내 동료에게서 CUSUM 관리도에 대해 배웠습니다. @AnnieDudley 님의 게시물 “ 관리도에서 작은 변화를 감지하는 방법 .” CUSUM 관리도는 IMR(개별 및 이동 범위) 차트보다 작은 변화를 더 잘 감지하는 것으로 나타났습니다. 작은 변화를 탐지하는 데 있어서 CUSUM 차트가 IMR 차트보다 얼마나 더 낫습니까? 작은 변화로 간주되는 것은 무엇입니까? 즉, CUSUM 차트는 IMR 차트와 비교하여 어떻게 수행됩니까?
이것이 가설 검정이라면 α(유형 I) 및 β(유형 II) 오류를 측정할 수 있습니다. 관리도는 일련의 표본별 가설 검정이므로 관리도에는 이 방법을 사용할 수 없습니다. 가설 검정에 사용되는 전통적인 α 및 β 오류 대신 ARL(평균 실행 길이)은 일반적으로 관리도의 성능을 측정하는 데 사용됩니다.
실행 길이는 신호(관리 한계를 넘어서는 지점)가 있기 전에 채취된 샘플(하위 그룹)의 수입니다. 왼쪽 이미지에서는 점이 관리 상한을 벗어나기 전에 4개의 샘플을 채취했기 때문에 실행 길이는 4입니다. 실행 길이는 정수 값만 취할 수 있는 확률 변수입니다. 성능을 측정하려면 기대값이나 평균 실행 길이를 사용해야 합니다. ARL(평균 실행 길이)은 실행 길이의 예상 값, 즉 관리 차트가 처음 신호를 보낼 때까지 예상되는 하위 그룹 수입니다.
문헌에서 논의된 두 가지 유형의 ARL에 대해 듣게 됩니다. 0 ) 및 통제 불능 ARL(ARL) Δ ). ARL 0 공정이 관리 상태에 있을 때 관리 차트에서 신호가 나타날 때까지 예상되는 샘플 수입니다. 이를 허위 경보를 보내는 것으로 생각할 수도 있습니다. 프로세스가 제어 상태(대상)에 있으므로 ARL이 필요합니다. 0 가능한 한 크게. ARL Δ 공정이 관리 범위를 벗어났을 때(평균이 이동한 경우) 관리 차트에서 신호를 보낼 때까지 예상되는 샘플 수입니다. 당신은 ARL을 원합니다 Δ 가능한 한 작아야합니다. 프로세스가 만족스럽지 못한 수준으로 바뀌었다면, 이에 대해 더 늦기보다는 빨리 알아보고 싶을 것입니다.
ARL은 어떻게 계산하나요?
에서 사용된 예를 고려해 봅시다. 애니의 블로그 게시물 . 이 예에서는 자동차 엔진 온도 조절 장치의 데이터를 조사했습니다. 엔진은 [90°C, 110°C]의 온도 범위에서 작동하도록 설계되었습니다. 먼저 테스트 1만 사용하여 그녀의 게시물에 사용된 IMR 차트를 살펴보겠습니다. 실행 규칙을 추가하면 잘못된 경고 확률을 결정하는 것이 더 어려워지기 때문에 테스트 1만 고려하고 있습니다. 실행 규칙을 사용하면 주어진 관측치에서 잘못된 경보가 발생할 확률은 이전 관측치의 값에 따라 달라집니다. 이는 α 값이 일정하지 않음을 의미합니다.
인컨트롤 ARL(ARL 0 )
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
일반적인 3-시그마 한계가 있는 Shewhart 차트의 경우 α=0.0027은 공정이 관리 상태에 있을 때 단일 점이 관리 한계를 벗어날 확률입니다. 따라서 ARL은 0 1/0.0027≒370입니다. 프로세스가 제어 상태에 있는 경우 평균적으로 370개 샘플마다 신호가 제공됩니다.
제어 불능 ARL(ARL Δ )
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
비록 ARL 0 우리가 원하는 만큼 크다, ARL Δ 크기도 커서 우리가 원하지 않았습니다. 평균이 104에서 110으로 이동했을 때 신호를 보내는 데 평균 119개의 샘플이 필요합니다.
