Aprendió sobre los gráficos de control CUSUM con mi colega. @AnnieDudley La publicación “ Cómo detectar pequeños cambios en los gráficos de control .” Vimos que el gráfico de control CUSUM era mejor para detectar pequeños cambios que el gráfico IMR (rango individual y móvil). ¿Cuánto mejor es el gráfico CUSUM que el gráfico IMR para detectar pequeños cambios? ¿Qué se considera un pequeño turno? En otras palabras, ¿cómo se comporta el gráfico CUSUM en comparación con el gráfico IMR?
Si se tratara de una prueba de hipótesis, podríamos medir el error α (Tipo I) y β (Tipo II). Este método no se puede utilizar para gráficos de control porque los gráficos de control son una serie de pruebas de hipótesis muestra por muestra. En lugar del error tradicional α y β que se utiliza para las pruebas de hipótesis, la longitud promedio de ejecución (ARL) se utiliza normalmente para medir el rendimiento de los gráficos de control.
La duración de la ejecución es el número de muestras (subgrupos) tomadas antes de que haya una señal (punto más allá de los límites de control). En la imagen de la izquierda, la duración del experimento es cuatro porque se tomaron cuatro muestras antes de que un punto sobrepasara el límite de control superior. La longitud de ejecución es una variable aleatoria que solo puede tomar valores enteros. Necesitamos utilizar el valor esperado o la longitud promedio de ejecución para medir el rendimiento. ARL (longitud de ejecución promedio) es el valor esperado de la longitud de ejecución, es decir, el número esperado de subgrupos hasta que un gráfico de control indique por primera vez.
Escuchará acerca de dos tipos de ARL discutidos en la literatura: ARL bajo control (ARL 0 ) y ARL fuera de control (ARL Δ ). ARL 0 es el número esperado de muestras hasta que un gráfico de control señale, dado que el proceso está bajo control. También puedes pensar en esto como enviar una falsa alarma. Dado que el proceso está bajo control (en el objetivo), desea ARL 0 que sea lo más grande posible. ARL Δ es el número esperado de muestras hasta que un gráfico de control indique, dado que el proceso está fuera de control (la media ha cambiado). Quieres ARL Δ que sea lo más pequeño posible. Si el proceso ha llegado a un nivel insatisfactorio, querrás enterarte más temprano que tarde.
¿Cómo se calcula el ARL?
Consideremos el ejemplo utilizado en Publicación del blog de Annie . Este ejemplo examinó datos del termostato del motor de un automóvil. El motor fue diseñado para funcionar en un rango de temperatura de [90° C, 110° C]. Primero, veamos el gráfico de IMR que se usó en su publicación, usando solo la Prueba 1. Solo estamos considerando la Prueba 1 porque la adición de reglas de ejecución hace que la determinación de la probabilidad de una falsa alarma sea más difícil. Con las reglas de ejecución, la probabilidad de una falsa alarma en una observación determinada depende de los valores de la observación anterior. Esto significa que el valor de α no es constante.
ARL bajo control (ARL 0 )
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
Para cualquier gráfico de Shewhart con los límites habituales de 3-sigma, α=0,0027 es la probabilidad de que un único punto quede fuera de los límites de control cuando el proceso está bajo control. Por lo tanto, la ARL 0 es 1/0.0027≈370. Si el proceso está bajo control, se dará una señal cada 370 muestras, en promedio.
ARL fuera de control (ARL Δ )
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
Aunque ARL 0 es grande como deseábamos, ARL Δ También es grande, lo cual no queríamos. En promedio, se necesitarían 119 muestras para señalar cuando la media ha cambiado de 104 a 110.
ARL CUSUM
Desafortunadamente, los cálculos de ARL para gráficos CUSUM no son tan sencillos. Los puntos trazados son desviaciones acumulativas y, por tanto, no son independientes. Puede encontrar tablas de cálculos de ARL en los libros de texto. Por suerte para nosotros, JMP puede realizar estos cálculos por usted. Haga clic en el triángulo rojo al lado de Gráfico de control CUSUM – Y y elija “Mostrar ARL”.
Echemos un vistazo a la ARL bajo control: ARL 0 = 465,44, lo cual es bueno (incluso más alto que el gráfico de IMR). Si el proceso está bajo control, esperamos obtener una señal cada 465 muestras en promedio. Ahora veamos la ARL fuera de control: ARL Δ =10,38. Este número es bajo, lo cual es bueno (mucho más bajo que el ARL Δ para la tabla IMR). Si la media del proceso ha cambiado 10 °C, espere obtener una señal cada 10 muestras en promedio.
La siguiente tabla ilustra el rendimiento ARL de un gráfico de control de Shewhart y el gráfico CUSUM con k=0,5 y h=5 (valores predeterminados de JMP).
Desplazamiento, en múltiplos de σ
|
Shewhart ARL
|
ARL CUSUM
|
0
|
370
|
465
|
0,25
|
281
|
139
|
0,5
|
155
|
38
|
0,75
|
81,83
|
17
|
1
|
43,96
|
10.4
|
1.5
|
15,97
|
5.75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2.57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1,69
|
Puede ver que el gráfico CUSUM detectará un cambio antes que los gráficos de Shewhart cuando el cambio sea inferior a 2,5*σ. Para cambios mayores a 2,5*σ, un gráfico de Shewhart detectará el cambio antes.
Cómo h y k afectan la ARL
JMP también proporciona un ingenioso ARL Profiler. Puede encontrar esta opción debajo del triángulo rojo al lado de Gráfico de control CUSUM – Y.
Perfilador ARL, de dos caras
Esta gráfica nos dice que cuando h=5 y k=0.5, entonces ARL 2*k/σ =ARL 2*0,5/10 =ARL .1 =348,6502. A medida que mueve el control deslizante de h, verá que disminuir h disminuye el ARL y aumentar h aumenta el ARL. Por el contrario, si mueve el control deslizante de k, encontrará que disminuir k aumenta el ARL y aumentar k disminuye el ARL. Puede jugar con estos controles deslizantes h y k para determinar cómo la modificación de estos valores juntos afecta la ARL.
Conclusión
ARL se puede utilizar para ver el rendimiento de un gráfico de control en particular o para comparar el rendimiento de diferentes gráficos de control. Si el cambio es pequeño (menos de 2,5*σ), un gráfico CUSUM detectará el cambio antes que un gráfico de control de Shewhart. Si el cambio es mayor (más de 2,5*σ), un gráfico de Shewhart detectará el cambio antes que un gráfico CUSUM.
Esta es la función de distribución normal.Puede ejecutar lo siguiente en JMP para ver.
distribución normal (3-.60204) -distribución normal (-3-.60204)
Esto produce
0.991598802362608
@AnnieDudley ¡Muchas gracias por tu ayuda!
¿Puedes decirme cuál es la función que se utiliza como φ cuando calculamos las apuestas?
Intenté calcular lo siguiente en Excel pero al usar la función phi el resultado no es el mismo.
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
Muchas gracias de antemano.
Generalmente, el objetivo o µ está definido por sus datos específicos. JMP utiliza de forma predeterminada la media muestral como una estimación de µ; sin embargo, si tiene más información sobre un valor "ideal" para el objetivo, puede cambiarlo en consecuencia.
Es este valor, sumado junto con el desplazamiento (k) lo que se resta de cada punto individual para formar la suma acumulativa de las diferencias.
