JMPは、世界最高水準の実験計画法（DOE）プラットフォームを提供しており、製薬、半導体、化学産業など、幅広い業界の科学者やエンジニアに広く利用されています。しかし、JMPのDOEプラットフォームがあなたの芸術活動にも役立つと言ったら、驚かれるでしょうか？
今年の6月にニューヨーク市を訪れた際、インターンの謝克新さんの勧めで近代美術館（MoMA）を訪れる機会がありました。美術館内を歩き回っていると、シリアルアートの作品にいくつか出会いました。シリアルアートとは、モジュール原理に基づいて組み立てられた、均一な要素や物体の繰り返しを特徴とするアートです。
それらの作品の中で、特に私の目を引いた作品がありました。その作品は、同じ画像を複数複製したもので、特定の箇所で色が異なっていました。これは、多因子実験を連想させ、画像の各コピーが実験の1回の試行に対応しているように見えました。この観察から、アーティストが作品に組み合わせ設計（DOEの構成要素）を使用しているかどうか疑問に思い、数学者でありアーティストでもあるマーガレット・ケプナーの作品「ラテン・ファンダゴ I：曲線」を発見しました。ラテン・ファンダゴは、一見すると混沌としているように見える、気まぐれな色と曲線の集合体を描いていますが、作品をじっくりと観察すると、パターンと構造が存在することが明らかになります。では、これはDOEとどのような関係があるのでしょうか？
ケプナーは、前述の作品の制作にあたり、ラテン方陣と呼ばれる組み合わせ設計法を用いたことが判明しました。具体的には、彼女は次数7の互いに直交する6つのラテン方陣（MOLS）のセットを使用しました。彼女がMOLSを用いて作品を制作したことを知った私は、すぐにJMPを使って様々なMOLSのセットを探し出し、自分自身もMOLSに基づいた作品制作に挑戦してみようと思いました。以下に、その作品の簡単な例を示します。
Picture1.png
しかし、上記の説明では、JMPを開いてこの作品を作成するまでの多くの手順を省略してしまいました。では、JMPを使ってどのようにこの作品を作成したのでしょうか？
興味のある方のために、ワークフローの手順を詳しく説明する前に、まずいくつかの数学的な予備知識から始めたいと思います。
ラテン方陣
『組合せ設計ハンドブック』 （コルボーン、2010年）によると、「n次のラテン方陣とは、n行n列の配列であり、各セルにはnサイズの集合Sから1つのシンボルが含まれ、各シンボルは各行にちょうど1回、各列にちょうど1回出現する。」
集合{1,2,3}上の3次のラテン方陣の例を以下に示します。
{1,2,3}の各記号は、各行と各列に一度だけ出現することが明確にわかります。
互いに直交するラテン方陣
SとS'をそれぞれ記号集合とし、LとL'をn次のラテン方陣とする。直感的に言えば、LをL'の上に重ね合わせたときに、SとS'の直積から得られるすべての順序対がちょうど1回ずつ現れる場合、LとL'は直交していると言う。
集合{1,2,3}上の3次の直交ラテン方陣の例を以下に示します。
{1,2,3}x{1,2,3} のすべての順序対が、2 つの配列 (2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3) を重ね合わせると、正確に 1 回出現することが簡単に確認できます。
直交ラテン方陣の定義によれば、ラテン方陣の集合は、その集合内のすべてのラテン方陣のペアが直交している場合に、互いに直交していると言われます。
JMPには相互直交ラテン方陣のプラットフォームはありませんが、組み合わせ設計の理論に精通している方であれば、MOLSは直交配列と呼ばれる特定の組み合わせ設計から構築できることはよく知られており、JMPでも構築可能です。
直交配列
直交配列は実験計画を作成するためによく使用され、特殊なケースでは、類似の計画と比較して最も効率の良い最適な計画となります。さらに、直交配列は MOLS の概念を一般化したものです。このブログでは、組み合わせ設計ハンドブックに従って、強度 2、インデックス 1 の直交配列の非常に特殊なケース (以降、単に直交配列と表記) を定義します。「直交配列 OA(n^2,k) は、n^2 行、k 列の配列で、n 個のシンボルの集合 S からのエントリを持ち、任意の 2 つの列について、S とそれ自身とのデカルト積の各順序付きシンボルのペアがちょうど 1 回出現するという性質を満たします。」
以下に、{1,2,3}の集合から要素が抽出された、9行4列の直交配列の例を示します。
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
直交配列とMOLSの関係
OA(n^2, m + 2)（つまり、n^2行m + 2列の直交配列）が与えられた場合、n次のm個のMOLSのセットを構築できます。その方法を例を通して示します。ここで示す手順は、任意のOA(n^2, m + 2)に適用できます。
上記の直交配列を考えてみましょう。この配列は 9 = 3^2 行、4 列なので、互いに直交する 3 次ラテン方陣を 2 つ構築できるはずです。その方法は次のとおりです。
