JMP bietet eine erstklassige Plattform für die Versuchsplanung (Design of Experiments, DOE), die von Wissenschaftlern und Ingenieuren in unterschiedlichsten Branchen wie der Pharma-, Halbleiter- und Chemieindustrie weit verbreitet eingesetzt wird. Wären Sie überrascht, wenn ich Ihnen sagte, dass die DOE-Plattform von JMP auch bei Ihren künstlerischen Projekten hilfreich sein kann?
Bei meinem Besuch in New York im vergangenen Juni hatte ich die Gelegenheit, das Museum of Modern Art zu besuchen (auf Anraten unserer Praktikantin Kexin Xie!). Beim Rundgang durch das Museum stieß ich auf einige Beispiele serieller Kunst . Serielle Kunst zeichnet sich durch die Wiederholung einheitlicher Elemente oder Objekte aus, die nach modularen Prinzipien zusammengesetzt sind.
Eines dieser Werke fiel mir besonders ins Auge. Es zeigte mehrere Kopien desselben Bildes, jedoch mit unterschiedlichen Farben in bestimmten Bereichen. Dies erinnerte mich an ein Mehrfaktor-Experiment, bei dem jede Bildkopie einem Versuchsdurchlauf entsprach. Diese Beobachtung brachte mich zum Nachdenken, ob Künstler kombinatorische Designs (die Bausteine der Versuchsplanung) in ihren Arbeiten verwendet haben. Daraufhin entdeckte ich „Latin Fandago I: Curves“ der Mathematikerin und Künstlerin Margaret Kepner. „Latin Fandago“ zeigt eine skurrile Anordnung von Farben und Kurven, die auf den ersten Blick chaotisch wirkt. Bei genauerer Betrachtung offenbaren sich jedoch Muster und Strukturen. Welchen Bezug hat das nun zur Versuchsplanung?
Es stellte sich heraus, dass Kepner für die Erstellung des oben genannten Werkes ein kombinatorisches Design, das sogenannte lateinische Quadrat, verwendete. Genauer gesagt nutzte sie sechs zueinander orthogonale lateinische Quadrate (MOLS) der Ordnung sieben. Als ich erfuhr, dass sie MOLS für ihr Kunstwerk verwendet hatte, suchte ich sofort in JMP nach verschiedenen MOLS-Sets, um selbst MOLS-basierte Werke zu erstellen. Ein einfaches Beispiel dafür ist unten abgebildet:
Bild1.png
In meiner obigen Beschreibung habe ich jedoch sicherlich viele Schritte zwischen dem Öffnen von JMP und dem Erstellen dieses Dokuments ausgelassen. Wie genau habe ich JMP also verwendet, um dies zu erstellen?
Für alle Interessierten werde ich zunächst einige mathematische Vorbemerkungen machen, bevor ich die einzelnen Schritte des Arbeitsablaufs detailliert beschreibe.
Lateinische Quadrate
Gemäß dem Handbook of Combinatorial Designs (Colbourn, 2010): „Ein lateinisches Quadrat der Ordnung n ist ein Array mit n Zeilen und n Spalten, wobei jede Zelle ein einzelnes Symbol aus einer Menge S der Größe n enthält, so dass jedes Symbol genau einmal in jeder Zeile und genau einmal in jeder Spalte vorkommt.“
Ein Beispiel für ein lateinisches Quadrat der Ordnung 3 auf der Menge {1,2,3} ist unten angegeben:
Wir können deutlich sehen, dass jedes Symbol in {1,2,3} in jeder Zeile und jeder Spalte nur einmal vorkommt.
Gegenseitig orthogonale lateinische Quadrate
Seien L und L' lateinische Quadrate der Ordnung n über den Symbolmengen S und S'. Anschaulich sagt man, dass L und L' orthogonal sind, wenn beim Überlagern von L mit L' jedes mögliche geordnete Paar aus dem kartesischen Produkt von S und S' genau einmal vorkommt.
Ein Beispiel für zwei orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung drei auf der Menge {1,2,3} ist unten angegeben:
Man kann leicht überprüfen, dass jedes geordnete Paar aus {1,2,3}x{1,2,3} gefunden wird und genau einmal vorkommt, wenn man die beiden Arrays übereinanderlegt: (2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3).
Gemäß der Definition orthogonaler lateinischer Quadrate heißt eine Menge lateinischer Quadrate paarweise orthogonal, wenn jedes Paar lateinischer Quadrate in der Menge orthogonal ist.
