JMP offre una piattaforma di progettazione di esperimenti (DOE) di livello mondiale, ampiamente utilizzata da scienziati e ingegneri in diversi settori, come quello farmaceutico, dei semiconduttori e chimico. Ma vi sorprendereste se vi dicessi che la piattaforma DOE di JMP può essere utile anche per le vostre attività artistiche?
Durante la mia visita a New York lo scorso giugno, ho avuto l'opportunità di visitare il Museum of Modern Art (su suggerimento della nostra stagista Kexin Xie!). Mentre passeggiavo per il museo, mi sono imbattuta in alcuni esempi di arte seriale . L'arte seriale è caratterizzata dalla ripetizione di elementi o oggetti uniformi assemblati secondo principi modulari.
Una di queste opere ha particolarmente attirato la mia attenzione. L'opera presentava molteplici repliche della stessa immagine, ma con colori diversi in determinate aree. Questo mi ha ricordato un esperimento multifattoriale, in cui ogni copia dell'immagine corrisponde a una fase dell'esperimento. Questa osservazione mi ha fatto chiedere se qualche artista avesse mai utilizzato disegni combinatori (gli elementi costitutivi del DOE) nelle proprie opere; ho quindi scoperto Latin Fandago I: Curves dell'artista e matematica Margaret Kepner. Fandago latino raffigura un assortimento fantasioso di colori e curve che, a prima vista, appare caotico, ma se si dedica più tempo all'osservazione dell'opera, diventa evidente la presenza di schemi e strutture. Quindi, quale connessione ha tutto ciò con il DOE?
Si scopre che Kepner ha utilizzato un disegno combinatorio noto come quadrato latino per guidare la creazione dell'opera sopra menzionata. In particolare, ha utilizzato un insieme di sei quadrati latini mutuamente ortogonali (MOLS) di ordine sette. Quando ho saputo che aveva utilizzato i MOLS per creare la sua opera d'arte, mi sono subito rivolto a JMP per trovare diversi insiemi di MOLS in modo da poter provare a realizzare le mie opere basate sui MOLS. Un semplice esempio di un'opera di questo tipo è riportato di seguito:
Immagine1.png
Tuttavia, nella descrizione precedente, ho sicuramente saltato molti passaggi tra l'apertura di JMP e la creazione di questo brano. Quindi, in che modo ho utilizzato JMP per realizzarlo?
Per chi fosse interessato, inizierò con alcuni preliminari matematici prima di descrivere nel dettaglio le fasi del flusso di lavoro.
quadrati latini
Secondo l' Handbook of Combinatorial Designs (Colbourn, 2010): "Un quadrato latino di ordine n è una matrice con n righe e n colonne in cui ogni cella contiene un singolo simbolo da un insieme S di dimensione n, tale che ogni simbolo compaia esattamente una volta in ogni riga e esattamente una volta in ogni colonna."
Di seguito viene fornito un esempio di quadrato latino di ordine 3 sull'insieme {1,2,3}:
Possiamo chiaramente vedere che ogni simbolo in {1,2,3} compare una sola volta in ogni riga e in ogni colonna.
Quadrati latini mutuamente ortogonali
Siano L e L' quadrati latini di ordine n sugli insiemi di simboli S e S'. Intuitivamente, diciamo che L e L' sono ortogonali se, sovrapponendo L a L', ogni possibile coppia ordinata del prodotto cartesiano di S e S' compare esattamente una volta.
Di seguito viene fornito un esempio di due quadrati latini ortogonali di ordine tre sull'insieme {1,2,3}:
Si può facilmente verificare che ogni coppia ordinata di {1,2,3}x{1,2,3} viene trovata e compare esattamente una volta quando si sovrappongono i due array: (2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3).
Data la definizione di quadrati latini ortogonali, un insieme di quadrati latini si dice mutuamente ortogonale se ogni coppia di quadrati latini nell'insieme è ortogonale.
