21864_fr-FR

liliconcom

Utilisation de JMP® pour analyser les données d'une expérience conçue avec certaines réponses inférieures à la limite de détection

Auteurs

William D. Kappele, président, Expériences objectives
Julie Kidd, ingénieure en matériaux, US Synthetic
Heather Schaefer, ingénieure en matériaux, US Synthetic

Introduction

Parfois, vous rencontrez un problème intéressant dans le cadre de votre travail normal. C'est ce qui nous est arrivé. Lors de l’utilisation d’une expérience conçue pour formuler des diamants synthétiques, nous avons réalisé quelques essais pour lesquels nous n’avons pas pu mesurer la réponse – ils étaient inférieurs à la limite de détection de notre système de mesure.

Nous aurions pu modifier les paramètres des facteurs jusqu'à ce que nous puissions effectuer une mesure, mais nous ne voulions pas ajouter cette dépense si nous n'y étions pas obligés.

Au début, nous attribuions simplement « zéro » à tout ce que nous ne pouvions pas mesurer. Nous étions cependant un peu nerveux à ce sujet – après tout, nous mentions à JMP – quelque chose que nous n'aimons pas faire !

C'est avec le désir d'honnêteté que notre aventure a commencé.

https://www.youtube.com/watch?v=Zf0REURPFU0

L'aventure

Deux de nos réponses étaient inférieures à la limite de détection de notre système de mesure. Tout ce que nous savions de ces réponses, c’est qu’elles se situaient quelque part entre la limite de détection et zéro. Les données dont on sait qu’elles se situent uniquement dans une plage sont appelées « données censurées ». Nous savions comment gérer les données censurées dans l'analyse de fiabilité, mais nous ne savions pas comment les gérer dans une expérience conçue.

Nous avons demandé à Bill s'il savait quoi faire. Il nous a suggéré d'utiliser l'estimation du maximum de vraisemblance, mais il ne savait pas comment procéder dans JMP. Il a contacté Brad Jones (de JMP) et Brad l'a dirigé vers la plateforme Parametric Survival. Même s'il n'a pas été conçu pour faire exactement ce dont nous avions besoin, il pourrait être utilisé pour obtenir notre réponse.

Nous voulions partager ce que nous avions appris – comment comparer les différentes analyses et comment utiliser JMP pour les réaliser – mais notre projet était propriétaire. Il semblait que notre apprentissage devait être notre secret jusqu'à ce que Heather ait une idée géniale : déguiser notre travail comme si nous préparions des biscuits aux pépites de chocolat ! Elle et Julie ont ensuite réussi à créer un ensemble de données « cookies » fidèles à notre travail et qui ne révéleraient aucun secret.

Comme pour toutes les analogies, notre analogie avec les cookies semblera un peu artificielle. Cependant, si vous nous supportez, vous pourrez voir le problème auquel nous sommes réellement confrontés et apprendre à résoudre ce même type de problème s'il survient dans votre travail.

Une analogie simple : préparer des biscuits

Supposons que nous travaillions réellement à préparer des cookies aux pépites de chocolat. Notre objectif serait de produire le biscuit le plus fin possible en utilisant notre recette. (On vous l’avait dit, cela pouvait paraître un peu artificiel ! Nous aurions vraiment essayé des biscuits épais.) La recette que nous avons utilisée était la recette classique des biscuits Nestlé Toll House de la figure 1.

Figure 1 – La recette officielle des Toll House Cookie, gracieuseté de Nestlé.

Nous avons regroupé les ingrédients de manière logique pour créer 5 facteurs pour notre expérience. Les facteurs sont répertoriés dans la figure 2.

Puces Sec (farine, bicarbonate de soude, sel) Crémé (beurre, sucre, cassonade, vanille) Température Temps

Figure 2 – Les facteurs.

Voici les facteurs et les niveaux que nous avons utilisés pour créer notre plan d'expérience :

 

Facteur	Taper	Niveau faible	Haut niveau
Puces	Mélange	0	0,5
À la crème	Mélange	0	0,5
Sec	Mélange	0	0,8
Température	Continu	375	450
Temps	Continu	5	12

Nous avions également plusieurs contraintes. Une partie d'un plan d'expérience avec ces contraintes (voir Figure 3) est présentée dans la Figure 4.

Figure 3 – Création de la conception avec des contraintes

Figure 4 – Une partie de notre plan d’expérience.

