Qu'est-ce qu'une matrice d'alias?Lorsque je crée un design, le premier endroit où je cherche généralement à évaluer le design est le Carte de couleur sur les corrélations . J'espère que je vois beaucoup de bleu, ce qui implique une orthogonalité entre différents termes. La carte de couleurs sur les corrélations contient les termes du modèle et les termes d'alias. Si vous avez pris un conception d'expériences / classe de régression linéaire, vous savez peut-être que la corrélation entre les prédicteurs gonfle l’erreur type des estimations. Cependant, la majorité des diagnostics de conception connus se rapportent aux termes du modèle. Qu'en est-il si nous avons manqué certains termes de notre modèle? Sans surprise, s'il manque des termes dans le modèle, ceux-ci peuvent toujours affecter nos résultats. Heureusement, nous avons un moyen d'évaluer cela pour les termes spécifiés dans la liste des termes d'alias.
Quel est l'effet des termes manquants sur les estimations du modèle?
Nous allons creuser dans les détails techniques ci-dessous, mais le message à retenir est que les termes actifs pas dedans le modèle peut biaiser les estimations de termes dans le modèle. Si un terme manquant est spécifié dans la liste des termes d'alias, la matrice d'alias nous donne un moyen de quantifier ce biais. Les lignes de la matrice d'alias correspondent à chacun des effets du modèle, tandis que les colonnes représentent les différents termes d'alias et leur influence sur la valeur attendue de l'estimation de l'effet pour chacun de ces effets du modèle.
Si vous avez suivi un cours impliquant une régression linéaire, le modèle suivant semble probablement familier:
où Y est le vecteur de réponses, 
le vecteur des coefficients du modèle, et 
le vecteur d'erreurs aléatoires, que nous supposons être centré autour de zéro. Nous appelons X la matrice du modèle, où les lignes représentent les exécutions de l'expérience et les colonnes correspondent aux paramètres des termes du modèle basés sur ceux des facteurs de la conception. Dans Custom Design, vous pouvez enregistrer la matrice de modèle dans le tableau de données en sélectionnant «Enregistrer la matrice X» sous le triangle rouge. Pour estimer le vecteur des coefficients du modèle, l’estimation par les moindres carrés (l’option des moindres carrés standard que vous trouvez sous Ajuster le modèle) est égale à
En supposant que le modèle est correct, 
est une estimation impartiale de 
. C'est,
la valeur attendue de 
est 
.
Mais qu'en est-il si notre modèle manque quelques termes? Celles-ci peuvent apparaître après l'analyse des données, mais idéalement, nous pourrions y penser dès la phase de conception. C'est ici qu'Alias Matrix entre en jeu. L'ensemble de ces termes qui ne sont pas dans notre modèle mais qui peuvent affecter la réponse s'appelle les termes d'alias. Laisser Z correspondre à la matrice du modèle pour l'ensemble des termes d'alias, avec le vecteur des effets correspondants 
. C'est, Z a la même interprétation que X , mais pour les termes que nous n’estimons pas. Maintenant, supposons que le modèle est réellement
mais nous ajustons toujours le modèle en utilisant X. Après avoir fait une algèbre linéaire, nous trouvons
Nous appelons 
la Alias Matrix . Si toutes les entrées de 
sont 0, ce qui signifie qu'aucun des termes d'alias spécifiés n'affecte la réponse, puis 
est toujours impartial. Si les éléments 
ne sont pas négligeables, alors nous voulons les entrées de UNE être aussi petit que possible.
Les rangées de UNE correspondent aux effets dans le modèle, tandis que les colonnes correspondent aux termes d'alias. Un élément dans UNE vous indique dans quelle mesure l'effet de modèle (libellé de ligne) peut être biaisé par un terme d'alias actif (libellé de colonne).
Pouvez-vous donner un exemple?
Les figures suivantes sont la carte des couleurs sur les corrélations et la matrice des alias pour un modèle à quatre facteurs et douze analyses permettant d'estimer les principaux effets et d'utiliser les interactions à deux facteurs comme termes d'alias.
Nous voyons que les effets principaux sont orthogonaux, de sorte que la conception est D-optimale et que les intervalles de confiance pour estimer les effets principaux sont aussi faibles que possible. La matrice alias montre que les interactions à deux facteurs peuvent biaiser les estimations des principaux effets. Par exemple, nous voyons que l'effet principal pour X1 est biaisé par les interactions à deux facteurs X2 * X3, X2 * X4 et X3 * X4, par -1/3 de leur effet. Si en réalité, l'effet principal pour X1, 
et l'interaction à deux facteurs pour X2 * X3, 
, l'estimation de 
donné par 
a la valeur attendue:
Autrement dit, la valeur attendue de l'estimateur pour X1 est maintenant une estimation biaisée. Dans cet exemple, la valeur attendue pour l'effet principal de X1 est 0, ce qui indique que X1 n'affecte pas la réponse.
Le parti pris peut également aller dans la direction opposée. Si 
, alors la valeur attendue de 
est 2, deux fois plus grand que sa vraie valeur. Ainsi, en fonction de la direction du terme de repliement, vous risquez de manquer un effet principal actif ou de penser à tort qu'un effet principal négligeable est actif.
Est-ce vraiment aussi mauvais que tout ça?
En général, les effets principaux ont plus de chances d'être significatifs que les interactions et ont tendance à avoir une ampleur plus grande lorsqu'ils le sont. Cependant, à mesure que vous augmentez le nombre de facteurs, le nombre d'interactions possibles augmente rapidement. Si les biais résultant des nombreuses interactions à deux facteurs constituent un réel problème et que vous ne disposez pas des ressources nécessaires pour ajouter ces termes à votre modèle, vous avez le choix: les conceptions Alias Optimal.
Mon prochain article de blog traitera des conceptions d'Alias Optimal et montrera leur avantage sur les conceptions D-optimales pour la réduction des biais.
Mark Bailey a écrit: Juste deux conseils supplémentaires pour suivre un g ... Mark Bailey a écrit:
Juste deux astuces supplémentaires pour suivre un bon article. Tout d'abord, vous pouvez survoler une place dans la Carte de couleur des corrélations et JMP présentera une légende. La légende identifie les deux termes représentés par le carré ainsi que la corrélation, au cas où vous voudriez être sûr de regarder le bon carré et que vous voulez une valeur. Cette fonctionnalité est pratique si vous avez plusieurs termes et termes d’alias à prendre en compte dans cette carte. Deuxièmement, vous pouvez faire un clic droit sur le Carte de couleur sur les corrélations et sélectionnez Schéma de couleur... > Choisir... pour changer la couleur de la carte thermique. Nous imprimons souvent des supports de formation en noir et blanc. Nous constatons que le jeu de couleurs par défaut du bleu au rouge n’est pas efficace lorsqu’il est converti en niveaux de gris pendant l’impression. Si nous modifions d'abord le jeu de couleurs en noir et blanc, JMP produira une carte nette qui s'imprime aussi bien qu'elle apparaît à l'écran. Essayez différentes couleurs pour vous aider à mieux interpréter cette carte informative. (Je ne suggère pas que le jeu de couleurs par défaut est mauvais. Juste que vous avez le choix alors voyez s'il en existe un meilleur pour vous.)