Sebbene in JMP non esista una piattaforma per i quadrati latini mutuamente ortogonali (MOLS), per chi ha familiarità con la teoria della progettazione combinatoria, è risaputo che i MOLS possono essere costruiti a partire da un certo progetto combinatorio noto come matrice ortogonale, che può essere realizzata in JMP.
Matrici ortogonali
Gli array ortogonali sono spesso utilizzati per creare progetti sperimentali e, in casi particolari, rappresentano il progetto ottimale, offrendo la massima efficienza rispetto a progetti simili. Inoltre, gli array ortogonali generalizzano il concetto di MOLS (Multi-Order Least Squares). Ai fini di questo articolo, fornisco una definizione di un caso molto particolare di array ortogonali di forza due e indice uno (d'ora in poi indicati semplicemente come array ortogonali), come riportato nell'Handbook of Combinatorial Designs: "Un array ortogonale OA(n^2,k) è un array con n^2 righe e k colonne con elementi dell'insieme S di n simboli che soddisfano la proprietà che per qualsiasi coppia di colonne, ogni coppia ordinata di simboli del prodotto cartesiano di S con se stesso compare esattamente una volta."
Di seguito viene fornito un esempio di matrice ortogonale con nove righe e quattro colonne, i cui elementi provengono dall'insieme {1,2,3}:
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
Collegamento tra array ortogonali e MOLS
Dato un OA(n^2, m + 2) – ovvero, un array ortogonale con n^2 righe e m + 2 colonne – è possibile costruire un insieme di m MOLS di ordine n. Mostriamo come ciò sia possibile attraverso un esempio. Il processo che dimostriamo può essere utilizzato su qualsiasi OA(n^2, m + 2).
Consideriamo la matrice ortogonale mostrata sopra. Ha 9 = 3^2 righe e quattro colonne, quindi dovremmo essere in grado di costruire due quadrati latini mutuamente ortogonali di ordine tre. Ecco come si fa:
- Etichettate due colonne qualsiasi con R e C (per "Riga" e "Colonna") e etichettate le colonne rimanenti con S1 e S2, in modo che corrispondano al primo e al secondo quadrato latino.
| R | C | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- Disegna due matrici vuote 3x3, una per S1 e una per S2.
- Osserva le colonne R e C e nota che i valori di R e C nella prima riga sono rispettivamente 2 e 2. Nota che S1 è uguale a 1 e S2 è uguale a 3. In base a R e C, vai alla seconda riga e alla seconda colonna di S1 e inserisci 1. Allo stesso modo, vai alla seconda riga e alla seconda colonna di S2 e inserisci 3.
- S1
- S2
- Osservando la seconda riga di OA(9,4), inserisci un 1 nella prima riga e nella terza colonna di S1 e un 1 nella prima riga e nella terza colonna di S2.
- S1
- S2
- Ripeti questo processo per le righe rimanenti di OA(9,4).
- S1
- S2
Si può facilmente verificare che le due matrici del passaggio 5 sono quadrati latini e sono mutuamente ortogonali.
Costruzione di un array ortogonale OA(n^2, m + 2) in JMP
Sfortunatamente, non sempre esistono matrici ortogonali per ogni combinazione di n e k, ma JMP è in grado di trovarne molte di quelle che esistono! Di seguito un esempio di come trovare matrici ortogonali in JMP:
- Accedere alla sezione Progettazione personalizzata nella piattaforma DOE all'interno di JMP.
- Nel sottomenu Fattori, vai alla casella “Aggiungi N fattori” e inserisci il valore per m+2.
- Fai clic sul menu triangolare Aggiungi fattori, quindi vai su Categoriale e seleziona n livelli. Per questo esempio, abbiamo creato un OA(9,4).
Immagine2.png
- Fai clic su Continua.
- Assicurati che il modello sia impostato su un modello a effetti principali. Imposta il numero di esecuzioni su n^2. Fai clic su Crea progetto.
