¿Qué es una matriz de alias?Cuando creo un diseño, el primer lugar que busco para evaluar el diseño es el Mapa de color en las correlaciones . Con suerte, veo un montón de azul, lo que implica la ortogonalidad entre los diferentes términos. El Mapa de color en las correlaciones contiene tanto los términos modelo como los términos de alias. Si has tomado un diseño de experimentos En la clase de regresión lineal, puede estar familiarizado con la idea de que la correlación entre los predictores infla el error estándar de las estimaciones. Sin embargo, la mayoría de los diagnósticos de diseño familiares se relacionan con los términos del modelo. ¿Qué pasa si nos hemos perdido algunos términos en nuestro modelo? No es sorprendente que, si faltan términos en el modelo, estos términos aún puedan afectar nuestros resultados. Afortunadamente, tenemos una manera de evaluar esto para los términos especificados en la lista de términos de alias.
¿Qué efecto tienen los términos faltantes en las estimaciones del modelo?
Vamos a profundizar en los detalles técnicos a continuación, pero el mensaje para llevar es que los términos activos no en El modelo puede sesgar las estimaciones de los términos. en el modelo. Si se especifica un término faltante en la lista de términos de alias, la Matriz de Alias nos da un medio para cuantificar ese sesgo. Las filas de la matriz de alias corresponden a cada uno de los efectos del modelo, mientras que las columnas representan los diferentes términos de alias y cómo influyen en el valor esperado de la estimación del efecto para cada uno de esos efectos del modelo.
Si ha tomado una clase con regresión lineal, el siguiente modelo probablemente le resulte familiar:
dónde Y es el vector de respuestas, 
el vector de coeficientes modelo, y 
El vector de los errores aleatorios, que suponemos centrado alrededor de cero. Nosotros llamamos X la matriz del modelo, donde las filas representan las ejecuciones del experimento y las columnas corresponden a la configuración de los términos del modelo en función de la configuración de los factores en el diseño. En Diseño personalizado, puede hacer que la matriz del modelo se guarde en la tabla de datos seleccionando "Guardar matriz X" debajo del triángulo rojo. Para estimar el vector de los coeficientes del modelo, la estimación de mínimos cuadrados (la opción de mínimos cuadrados estándar que se encuentra en Ajustar modelo) es
Suponiendo que el modelo es correcto, 
es una estimación imparcial de 
. Es decir,
el valor esperado de 
es 
.
Pero ¿qué pasa si a nuestro modelo le faltan algunos términos? Estos pueden aparecer después de analizar los datos, pero idealmente podríamos pensar en esto en la fase de diseño. Aquí es donde la matriz de alias entra en juego. El conjunto de estos términos que no están en nuestro modelo pero que pueden afectar la respuesta se denominan términos alias. Dejar Z corresponden a la matriz del modelo para el conjunto de términos de alias, con el vector de efectos correspondientes 
. Es decir, Z tiene la misma interpretación que X , pero para términos no estamos estimando. Ahora, supongamos que el modelo es en realidad
pero seguimos ajustando el modelo con X. Después de hacer un poco de álgebra lineal, encontramos
Nosotros llamamos 
la Matriz de alias . Si todas las entradas de 
son 0, lo que significa que ninguno de los términos de alias especificados afectan la respuesta, entonces 
sigue siendo imparcial. Si los elementos 
No somos despreciables, entonces queremos las entradas de UNA ser lo más pequeño posible.
Las filas de UNA corresponden a los efectos en el modelo, mientras que las columnas corresponden a los términos de alias. Un elemento en UNA le indica en qué medida el efecto del modelo (etiqueta de fila) puede estar sesgado por un término de alias activo (etiqueta de columna).
¿Puede dar un ejemplo?
Las siguientes figuras son el Mapa de color en las correlaciones y la matriz de alias para un diseño de cuatro factores y 12 ejecuciones para un modelo para estimar los efectos principales y usar las interacciones de dos factores como términos de alias.
Vemos que los efectos principales son ortogonales, por lo que el diseño es D-óptimo y los intervalos de confianza para estimar los efectos principales son lo más pequeños posible. Alias Matrix demuestra que las interacciones de dos factores pueden sesgar las estimaciones de los efectos principales. Por ejemplo, vemos que el efecto principal para X1 está sesgado por las interacciones de dos factores X2 * X3, X2 * X4 y X3 * X4, por -1/3 de su efecto. Si en realidad, el efecto principal para X1, 
, y la interacción de dos factores para X2 * X3, 
, la estimación de 
dada por 
tiene valor esperado:
Es decir, el valor esperado del estimador para X1 ahora es una estimación sesgada. En este ejemplo, el valor esperado para el efecto principal de X1 es 0, lo que indicaría que X1 no afecta la respuesta.
El sesgo puede ir en la otra dirección también. Si 
, entonces el valor esperado de 
es 2, dos veces más grande que su verdadero valor. Por lo tanto, dependiendo de la dirección del término de aliasing, podría pasar por alto un efecto principal activo o pensar erróneamente que un efecto principal despreciable está activo.
¿Es realmente tan malo como todo eso?
En general, es más probable que los efectos principales sean significativos que las interacciones, y tienden a tener una magnitud mayor cuando lo son. Sin embargo, a medida que aumenta la cantidad de factores, la cantidad de posibles interacciones aumenta rápidamente. Si el sesgo de las muchas interacciones de dos factores es una preocupación real, y no tiene los recursos para agregar estos términos a su modelo, tiene una opción: los diseños Alias Optimal.
Mi próxima publicación en el blog tratará los diseños de Alias Optimal y mostrará su ventaja sobre los diseños de D-óptimo para la reducción de sesgos.
Mark Bailey escribió: Sólo dos consejos adicionales para seguir una ... Mark Bailey escribió:
Sólo dos consejos adicionales para seguir un gran artículo. Primero, puedes moverte sobre un cuadrado en el Mapa de color de las correlaciones y JMP presentará una leyenda. La leyenda identifica los dos términos representados por el cuadrado junto con la correlación, en caso de que desee asegurarse de que está mirando el cuadrado correcto y desea un valor. Esta característica es útil si tiene muchos términos y términos de alias a considerar en este mapa. Segundo, puedes hacer click derecho en el Mapa de color en las correlaciones y seleccione Esquema de colores... > Escoger... Para cambiar el color del mapa de calor. A menudo imprimimos materiales de capacitación en blanco y negro. Encontramos que el esquema de color azul a rojo predeterminado no es efectivo cuando se convierte a una escala de grises durante la impresión. Si primero cambiamos el esquema de color a blanco y negro, JMP produce un mapa nítido que se imprime tan bien como aparece en la pantalla. Pruebe diferentes esquemas de color para ayudarlo a interpretar mejor este mapa informativo. (No estoy sugiriendo que el esquema de color predeterminado sea malo. Solo que tiene una opción, así que vea si hay una mejor para usted.)
