JMP propose une plateforme de conception d'expériences (DOE) de renommée mondiale, largement utilisée par les scientifiques et les ingénieurs de secteurs aussi variés que l'industrie pharmaceutique, des semi-conducteurs et chimique. Mais seriez-vous surpris d'apprendre que la plateforme DOE de JMP peut également vous être utile dans vos projets artistiques ?
Lors de mon séjour à New York en juin dernier, j'ai eu l'occasion de visiter le MoMA (sur la suggestion de notre stagiaire Kexin Xie !). En parcourant le musée, j'ai découvert des exemples d' art sériel . L'art sériel se caractérise par la répétition d'éléments ou d'objets uniformes, assemblés selon des principes modulaires.
L'une de ces œuvres a particulièrement attiré mon attention. Elle présentait de multiples reproductions d'une même image, mais avec des couleurs différentes à certains endroits. Cela m'a fait penser à une expérience multifactorielle, chaque copie de l'image correspondant à une étape de l'expérience. Cette observation m'a amenée à me demander si des artistes avaient déjà utilisé des plans combinatoires (les éléments constitutifs de la DOE) dans leur travail ; j'ai alors découvert « Latin Fandago I : Curves » de la mathématicienne et artiste Margaret Kepner. « Latin Fandago » représente un assortiment fantaisiste de couleurs et de courbes qui, au premier abord, semble chaotique, mais en y regardant de plus près, on perçoit la présence de motifs et de structures. Quel est donc le lien avec la DOE ?
Il s'avère que Kepner a utilisé un motif combinatoire appelé carré latin pour créer l'œuvre mentionnée ci-dessus. Plus précisément, elle a utilisé un ensemble de six carrés latins mutuellement orthogonaux (CMO) d'ordre sept. Lorsque j'ai appris qu'elle avait utilisé des CMO pour créer son œuvre, je me suis immédiatement tournée vers JMP pour trouver différents ensembles de CMO et ainsi tenter de réaliser mes propres créations à base de CMO. Un exemple simple est présenté ci-dessous :
Image1.png
Cependant, dans ma description ci-dessus, j'ai certainement omis de nombreuses étapes entre l'ouverture de JMP et la création de cette pièce. Alors, comment ai-je utilisé JMP pour la réaliser ?
Pour ceux que cela intéresse, je commencerai par quelques notions mathématiques préliminaires avant de détailler les étapes du processus.
Carrés latins
Selon le Handbook of Combinatorial Designs (Colbourn, 2010) : « Un carré latin d'ordre n est un tableau avec n lignes et n colonnes où chaque cellule contient un seul symbole d'un ensemble S de taille n tel que chaque symbole apparaisse exactement une fois dans chaque ligne et exactement une fois dans chaque colonne. »
Un exemple de carré latin d'ordre 3 sur l'ensemble {1,2,3} est donné ci-dessous :
Nous pouvons clairement voir que chaque symbole de {1,2,3} n'apparaît qu'une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne.
Carrés latins mutuellement orthogonaux
Soient L et L' deux carrés latins d'ordre n sur les ensembles de symboles S et S'. Intuitivement, on dit que L et L' sont orthogonaux si, lorsqu'on superpose L sur L', chaque paire ordonnée possible du produit cartésien de S et S' apparaît exactement une fois.
Un exemple de deux carrés latins orthogonaux d'ordre trois sur l'ensemble {1,2,3} est donné ci-dessous :
Il est facile de vérifier que chaque paire ordonnée de {1,2,3}x{1,2,3} est trouvée et apparaît exactement une fois lorsque vous superposez les deux tableaux : (2,3), (3,2), (1,1), (3,1), (1,3), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3).
Étant donné la définition des carrés latins orthogonaux, un ensemble de carrés latins est dit mutuellement orthogonal si chaque paire de carrés latins de l'ensemble est orthogonale.