Ensuite, nous avons préparé des cookies….

Utiliser JMP pour analyser les données

Après avoir cuit nos biscuits, nous devions mesurer l'épaisseur. Ne le sauriez-vous pas ! Nous n'avions pas un très bon dirigeant. Nous ne pouvions vraiment rien mesurer en dessous de 1 mm. Nous pouvions certainement dire que nous avions un biscuit fin, mais nous ne pouvions pas dire exactement à quel point. Notre limite de détection était de 1 mm.

Au départ, nous avons simplement entré un « zéro » pour l'épaisseur des cookies que nous ne pouvions pas mesurer – ceux en dessous de notre limite de détection. Rappelez-vous, nous savions que nous avions un cookie, donc « zéro » ne pouvait pas être correct, mais nous avons pensé essayer.

Ces données étaient faciles à analyser. Nous avons simplement utilisé la commande « Ajuster le modèle » avec la personnalité « Moindres carrés standard ».

Afin de comprendre comment nous avons analysé les données censurées, nous avons besoin d’un peu de contexte.

Estimation de vraisemblance maximale

Bien que les moindres carrés soient une excellente technique pour ajuster les données aux modèles, ils ne sont pas faciles à utiliser avec des données censurées. Une autre technique, l’estimation du maximum de vraisemblance, est beaucoup plus facile à utiliser avec des données censurées. JMP utilise l'estimation du maximum de vraisemblance à différents moments dans la commande « Ajuster le modèle » (par exemple, si vous choisissez l'option « Modèles linéaires généralisés »), mais il n'offre qu'une option pour les données censurées dans la plateforme Parametric Survival.

Nous devions « convaincre » JMP de faire ce que nous voulions qu'il fasse.

La plateforme de survie paramétrique

La plateforme « Parametric Survival » de JMP utilise l'estimation du maximum de vraisemblance et offre la possibilité d'analyser des données censurées. Il est conçu pour fonctionner avec des réponses « Délai avant défaillance » – et non avec des hauteurs de cookies – mais il s'est avéré facile de contourner ce problème. Lorsque JMP demande le « Time to Event », vous choisissez simplement « Cookie Height » comme dans la figure 5.

Choisir une distribution

La plateforme Parametric Survival vous oblige à choisir une distribution. La distribution Normale aurait été notre premier choix, mais elle n'était pas disponible. Nous avons choisi la distribution logNormal car elle a une grande capacité à usurper l'identité de la distribution Normale. De plus, puisque nous étions proches de zéro hauteur, une distribution normale aurait pu modéliser un bruit qui permettrait de prédire une hauteur négative (quelque chose que vous jamais vouloir dans un cookie !). La distribution logNormal évite cette nuisance.

Ajout d'une colonne « Censure »

L'ajout d'une colonne de censure au tableau nous permet d'indiquer à JMP quelles exécutions contiennent des données censurées (données inférieures à la limite de détection). Il les traitera différemment du reste des mesures. (Il ne les traitera pas comme s’ils étaient nuls – il les traitera de manière plus sophistiquée.)

Optimisation de la recette : médiane vs moyenne

L'optimiseur de la plateforme Parametric Survival traite la « probabilité d'échec » comme un facteur. Ceci n’est pas nécessaire pour notre analyse, alors à quel niveau devrions-nous le fixer ?

Habituellement, dans la méthodologie de la surface de réponse, nous prédisons la valeur moyenne. Puisque nous nous attendons à ce que la distribution log-normale se rapproche de la distribution normale, la médiane devrait être assez proche de la moyenne. Si nous définissons la « probabilité d'échec » sur 0,5, nous devrions obtenir ce dont nous avons besoin. Figure 6

Figure 5 – La plateforme de survie paramétrique

montre comment « verrouiller » la « probabilité de défaillance » à la médiane.

Notez également que la réponse sera toujours étiquetée « Heure ». Bien sûr, vous savez que c'est vraiment « Cookie Height ».

Vous pouvez ajouter les « Fonctions de désirabilité » et définir les désirabilités comme d'habitude. Vous trouvez également le « Sweet Spot » en utilisant « Maximiser la désirabilité » comme d'habitude.

Si vous souhaitez créer des tracés de contour, vous devrez enregistrer la formule de prédiction et utiliser le « Contour Profiler » sous « Graphique ».