Obwohl es in JMP keine Plattform für gegenseitig orthogonale lateinische Quadrate gibt, ist es für diejenigen, die mit der Theorie des kombinatorischen Designs vertraut sind, wohlbekannt, dass MOLS aus einem bestimmten kombinatorischen Design, dem sogenannten orthogonalen Array, konstruiert werden können, welches in JMP erstellt werden kann.
Orthogonale Arrays
Orthogonale Arrays werden häufig zur Erstellung von Versuchsdesigns verwendet und stellen in bestimmten Fällen das optimale Design dar, da sie im Vergleich zu ähnlichen Designs die höchste Effizienz bieten. Darüber hinaus verallgemeinern orthogonale Arrays das Konzept der MOLS (Multi-Order Linears). Für diesen Blog definiere ich einen Spezialfall orthogonaler Arrays der Stärke zwei und des Index eins (im Folgenden kurz als orthogonale Arrays bezeichnet), gemäß dem „Handbook of Combinatorial Designs“: „Ein orthogonales Array OA(n^2,k) ist ein Array mit n^2 Zeilen und k Spalten, dessen Einträge aus der Menge S von n Symbolen stammen, die die Eigenschaft erfüllen, dass für je zwei Spalten jedes geordnete Symbolpaar aus dem kartesischen Produkt von S mit sich selbst genau einmal vorkommt.“
Nachfolgend ein Beispiel für ein orthogonales Array mit neun Zeilen und vier Spalten, dessen Einträge aus der Menge {1,2,3} stammen:
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
Zusammenhang zwischen orthogonalen Arrays und MOLS
Gegeben sei ein orthogonales Array OA(n^2, m + 2) – also ein Array mit n^2 Zeilen und m + 2 Spalten. Daraus lässt sich eine Menge von m MOLS der Ordnung n konstruieren. Wir zeigen dies anhand eines Beispiels. Das vorgestellte Verfahren ist auf jedes OA(n^2, m + 2) anwendbar.
Betrachten wir das oben angegebene orthogonale Array. Es hat 9 = 3² Zeilen und vier Spalten, daher sollten wir zwei zueinander orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung drei konstruieren können. So gehen wir vor:
- Bezeichnen Sie zwei beliebige Spalten mit R und C (für „Zeile“ und „Spalte“), und bezeichnen Sie die verbleibenden Spalten mit S1 und S2, um sie mit dem ersten und zweiten lateinischen Quadrat zu identifizieren.
| R | C | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- Zeichne zwei leere 3x3-Arrays, eines für S1 und eines für S2.
- Betrachten Sie die Spalten R und C. Die Werte für R und C in der ersten Zeile sind jeweils 2. S1 ist gleich 1 und S2 gleich 3. Tragen Sie, basierend auf den Werten für R und C, in der zweiten Zeile und zweiten Spalte von S1 eine 1 ein. Gehen Sie analog dazu in die zweite Zeile und zweite Spalte von S2 und tragen Sie eine 3 ein.
- S1
- S2
- Betrachten Sie die zweite Zeile des OA(9,4). Tragen Sie in S1 in der ersten Zeile und dritten Spalte eine 1 und in S2 in der ersten Zeile und dritten Spalte eine 1 ein.
- S1
- S2
- Wiederholen Sie diesen Vorgang für die restlichen Zeilen von OA(9,4).
- S1
- S2
Man kann leicht überprüfen, dass die beiden Arrays in Schritt 5 lateinische Quadrate sind und zueinander orthogonal sind.
Konstruktion eines orthogonalen Arrays OA(n^2, m + 2) in JMP
Leider existieren nicht für jede Kombination von n und k orthogonale Arrays, aber JMP kann viele der existierenden Arrays finden! Im Folgenden finden Sie ein Beispiel, wie man orthogonale Arrays in JMP finden kann:
- Gehen Sie in JMP auf der DOE-Plattform zu „Custom Design“.
- Gehen Sie im Untermenü „Faktoren“ zum Feld „N Faktoren hinzufügen“ und geben Sie Ihren Wert für m+2 ein.
- Klicken Sie auf das Dreiecksmenü „Faktoren hinzufügen“, wählen Sie dann „Kategorisch“ und anschließend die Stufe n aus. In diesem Beispiel haben wir einen OA(9,4)-Faktor erstellt.
Bild2.png
- Klicken Sie auf Weiter.
- Stellen Sie sicher, dass das Modell auf ein Haupteffektmodell eingestellt ist. Legen Sie die Anzahl der Durchläufe auf n² fest. Klicken Sie auf „Design erstellen“.