Bien qu'il n'existe pas de plateforme de carrés latins mutuellement orthogonaux dans JMP, il est bien connu, pour ceux qui connaissent la théorie de la conception combinatoire, que les MOLS peuvent être construits à partir d'une certaine conception combinatoire connue sous le nom de tableau orthogonal, qui peut être construite dans JMP.
tableaux orthogonaux
Les matrices orthogonales sont fréquemment utilisées pour concevoir des plans d'expériences et, dans certains cas particuliers, elles constituent le plan optimal, offrant la meilleure efficacité par rapport à des plans similaires. De plus, les matrices orthogonales généralisent le concept des moindres carrés multiples (MOLS). Dans le cadre de cet article, je définis un cas très particulier de matrices orthogonales de force deux et d'indice un (désignées simplement par la suite comme matrices orthogonales), conformément au Handbook of Combinatorial Designs : « Une matrice orthogonale OA(n²,k) est une matrice à n² lignes et k colonnes dont les éléments appartiennent à l'ensemble S de n symboles, satisfaisant la propriété suivante : pour toute paire de colonnes, chaque paire ordonnée de symboles du produit cartésien de S avec lui-même apparaît exactement une fois. »
Un exemple de tableau orthogonal à neuf lignes et quatre colonnes dont les entrées appartiennent à l'ensemble {1,2,3} est donné ci-dessous :
| 2 |
2 |
1 |
3 |
| 1 |
3 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
2 |
3 |
2 |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
| 2 |
3 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
2 |
1 |
Lien entre les tableaux orthogonaux et les MOLS
Étant donné un tableau orthogonal OA(n², m + 2) – c'est-à-dire un tableau à n² lignes et m + 2 colonnes – on peut construire un ensemble de m MOLS d'ordre n. Nous illustrons cette construction par un exemple. Le processus présenté est applicable à tout tableau OA(n², m + 2).
Considérons le tableau orthogonal donné ci-dessus. Il possède 9 = 3² lignes et quatre colonnes ; nous devrions donc pouvoir construire deux carrés latins d'ordre trois mutuellement orthogonaux. Voici comment procéder :
- Nommez deux colonnes quelconques R et C (pour « Ligne » et « Colonne »), et nommez les colonnes restantes S1 et S2 pour les identifier avec le premier et le deuxième carré latin.
| R | C | S1 | S2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 1 |
- Dessinez deux tableaux vides 3x3, un pour S1 et un pour S2.
- Observez les colonnes R et C : sur la première ligne, R et C valent respectivement 2 et 2. Notez que S1 vaut 1 et S2 vaut 3. À partir de ces valeurs, reportez-vous à la deuxième ligne et à la deuxième colonne de S1 et inscrivez 1. De même, reportez-vous à la deuxième ligne et à la deuxième colonne de S2 et inscrivez 3.
- S1
- S2
- En regardant la deuxième ligne de OA(9,4), placez un 1 dans la première ligne et la troisième colonne de S1 et un 1 dans la première ligne et la troisième colonne de S2.
- S1
- S2
- Répétez ce processus pour les lignes restantes de OA(9,4).
- S1
- S2
On peut facilement vérifier que les deux tableaux de l'étape 5 sont des carrés latins et qu'ils sont mutuellement orthogonaux.
Construction d'un tableau orthogonal OA(n^2, m + 2) dans JMP
Malheureusement, il n'existe pas toujours de tableaux orthogonaux pour toutes les combinaisons de n et k, mais JMP est capable d'en trouver un grand nombre ! Voici un exemple de la façon dont on peut trouver des tableaux orthogonaux avec JMP :
- Accédez à la section « Conception personnalisée » sous la plateforme DOE dans JMP.
- Dans le sous-menu Facteurs, accédez à la case « Ajouter N facteurs » et saisissez votre valeur pour m+2.
- Cliquez sur le menu triangulaire « Ajouter des facteurs », puis sélectionnez « Catégorique » et choisissez le niveau n. Dans cet exemple, nous avons créé une variable OA(9,4).
Image2.png
- Cliquez sur Continuer.
- Assurez-vous que le modèle est configuré sur un modèle à effets principaux. Définissez le nombre d'exécutions sur n². Cliquez sur « Créer le plan ».
