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Cos'è una matrice di alias?

Quando creo un disegno, il primo posto che guardo tipicamente per valutare il design è il Mappa dei colori sulle correlazioni . Spero di vedere molto blu, implicando ortogonalità tra termini diversi. La mappa dei colori sulle correlazioni contiene sia i termini del modello che i termini dell'alias. Se hai preso un progettazione di esperimenti / classe di regressione lineare, potresti avere familiarità con l'idea che la correlazione tra i predittori gonfia l'errore standard delle stime. Tuttavia, la maggior parte della diagnostica del design familiare si riferisce ai termini del modello. Che dire se abbiamo perso alcuni termini nel nostro modello? Non sorprendentemente, se mancano termini nel modello, questi termini possono ancora influenzare i nostri risultati. Fortunatamente, abbiamo un modo per valutare questo per quei termini specificati nell'elenco dei termini alias.

Quale effetto hanno i termini mancanti sulle stime del modello?

Scopriremo i dettagli tecnici di seguito, ma il messaggio da asporto è quel termine attivo Non in il modello può influenzare le stime dei termini nel il modello. Se un termine mancante viene specificato nell'elenco dei termini alias, la matrice di alias ci fornisce un mezzo per quantificare tale distorsione. Le righe della matrice di alias corrispondono a ciascuno degli effetti del modello, mentre le colonne rappresentano i diversi termini di alias e il modo in cui influenzano il valore atteso della stima dell'effetto per ciascuno di questi effetti del modello.

Se hai preso una lezione che comporta una regressione lineare, probabilmente il seguente modello sembra familiare:

 

 

dove Y è il vettore di risposte, il vettore dei coefficienti del modello e il vettore di errori casuali, che assumiamo come centrati attorno allo zero. Noi chiamiamo X la matrice del modello, in cui le righe rappresentano le esecuzioni dell'esperimento e le colonne corrispondono alle impostazioni per i termini del modello in base alle impostazioni per i fattori nella progettazione. In Custom Design, è possibile salvare la matrice del modello nella tabella dati selezionando "Salva X Matrix" sotto il triangolo rosso. Per stimare il vettore dei coefficienti del modello, la stima dei minimi quadrati (l'opzione Minimi quadrati standard che si trova in Fit Model) è

 

 

Supponendo che il modello sia corretto, è una stima imparziale di . Questo è,

 

il valore atteso di è .

 

Ma cosa succede se al nostro modello mancano alcuni termini? Questi possono comparire dopo aver analizzato i dati, ma idealmente potremmo pensarci in fase di progettazione. È qui che entra in gioco Alias Matrix. L'insieme di questi termini che non sono nel nostro modello ma possono influenzare la risposta sono chiamati termini alias. Permettere Z corrisponde alla matrice del modello per l'insieme di termini alias, con il vettore di effetti corrispondenti . Questo è, Z ha la stessa interpretazione di X , ma per i termini non stiamo valutando. Ora, supponiamo che il modello sia effettivamente

 

  

ma adattiamo ancora il modello usando X. Dopo aver fatto dell'algebra lineare, troviamo

 

 

Noi chiamiamo il Alias Matrix . Se tutte le voci di sono 0, quindi nessuno dei termini alias specificati influisce sulla risposta, quindi è ancora imparziale. Se gli elementi non sono trascurabili, quindi vogliamo le voci di UN essere il più piccolo possibile

 

Le file di UN corrispondono agli effetti nel modello, mentre le colonne corrispondono ai termini dell'alias. Un elemento in UN ti dice fino a che punto l'effetto del modello (etichetta di riga) può essere influenzato da un termine alias attivo (etichetta di colonna).

Puoi fare un esempio?

Le seguenti figure sono la mappa dei colori sulle correlazioni e la matrice di alias per un modello a quattro fattori, 12 fasi per un modello per stimare gli effetti principali e l'utilizzo delle interazioni a due fattori come termini alias.

 

 

 

Vediamo che gli effetti principali sono ortogonali, quindi il design è D-ottimale, e gli intervalli di confidenza per stimare gli effetti principali sono i più piccoli possibili. L'Alias Matrix dimostra che le interazioni a due fattori possono influenzare le stime degli effetti principali. Ad esempio, vediamo che l'effetto principale per X1 è polarizzato dalle interazioni a due fattori X2 * X3, X2 * X4 e X3 * X4, di -1/3 del loro effetto. Se in realtà, l'effetto principale per X1, e l'interazione a due fattori per X2 * X3, , la stima di dato da ha un valore atteso:

 

Cioè, il valore atteso dello stimatore per X1 è ora una stima parziale. In questo esempio, il valore atteso dell'effetto principale di X1 è 0, il che indica che X1 non influisce sulla risposta.

Il pregiudizio può andare anche nella direzione opposta. Se , quindi il valore atteso di è 2, due volte più grande del suo vero valore. Quindi, a seconda della direzione del termine di aliasing, potresti perdere un effetto principale attivo o pensare erroneamente che un effetto principale trascurabile sia attivo.

È davvero così male come tutto ciò?

In generale, gli effetti principali hanno maggiori probabilità di essere significativi rispetto alle interazioni e tendono ad avere una maggiore ampiezza quando sono. Tuttavia, aumentando il numero di fattori, il numero di interazioni possibili aumenta rapidamente. Se la distorsione dalle molte interazioni a due fattori è una preoccupazione reale e non si dispone delle risorse per aggiungere questi termini al modello, si ha una scelta: progettazioni Alias ottimali.

Il mio prossimo post sul blog discuterà i progetti Alias Optimal e mostrerà il loro vantaggio rispetto ai progetti D-optimal per la riduzione del bias.

Mark Bailey ha scritto: Solo due consigli aggiuntivi per seguire un g ...

Mark Bailey ha scritto:

Solo due consigli aggiuntivi per seguire un ottimo articolo. Innanzitutto, puoi passare con il mouse su un quadrato nel Mappa dei colori delle correlazioni e JMP presenterà una legenda. La legenda identifica i due termini rappresentati dal quadrato insieme alla correlazione, nel caso in cui si voglia essere sicuri di guardare il quadrato corretto e si desidera un valore. Questa funzione è utile se hai molti termini e termini alias da considerare in questa mappa. In secondo luogo, è possibile fare clic destro sul Mappa dei colori sulle correlazioni e selezionare Combinazione di colori... > Scegliere... per cambiare la colorazione della mappa di calore. Stampiamo spesso materiali di addestramento in bianco e nero. Scopriamo che lo schema blu-rosso predefinito non è efficace quando viene convertito in una scala di grigi durante la stampa. Se prima cambiamo lo schema dei colori in bianco e nero, JMP produce una mappa nitida che viene stampata e visualizzata sul display. Prova diversi schemi di colori per aiutarti a interpretare meglio questa mappa informativa. (Non sto suggerendo che lo schema di colori di default sia cattivo. Solo che hai una scelta quindi vedi se ce n'è una migliore per te.)