Bild3.png
- Ein Indiz dafür, dass es sich bei dem von Ihnen erstellten Design um ein orthogonales Array handelt, ist, wenn die D-Effizienz des Designs (sowie die G- und A-Effizienz) bei 100 % liegt, was unter Designdiagnose zu finden ist.
Bild4.png
Jetzt, da Sie ein orthogonales Array haben, können Sie mit der Gestaltung Ihrer Kunst beginnen!
Kunst erstellen mithilfe Ihres orthogonalen Arrays
Um verschiedene Ideen beim Erstellen dieser von MOLS inspirierten Stücke zu veranschaulichen, beginnen wir mit der Erstellung eines neuen orthogonalen Arrays.
Nach den oben aufgeführten Anweisungen konstruiere ich ein OA(4^2, 3 + 2):
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
Anschließend konstruiere ich die folgenden drei MOLS unter Anwendung des zuvor beschriebenen Verfahrens:
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
Da ich drei MOLS vierter Ordnung verwende, habe ich ein 4x4-Bild erstellt. Auf jedes der 16 Teilbilder werden, abhängig von den oben genannten MOLS, drei Faktoren angewendet. Jeder dieser Faktoren hat vier Stufen.
An dieser Stelle hat man weitgehende Freiheit bei der Wahl der drei Faktoren und ihrer vier zugehörigen Stufen. In diesem Beispiel besteht das Teilbild aus einer Hintergrundfarbe, einem kleinen Quadrat in einer der vier Ecken des Teilbildes und der Farbe des kleinen Quadrats. Mein erster Faktor ist die HINTERGRUNDFARBE (entsprechend S1) mit folgenden Stufen: Türkisgrün = 1, Blau = 2, Himmelblau = 3 und Schwarz = 4. Mein zweiter Faktor ist die STANDORT DES QUADRATS (entsprechend S2) mit folgenden Stufen: obere rechte Ecke = 1, untere rechte Ecke = 2, untere linke Ecke = 3 und obere linke Ecke = 4. Mein letzter Faktor ist schließlich die FARBE DES QUADRATS (entsprechend S3) mit folgenden Stufen: Gelb = 1, Orange = 2, Zinnoberrot = 3 und Rosa = 4.
Ich erstelle dann ein Bild, das in 16 Teilbilder unterteilt ist, mit jeweils vier Teilbildern pro Zeile und Spalte. Wenn ich die drei MOLS S1, S2 und S3 übereinanderlege, sehe ich, dass das erste Teilbild (erste Zeile, erste Spalte) einen schwarzen Hintergrund hat, mit einem kleinen Quadrat in der oberen linken Ecke, das zinnoberrot ist. Das zweite Teilbild (erste Zeile, zweite Spalte) hat einen blauen Hintergrund, mit einem kleinen Quadrat in der oberen rechten Ecke, das orange ist. Das letzte Teilbild (vierte Zeile, vierte Spalte) hat ebenfalls einen blauen Hintergrund, mit einem kleinen Quadrat in der unteren rechten Ecke, das zinnoberrot ist. Das fertige Bild sieht folgendermaßen aus:
Bild5.png
Abschluss
Und da haben Sie es! Die DOE-Plattform von JMP kann als Hilfsmittel zur Erstellung von Kunstwerken auf Basis von zueinander orthogonalen lateinischen Quadraten (MOLs) verwendet werden, ähnlich den Werken von Margaret Kepner. Dazu wird mithilfe von „Benutzerdefiniertes Design“ ein bestimmter Typ orthogonaler Anordnung erstellt und anschließend eine Menge von MOLs aus dieser Anordnung konstruiert. Anhand der Beispiele in diesem Blog können Sie selbst versuchen, von DOE inspirierte Kunstwerke zu erstellen!
Abschließend noch ein Hinweis für alle, die sich für das erste Bild interessieren: Ich habe es mithilfe zweier orthogonaler lateinischer Quadrate dritter Ordnung erstellt. Das entsprechende orthogonale Koordinatensystem (OA), das ich in JMP erstellt habe, besteht aus neun Zeilen und vier Spalten mit jeweils drei Ebenen. Das Bild setzt sich aus neun Teilbildern zusammen, die jeweils aus einem Hintergrund und Viertelkreisen in den Ecken bestehen. Die beiden Faktoren sind die Hintergrundfarbe (mit drei Stufen: Blau, Himmelblau und Türkisgrün) und die Farbe der Viertelkreise (mit drei Stufen: Gelb, Orange und Zinnoberrot).
Referenz
- Colbourn, Charles J. CRC Handbook of Combinatorial Designs . CRC Press, 2010.