누적 ARL
불행하게도 누적합[CUSUM] 차트에 대한 ARL 계산은 그렇게 간단하지 않습니다. 표시된 점은 누적 편차이므로 독립적이지 않습니다. 교과서에서 ARL 계산 표를 찾을 수 있습니다. 우리에게는 행운입니다. JMP 이러한 계산을 수행할 수 있습니다. CUSUM 관리도 - Y 옆에 있는 빨간색 삼각형을 클릭하고 "ARL 표시"를 선택합니다.
제어 가능한 ARL: ARL을 살펴보겠습니다. 0 =465.44, 이는 양호합니다(IMR 차트보다 훨씬 높음). 프로세스가 제어 상태에 있으면 평균 465개 샘플마다 신호를 얻을 것으로 예상됩니다. 이제 통제 불능 ARL: ARL을 살펴보겠습니다. Δ =10.38. 이 숫자는 낮습니다. 이는 좋은 것입니다(ARL보다 훨씬 낮음). Δ IMR 차트의 경우). 공정 평균이 10°C만큼 이동한 경우 평균적으로 10개 샘플마다 신호를 얻을 것으로 예상됩니다.
아래 표는 k=0.5 및 h=5(JMP 기본값)인 Shewhart 관리도와 CUSUM 차트의 ARL 성능을 보여줍니다.
교대, 배수 σ
|
슈와트 ARL
|
누적 ARL
|
0
|
370
|
465
|
0.25
|
281
|
139
|
0.5
|
155
|
38
|
0.75
|
81.83
|
17
|
1
|
43.96
|
10.4
|
1.5
|
15.97
|
5.75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
삼
|
2
|
2.57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1.69
|
CUSUM 차트는 이동이 2.5*σ보다 작을 때 Shewhart 차트보다 더 빨리 이동을 감지한다는 것을 알 수 있습니다. 2.5*σ보다 큰 이동의 경우 Shewhart 차트가 이동을 더 빨리 감지합니다.
h와 k가 ARL에 미치는 영향
JMP 또한 멋진 ARL 프로파일러도 제공합니다. CUSUM 관리도 – Y 옆의 빨간색 삼각형 아래에서 이 옵션을 찾을 수 있습니다.
ARL 프로파일러, 양면
이 그래프는 h=5이고 k=0.5일 때 ARL이 2*k/σ =ARL 2*0.5/10 =ARL .1 =348.6502. h에 대한 슬라이더를 움직이면 h를 줄이면 ARL이 감소하고 h를 늘리면 ARL이 증가하는 것을 볼 수 있습니다. 반대로, k에 대한 슬라이더를 움직이면 k가 감소하면 ARL이 증가하고 k를 증가시키면 ARL이 감소한다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 h 및 k 슬라이더를 사용하여 이러한 값을 함께 변경하면 ARL에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있습니다.
결론
ARL은 특정 관리도의 성능을 보거나 다양한 관리도의 성능을 비교하는 데 사용할 수 있습니다. 이동이 작은 경우(2.5*σ 미만) CUSUM 차트는 Shewhart 관리도보다 먼저 이동을 감지합니다. 이동이 더 큰 경우(2.5*σ 이상) Shewhart 차트는 CUSUM 차트보다 더 빨리 이동을 감지합니다.
이것이 정규분포함수이다.JMP에서 다음을 실행하여 확인할 수 있습니다.
정규분포(3-.60204)-정규분포(-3-.60204)
이는 다음과 같은 결과를 낳습니다
0.991598802362608
@AnnieDudley 도와 주셔서 정말 감사합니다!
베팅을 계산할 때 ψ로 사용되는 함수가 무엇인지 알려주실 수 있나요?
Excel에서 다음을 계산하려고 시도했지만 phi 함수를 사용하면 결과가 동일하지 않습니다.
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
사전에 정말 감사드립니다.
일반적으로 대상 또는 µ는 특정 데이터에 의해 정의됩니다. JMP에서는 기본적으로 표본 평균을 µ 추정치로 설정하지만, 목표의 "이상적인" 값에 대한 추가 정보가 있는 경우 그에 따라 변경할 수 있습니다.
차이의 누적 합계를 형성하기 위해 각 개별 지점에서 빼는 이동(k)과 함께 합산된 이 값입니다.
안녕하세요,
k를 계산하려고 할 때 문제가 있습니다. µ1에 어떤 숫자를 사용해야 하는지 모르겠습니다.
도와주세요?