Image3.png
- Un indicateur que le plan que vous avez créé est un tableau orthogonal est si l'efficacité D du plan (ainsi que les efficacités G et A) est de 100 %, ce qui se trouve dans les diagnostics de conception.
Image 4.png
Maintenant que vous avez un tableau orthogonal, vous êtes prêt à créer de l'art !
Créer de l'art à l'aide de votre matrice orthogonale
Pour illustrer différentes idées lors de la création de ces pièces inspirées par MOLS, commençons par la création d'un nouveau réseau orthogonal.
En suivant les instructions ci-dessus, je construis un OA(4^2, 3 + 2) :
| R |
C |
S1 |
S2 |
S3 |
| 1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
| 1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
| 1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| 1 |
4 |
1 |
3 |
4 |
| 2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
| 2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
| 2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
| 2 |
4 |
3 |
4 |
2 |
| 3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
| 3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
| 3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
| 3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
| 4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 4 |
2 |
1 |
4 |
1 |
| 4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
| 4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
Je construis ensuite les trois MOLS suivants, en utilisant le processus décrit précédemment :
- S1
| 4 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
- S2
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
- S3
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
Puisque j'utilise trois MOLS d'ordre quatre, j'ai créé une image 4x4, et trois facteurs sont appliqués à chacune des 16 sous-images en fonction des MOLS ci-dessus. Chacun de ces facteurs comporte quatre niveaux.
À ce stade, on dispose d'une grande liberté pour définir les trois facteurs et leurs quatre niveaux respectifs. Dans cet exemple, nous avons une sous-image composée d'une couleur de fond, d'un petit carré placé dans l'un de ses quatre coins, et de la couleur de ce carré. Ici, le premier facteur est la COULEUR DE FOND (S1), avec les niveaux suivants : vert turquoise = 1, bleu = 2, bleu ciel = 3 et noir = 4. Le deuxième facteur est l'EMPLACEMENT DU CARRÉ (S2), avec les niveaux suivants : coin supérieur droit = 1, coin inférieur droit = 2, coin inférieur gauche = 3 et coin supérieur gauche = 4. Enfin, le dernier facteur est la COULEUR DU CARRÉ (S3), avec les niveaux suivants : jaune = 1, orange = 2, vermillon = 3 et rose = 4.
Je crée ensuite une image divisée en 16 sous-images, quatre par ligne et par colonne. En superposant les trois MOLS S1, S2 et S3, je constate que la première sous-image (première ligne, première colonne) a un fond noir et un petit carré vermillon dans le coin supérieur gauche. De même, la deuxième sous-image (première ligne, deuxième colonne) a un fond bleu et un petit carré orange dans le coin supérieur droit. Enfin, la dernière sous-image (quatrième ligne, quatrième colonne) a un fond bleu et un petit carré vermillon dans le coin inférieur droit. Le résultat final ressemble à ceci :
Image5.png
Conclusion
Voilà ! La plateforme DOE de JMP peut servir d'outil pour créer des œuvres d'art basées sur des carrés latins mutuellement orthogonaux (MOLS), à l'instar des travaux de Margaret Kepner. Cela implique d'utiliser la fonction « Conception personnalisée » pour créer un type particulier de matrice orthogonale, puis de construire un ensemble de MOLS à partir de cette matrice. En suivant les exemples de ce blog, vous pouvez vous aussi essayer de créer des œuvres inspirées par les DOE !
Enfin, pour celles et ceux qui s'intéressent à la première image : je l'ai créée à l'aide de deux carrés latins orthogonaux d'ordre trois. L'OA correspondant, créé dans JMP, comportait neuf lignes et quatre colonnes, chacune sur trois niveaux. L'image est composée de neuf sous-images, chacune constituée d'un fond et de quarts de cercle dans chaque coin. Les deux facteurs sont la COULEUR DU FOND (avec trois niveaux : bleu, bleu ciel et vert turquoise) et la COULEUR DES QUARTS DE CERCLE (avec trois niveaux : jaune, orange et vermillon).
Référence
- Colbourn, Charles J. Manuel CRC des plans combinatoires . CRC Press, 2010.