Immagine3.png
- Un indicatore del fatto che il progetto creato sia un array ortogonale è se l'efficienza D del progetto (così come le efficienze G e A) è pari al 100%, valore che si trova nella sezione diagnostica del progetto.
Immagine4.png
Ora che hai a disposizione una matrice ortogonale, sei pronto per creare la tua opera d'arte!
Creare arte usando la tua matrice ortogonale
Per illustrare diverse idee nella realizzazione di questi pezzi ispirati a MOLS, iniziamo creando una nuova matrice ortogonale.
Seguendo le istruzioni sopra elencate, costruisco un OA(4^2, 3 + 2):
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
Successivamente, costruisco i tre MOLS seguenti, utilizzando il processo descritto in precedenza:
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
Poiché utilizzo tre MOLS di ordine quattro, ho creato un'immagine 4x4 e a ciascuna delle 16 sottoimmagini vengono applicati tre fattori a seconda del MOLS sopra indicato. Ciascuno di questi fattori ha quattro livelli.
A questo punto, si ha una certa libertà di decidere quali saranno i tre fattori e i corrispondenti quattro livelli. Per questo esempio, abbiamo una sottoimmagine composta da un colore di sfondo, un piccolo quadrato posizionato in uno dei quattro angoli della sottoimmagine e il colore del piccolo quadrato. In questo esempio, il mio primo fattore è il COLORE DI SFONDO (corrispondente a S1) con i livelli: verde acqua = 1, blu = 2, azzurro = 3 e nero = 4. Il mio secondo fattore è la POSIZIONE DEL QUADRATO (corrispondente a S2) con i livelli: angolo in alto a destra = 1, angolo in basso a destra = 2, angolo in basso a sinistra = 3 e angolo in alto a sinistra = 4. Infine, il mio ultimo fattore è il COLORE DEL QUADRATO (corrispondente a S3) con i livelli: giallo = 1, arancione = 2, vermiglio = 3 e rosa = 4.
Creo quindi un'immagine divisa in 16 sottoimmagini, con quattro sottoimmagini in ogni riga e colonna. Sovrapponendo le tre MOLS S1, S2 e S3, noto che la prima sottoimmagine (nella prima riga, prima colonna) ha uno sfondo nero, con un piccolo quadrato nell'angolo in alto a sinistra, di colore vermiglio. Analogamente, la seconda sottoimmagine (prima riga, seconda colonna) ha uno sfondo blu, con un piccolo quadrato nell'angolo in alto a destra, di colore arancione. Proseguendo, l'ultima sottoimmagine (quarta riga, quarta colonna) ha uno sfondo blu, con un piccolo quadrato nell'angolo in basso a destra, di colore vermiglio. Il risultato finale è il seguente:
Immagine5.png
Conclusione
Ecco fatto! La piattaforma DOE di JMP può essere utilizzata come supporto per la creazione di opere d'arte basate su quadrati latini mutuamente ortogonali (MOLS), simili alle opere di Margaret Kepner. Questo processo prevede l'utilizzo di Custom Design per creare un particolare tipo di matrice ortogonale e la successiva costruzione di un insieme di MOLS a partire da questa matrice. Seguendo gli esempi di questo blog, anche voi potete provare a realizzare delle opere d'arte ispirate al DOE!
Infine, per chi fosse interessato alla prima immagine: l'ho creata utilizzando due quadrati latini ortogonali di ordine tre. L'array di angoli corrispondente, creato in JMP, aveva nove righe e quattro colonne, ciascuna a tre livelli. L'immagine è composta da nove sottoimmagini, ognuna costituita da uno sfondo e da quarti di cerchio in ogni angolo. I due fattori sono il COLORE DELLO SFONDO (con tre livelli: blu, azzurro e verde acqua) e il COLORE DEL QUARTO DI CERCHIO (con tre livelli: giallo, arancione e vermiglio).
Riferimento
- Colbourn, Charles J. Manuale CRC di progettazione combinatoria . CRC Press, 2010.