- 任意の2つの列をRとC（「行」と「列」の略）とラベル付けし、残りの列をS1とS2とラベル付けして、それぞれ第1および第2のラテン方陣と識別できるようにします。
| R | C | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- S1用とS2用に、3x3の空の配列を2つ描画します。
- R列とC列を見てください。1行目のRとCの値はそれぞれ2と2です。S1は1、S2は3です。RとCに基づいて、S1の2行目2列目に1を入力します。同様に、S2の2行目2列目に3を入力します。
- S1
- S2
- OA(9,4)の2行目を見て、S1の1行目と3列目に1を入れ、S2の1行目と3列目にも1を入れます。
- S1
- S2
- OA(9,4)の残りの行についてもこのプロセスを繰り返します。
- S1
- S2
ステップ5の2つの配列がラテン方陣であり、互いに直交していることは容易に確認できます。
JMPで直交配列OA(n^2, m + 2)を構築する
残念ながら、nとkのすべての組み合わせに対して直交配列が存在するとは限りませんが、JMPは存在する多くの直交配列を見つけることができます。以下は、JMPで直交配列を見つける方法の例です。
- JMPのDOEプラットフォームにある「カスタムデザイン」に移動してください。
- 「因数」サブメニューで、「N個の因数を追加」ボックスに移動し、m+2の値を入力します。
- 「因子の追加」三角形メニューをクリックし、「カテゴリ」を選択してnレベルを選択します。この例では、OA(9,4)を作成しました。
Picture2.png
- 「続行」をクリックしてください。
- モデルが主効果モデルに設定されていることを確認してください。実行回数をn^2に設定します。「デザインを作成」をクリックします。
Picture3.png
- 作成した設計が直交配列であることを示す指標の一つは、設計診断で確認できる設計のD効率（およびG効率とA効率）が100%であることです。
画像4.png
直交配列ができたので、いよいよアート制作に取り掛かることができます！
直交配列を用いてアート作品を制作する
これらのMOLSにインスパイアされた作品を作る際に、さまざまなアイデアを示すために、まずは新しい直交配列を作成することから始めましょう。
上記の手順に従って、OA(4^2, 3 + 2)を構築します。
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
次に、前述の手順を用いて、以下の3つのMOLSを構築します。
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
4次のMOLSを3つ使用しているため、4x4の画像を作成し、上記のMOLSに応じて16個のサブ画像それぞれに3つの因子を適用します。これらの因子はそれぞれ4つのレベルを持ちます。
この時点で、3 つの要素とそれに対応する 4 つのレベルを自由に決定できます。この例では、背景色、サブ画像の 4 つの角のいずれかに配置された小さな正方形、およびその小さな正方形の色で構成されるサブ画像があります。この例では、最初の要素は背景色 (S1 に対応) で、レベルは、ティールグリーン = 1、青 = 2、スカイブルー = 3、黒 = 4 です。2 番目の要素は正方形の位置 (S2 に対応) で、レベルは、右上隅 = 1、右下隅 = 2、左下隅 = 3、左上隅 = 4 です。最後に、最後の要素は正方形の色 (S3 に対応) で、レベルは、黄色 = 1、オレンジ = 2、朱色 = 3、ピンク = 4 です。
次に、各行と各列に4つのサブ画像を持つ、16個のサブ画像に分割された画像を作成します。3つのMOLS S1、S2、S3を重ね合わせると、最初のサブ画像（1行目、1列目）は黒色の背景で、左上隅に小さな正方形があり、その小さな正方形は朱色であることがわかります。同様に、2番目のサブ画像（1行目、2列目）は青色の背景で、右上隅に小さな正方形があり、その小さな正方形はオレンジ色です。さらに、最後のサブ画像（4行目、4列目）は青色の背景で、右下隅に小さな正方形があり、その小さな正方形は朱色です。最終的な作品は次のようになります。
Picture5.png
結論
というわけで、JMPのDOEプラットフォームは、マーガレット・ケプナーの作品と同様に、相互直交ラテン方陣（MOLS）に基づいたアート作品の制作を支援するツールとして活用できます。具体的には、カスタムデザイン機能を使って特定の直交配列を作成し、その配列からMOLSのセットを構築します。このブログの例を参考に、DOEにインスパイアされたアート作品作りに挑戦してみてはいかがでしょうか。
最後に、最初の画像に興味のある方のために説明します。この画像は、3次の直交ラテン方陣を2つ使用して作成しました。JMPで作成した対応する直交ラテン方陣は、それぞれ3つのレベルで9行4列で構成されています。画像は9つのサブ画像から成り、各サブ画像は背景と四隅の四分円で構成されています。2つの要素は、背景色（青、水色、青緑色の3つのレベル）と四分円の色（黄色、オレンジ、朱色の3つのレベル）です。
参照
- コルボーン、チャールズ・J. 『CRC組合せ設計ハンドブック』CRCプレス、2010年。