Figure 6 – Le profileur quantile

Résultats

Alors qu’avons-nous trouvé ?

Tout d’abord, nous avons déterré une très bonne règle pour pouvoir connaître l’épaisseur réelle des biscuits (c’était assez difficile et a pris beaucoup de temps). Ensuite, nous avons pu créer un graphique réel/prédit (voir Figure 7). Cela ne raconte pas toute l'histoire puisqu'il laisse de côté le bruit. Nous avons donc également créé un graphique Réel vs Résiduels (voir Figure 8). En regardant les deux, vous pouvez voir que les résultats étaient similaires. Les résidus étaient de taille similaire avec un biais différent.

Ensuite, nous avons prédit Sweet Spots avec les deux modèles. Les deux modèles prédisaient essentiellement le même Sweet Spot, ne différant que légèrement par le temps de cuisson prévu (voir figures 9 et 10). Nous avons préparé 50 cookies pour chaque Sweet Spot et comparé les résultats (voir Figure 11).

Figure 7 – Courbes réelles et prévues

Figure 8 – Courbes réelles et résiduelles

Figure 9 – Le point idéal pour l’analyse des données censurées

Figure 10 – Le point idéal pour l’analyse des données mises à zéro

Les deux Sweet Spots ont donné la même épaisseur de biscuit . Nous avons trouvé essentiellement le même Sweet Spot avec les deux modèles, donc la technique d'analyse n'avait pas d'importance pour trouver un Sweet Spot.

Examinez de plus près les figures 9, 10 et 11. Bien qu’ils aient prédit le même Sweet Spot, la prédiction réelle du modèle censuré était plus précise. Même les limites de confiance de la prédiction du modèle censuré étaient plus proches de la réalité. Donc, si vous avez besoin de prédictions précises, le modèle censuré est préférable.

Figure 11 – Comparaison du point idéal

Nous avons vraiment eu 2 problèmes

1. Nous avions des données censurées.
2. Nous devions modéliser le bruit avec une distribution qui ne prédisait pas de hauteurs de cookies négatives.

Le modèle avec les données mises à zéro n’a résolu aucun de ces problèmes. Le modèle prenant en compte les données censurées a pris en compte ces deux problèmes. Une question naturelle est la suivante : « Est-ce que le fait de résoudre un seul de ces problèmes produirait des résultats aussi bons que le modèle censuré ? »

Bien que nous n'ayons aucun moyen simple de tester le problème 1 (nous n'avons aucun moyen dans JMP d'examiner les données censurées avec une distribution normale), nous pouvons examiner le problème 2. Nous ne pouvons pas facilement utiliser la plateforme de modèles linéaires généralisés car elle ne peut pas être utilisée avec des mélanges. Cependant, nous pouvons effectuer une transformation logarithmique de nos données et les analyser avec les moindres carrés standard. Cela a pour effet de traiter les données comme si elles étaient distribuées de manière lognormale.

Un problème avec cette approche est que la remise à zéro des données ne fonctionnera pas. Au lieu de cela, nous avons remplacé les zéros par la moyenne de la plage censurée (0,5). Bien sûr, nous étions toujours en train de mentir à JMP ! Nous avons également analysé ces données sans la transformation du journal à des fins de comparaison.

Les résultats de cette analyse sont présentés dans les figures 12 et 13. Notez que les Sweet Spots sont identiques à l’ajustement des moindres carrés standard pour les données normalement distribuées utilisant des zéros. Cependant, les prédictions de 0,63 avec des limites de confiance à 95 % de 0,53 et 0,76 pour la transformation logarithmique et de 0,68 avec des limites de confiance à 95 % de 0,42 et 0,93 pour la moyenne de la plage censurée sont bien meilleures que la prédiction pour l'analyse des données mises à zéro. Une comparaison des quatre modèles figure à la figure 14.

Figure 12 – Le point idéal pour l'analyse de transformation du journal

Figure 13 – Le point idéal pour l’analyse de la moyenne de plage

Figure 14 – Graphiques réels et résiduels pour les trois modèles

Vous pouvez voir que le modèle de données censurées et le modèle de transformation logarithmique ont prédit assez bien – le modèle censuré prédit un peu haut, le modèle transformé en log prédit un peu bas. Il semble que l'utilisation de la distribution logNormal n'était pas nécessaire.

