, 총 두 개의 3x3 크기의 빈 배열을 그리세요.
- R과 C 열을 보면 첫 번째 행의 R과 C 값이 각각 2인 것을 알 수 있습니다. S1은 1이고 S2는 3입니다. R과 C 값을 기준으로 S1의 두 번째 행 두 번째 열에 1을 입력하고, 마찬가지로 S2의 두 번째 행 두 번째 열에 3을 입력합니다.
- S1
- S2
- OA(9,4)의 두 번째 행을 보면 S1의 첫 번째 행과 세 번째 열에 1을 넣고 S2의 첫 번째 행과 세 번째 열에 1을 넣습니다.
- S1
- S2
- OA(9,4)의 나머지 행에 대해 이 과정을 반복합니다.
- S1
- S2
5단계의 두 배열이 라틴방격자이며 서로 직교한다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.
JMP에서 직교 배열 OA(n^2, m + 2) 구성하기
아쉽게도 모든 n과 k의 조합에 대해 직교 배열이 항상 존재하는 것은 아니지만, JMP는 존재하는 많은 직교 배열을 찾아낼 수 있습니다! 아래는 JMP에서 직교 배열을 찾는 방법의 예입니다.
- JMP의 DOE 플랫폼에서 사용자 지정 설계로 이동하십시오.
- '인자' 하위 메뉴에서 'N개의 인자 추가' 상자로 이동하여 m+2에 값을 입력합니다.
- 요인 추가 삼각형 메뉴를 클릭한 다음 범주형으로 이동하여 n 수준을 선택합니다. 이 예에서는 OA(9,4)를 생성했습니다.
Picture2.png
- 계속을 클릭하세요.
- 모델이 주효과 모델로 설정되어 있는지 확인하십시오. 실행 횟수를 n^2로 설정하십시오. [설계 생성]을 클릭하십시오.
Picture3.png
- 설계가 직교 배열인지 여부를 판단하는 지표 중 하나는 설계 진단에서 확인할 수 있는 D 효율(G 효율 및 A 효율 포함)이 100%인지 여부입니다.
Picture4.png
이제 직교 배열을 만들었으니, 예술 작품을 만들 준비가 되었습니다!
직교 배열을 사용하여 예술 작품 만들기
MOLS에서 영감을 받은 작품을 만들 때 다양한 아이디어를 보여주기 위해, 먼저 새로운 직교 배열을 만들어 보겠습니다.
위의 지침에 따라 OA(4^2, 3 + 2)를 구성합니다.
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
다음으로 앞서 설명한 과정을 사용하여 다음과 같은 세 가지 MOLS를 구성합니다.
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
저는 4차 MOLS를 세 개 사용했기 때문에 4x4 이미지를 생성했고, 위의 MOLS에 따라 16개의 하위 이미지 각각에 세 가지 요인이 적용됩니다. 각 요인은 4단계로 구성됩니다.
이 시점에서 세 가지 요소와 그에 해당하는 네 가지 레벨을 결정하는 데에는 상당한 자유가 있습니다. 이 예시에서는 배경색, 하위 이미지의 네 모서리 중 하나에 배치된 작은 정사각형, 그리고 이 작은 정사각형의 색상으로 구성된 하위 이미지가 있습니다. 이 예시에서 첫 번째 요소는 배경색(S1)이며, 레벨은 청록색 = 1, 파란색 = 2, 하늘색 = 3, 검은색 = 4입니다. 두 번째 요소는 정사각형 위치(S2)이며, 레벨은 오른쪽 위 모서리 = 1, 오른쪽 아래 모서리 = 2, 왼쪽 아래 모서리 = 3, 왼쪽 위 모서리 = 4입니다. 마지막으로 세 번째 요소는 정사각형 색상(S3)이며, 레벨은 노란색 = 1, 주황색 = 2, 주홍색 = 3, 분홍색 = 4입니다.
다음으로, 각 행과 열에 4개의 하위 이미지가 있는 16개의 하위 이미지로 나뉜 이미지를 만듭니다. MOLS S1, S2, S3 세 이미지를 겹쳐 보면, 첫 번째 하위 이미지(첫 번째 행, 첫 번째 열)는 검은색 배경에 왼쪽 위 모서리의 작은 사각형이 주홍색인 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로, 두 번째 하위 이미지(첫 번째 행, 두 번째 열)는 파란색 배경에 오른쪽 위 모서리의 작은 사각형이 주황색인 것을 보여줍니다. 계속해서 마지막 하위 이미지(네 번째 행, 네 번째 열)는 파란색 배경에 오른쪽 아래 모서리의 작은 사각형이 주홍색인 것을 보여줍니다. 최종 이미지는 다음과 같습니다.
Picture5.png
결론
자, 이제 아시겠죠! JMP의 DOE 플랫폼은 마가렛 케프너의 작품처럼 상호 직교하는 라틴 사각형(MOLS)을 기반으로 한 예술 작품을 만드는 데 도움을 줄 수 있습니다. 이를 위해서는 사용자 정의 디자인 기능을 사용하여 특정 유형의 직교 배열을 만들고, 이 직교 배열로부터 MOLS 세트를 구성해야 합니다. 이 블로그의 예시를 따라 여러분도 DOE에서 영감을 받은 예술 작품을 만들어 보세요!
마지막으로, 첫 번째 이미지에 관심 있는 분들을 위해 설명드리자면, 이 이미지는 3차 직교 라틴 사각형 두 개를 사용하여 만들었습니다. JMP에서 생성한 해당 직교 사각형은 9행 4열, 각 행은 3단계로 구성되어 있습니다. 이 이미지는 각각 배경과 네 모서리에 있는 4분의 1원으로 이루어진 9개의 하위 이미지로 구성됩니다. 두 가지 요소는 배경색(파란색, 하늘색, 청록색의 3단계)과 4분의 1원색(노란색, 주황색, 주홍색의 3단계)입니다.
참조
- Colbourn, Charles J. CRC 조합 설계 핸드북 . CRC 출판사, 2010.