Résumé

1. L'attribution de « zéro » aux réponses inférieures à la limite de détection a donné un mauvais résultat, mais a donné un Sweet Spot viable.
2. Attribuer la moyenne de la plage censurée aux réponses inférieures à la limite de détection prédite bien et a donné un Sweet Spot viable.Il est peu probable que cela fonctionne en général – il semble que nous ayons eu de la chance cette fois-ci.
3. Une transformation log de l'ensemble de données dans (2) a donné des résultats similaires à (2) avec une mise en garde similaire.
4. Utilisation de la plateforme Parametric Survival de JMP avec des données censurées et une distribution log-normale pour modéliser le bruit prédit bien et a donné un Sweet Spot viable pour la médiane . C'est probablement ce qui fonctionnera le mieux en général.

Conclusion

Dans notre travail, nous avons rencontré deux problèmes :

1. Données censurées
2. Nous devions modéliser le bruit de manière à éviter les valeurs négatives (au moins dans le bas de l'échelle).

Grâce à nos données, nous avons pu résoudre ces problèmes de deux manières :

1. Analysez avec des données censurées et une distribution log-normale à l'aide de la plateforme de survie paramétrique.
2. Analysez la transformation logarithmique des données avec les valeurs censurées remplacées par la moyenne de la plage à l'aide des moindres carrés standard.

Il s’est avéré que la distribution normale a bien fonctionné ici – aucune hauteur de cookie négative n’est prévue.

Ces deux méthodes prédisaient mieux que la simple remise à zéro des données en dessous de la limite de détection. Les deux méthodes ont trouvé essentiellement le même Sweet Spot.

Alors qu'avons-nous fait vraiment apprendre?

1. L'attribution de zéros aux valeurs inconnues a assez bien fonctionné. C'était probablement dû à la chance. Nous ne nous attendons pas à ce que cela fonctionne pour tous les ensembles de données.
2. L'attribution de la moyenne de la plage censurée a mieux fonctionné, mais c'était probablement aussi une simple chance. Nous ne nous attendons pas à ce que ce soit une bonne stratégie en général.
3. La plateforme Parametric Survival de JMP nous a permis d'analyser les données comme censurées, même si dans ce cas, elle n'a pas donné de meilleurs résultats que la moyenne de la plage censurée. Malgré cela, il s’agira probablement de la meilleure stratégie à l’avenir. Alors que (1) et (2) ne sont que des suppositions, l’estimation du maximum de vraisemblance derrière la plateforme de survie paramétrique est bien établie.
4. Les distributions Normal et logNormal ont bien fonctionné pour nous.

Et maintenant, nous avons partagé notre aventure (et notre apprentissage) avec vous. C'est maintenant l'heure des cookies !

Vous cherchez plus ?

Voici quelques références intéressantes pour plus d’informations :

Russell B. Millar, Estimation et inférence du maximum de vraisemblance : avec des exemples dans R, SAS et ADMB , J. Wiley et fils, 2011, ISBN 978-0470094822 .

http://ussynthetic.com/ (pour plus d'informations sur US Synthetic)

http://www.ObjectiveExperiments.com (pour plus d'informations sur les formations et les ateliers)

http://www.jmp.com/ (pour plus d'informations sur le logiciel JMP)

http://en.wikipedia.org/wiki/Censoring_(statistics) (pour une belle explication de la censure)

http://mathworld.wolfram.com/MaximumLikelihood.html (pour une brève explication de l'estimation du maximum de vraisemblance)

http://en.wikipedia.org/wiki/Chocolate_chip_cookie (pour une histoire du cookie aux pépites de chocolat)

à propos des auteurs

Julie Kidd est ingénieure en matériaux chez US Synthetic. Ses spécialités sont les systèmes céramiques et composites et la caractérisation des matériaux, y compris la métallurgie médico-légale et l'analyse des défaillances.

Heather Schaefer est ingénieur en matériaux chez US Synthetic.Son les spécialités sont des matériaux énergétiques moulés et pressés avec un accent sur le développement de leurres infrarouges.

Ensemble, ils développent actuellement des diamants synthétiques améliorés pour l'industrie pétrolière et gazière.

Bill Kappele est Président de l'Ob Expériences objectives. Il est responsable de la prestation et du développement des cours.Julie et Bruyère J'ai appris la conception d'expériences auprès de Bill.

Conception d'expériences