あなたは私の同僚から CUSUM 管理図について学びました@アニー・ダドリーさんの投稿「管理図の小さな変化を検出する方法」 CUSUM 管理図は、IMR (個別および移動範囲) 管理図よりも小さな変化の検出に優れていることがわかりました。 CUSUM チャートは、小さな変化の検出において IMR チャートよりどの程度優れていますか? 小規模なシフトとは何ですか? 言い換えると、IMR チャートと比較して CUSUM チャートのパフォーマンスはどうなのでしょうか?
これが仮説検定であれば、α (タイプ I) と β (タイプ II) の誤差を測定できます。 管理図はサンプルごとの一連の仮説検定であるため、この方法は管理図には使用できません。 仮説検定に使用される従来の α 誤差と β 誤差の代わりに、管理図のパフォーマンスを測定するために通常は平均実行長 (ARL) が使用されます。
ランレングスは、信号 (管理限界を超える点) が存在する前に取得されるサンプル (サブグループ) の数です。 左側の画像では、点が管理上限を超える前に 4 つのサンプルが採取されたため、ランレングスは 4 です。 ランレングスは、整数値のみを取ることができる確率変数です。 パフォーマンスを測定するには、期待値または平均実行長を使用する必要があります。 ARL (平均ランレングス) はランレングスの期待値、つまり、管理図が最初に信号を送信するまでのサブグループの期待数です。
文献では 2 つのタイプの ARL について説明されています。インコントロール ARL (ARL) 0 ) および制御不能な ARL (ARL Δ ）。 ARL 0プロセスが制御されている場合に、管理図がシグナルを発するまでに予想されるサンプル数です。 これは、誤ったアラームを送信すると考えることもできます。 プロセスが制御されている (目標どおり) ため、ARL が必要です0できるだけ大きくなるように。 ARL Δプロセスが制御不能になった (平均がシフトした) 場合に、管理図がシグナルを発するまでに予想されるサンプル数です。 ARLを希望しますΔできるだけ小さくすること。 プロセスが満足できないレベルに移行した場合は、遅かれ早かれそれについて知りたいと思うでしょう。
ARLはどのように計算しますか?
で使用されている例を考えてみましょうアニーのブログ投稿。 この例では、車のエンジンのサーモスタットからのデータを調べました。 エンジンは [90°C、110°C] の温度範囲で動作するように設計されています。 まず、彼女の投稿で使用された、テスト 1 のみを使用した IMR チャートを見てみましょう。 実行ルールの追加により誤警報確率の決定がより困難になるため、テスト 1 のみを検討します。 実行ルールでは、特定の観測値での誤警報の確率は、前の観測値に依存します。 これは、αの値が一定ではないことを意味します。
インコントロール ARL (ARL) 0 )
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
通常の 3 シグマ限界を持つシューハート管理図の場合、α=0.0027 は、プロセスが制御されているときに 1 つの点が管理限界の外に入る確率です。 したがって、ARL 0は 1/0.0027 ≒ 370 です。 プロセスが制御されている場合、平均して 370 サンプルごとに信号が送信されます。
制御不能な ARL (ARL) Δ ）
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
ARLですが0希望どおり大きいです、ARL Δサイズも大きいですが、これは望ましくありませんでした。 平均値が 104 から 110 に変化したことを通知するには、平均して 119 個のサンプルが必要になります。
カスタム ARL
残念ながら、CUSUM チャートの ARL 計算はそれほど単純ではありません。 プロットされた点は累積偏差であるため、独立していません。 ARL 計算の表は教科書にあります。 私たちにとって幸運なことに、 JMPこれらの計算を自動的に実行できます。 「CUSUM管理図 – Y」の横にある赤い三角をクリックし、「ARLを表示」を選択します。
インコントロール ARL を見てみましょう: ARL 0 =465.44、これは良好です (IMR チャートよりもさらに高い)。 プロセスが制御されている場合、平均して 465 サンプルごとにシグナルを取得できることが期待されます。 次に、制御不能な ARL を見てみましょう: ARL Δ =10.38。 この数値は低く、これは良いことです (ARL よりもはるかに低い) Δ IMRチャートの場合）。 プロセス平均が 10°C シフトした場合、平均して 10 サンプルごとにシグナルが得られることが期待されます。
以下の表は、k=0.5 および h=5 (JMP のデフォルト) でのシューハート管理図と CUSUM 管理図の ARL パフォーマンスを示しています。
シフト（倍数） σ
|
シューハート ARL
|
カスム・アール
|
0
|
370
|
465
|
0.25
|
281
|
139
|
0.5
|
155
|
38
|
0.75
|
81.83
|
17
|
1
|
43.96
|
10.4
|
1.5
|
15.97
|
5.75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2.57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1.69
|
シフトが 2.5*σ 未満の場合、CUSUM チャートはシューハート チャートよりも早くシフトを検出することがわかります。 2.5*σ より大きいシフトの場合、シューハート チャートはシフトをより早く検出します。
h と k が ARL に与える影響
JMP優れた ARL Profiler も提供します。 このオプションは、CUSUM 管理図 – Y の横の赤い三角形の下にあります。
ARL プロファイラー、両面
このグラフは、h=5 および k=0.5 の場合、ARL が2*k/σ =ARL 2*0.5/10 =ARL .1 =348.6502。 h のスライダーを動かすと、h を減らすと ARL が減少し、h を増やすと ARL が増加することがわかります。 逆に、k のスライダーを動かすと、k を減らすと ARL が増加し、k を増やすと ARL が減少することがわかります。 これらの h および k スライダーを操作して、これらの値を一緒に変更することが ARL にどのような影響を与えるかを決定できます。
結論
ARL を使用すると、特定の管理図のパフォーマンスを表示したり、さまざまな管理図のパフォーマンスを比較したりできます。 シフトが小さい場合 (2.5*σ 未満)、CUSUM 管理図はシューハート管理図よりも前にシフトを検出します。 シフトが大きい場合 (2.5*σ 以上)、シューハート チャートは CUSUM チャートよりも早くシフトを検出します。
これが正規分布関数です。JMP で次のコマンドを実行して確認できます。
正規分布(3-.60204)-正規分布(-3-.60204)
これにより、
0.991598802362608
@アニー・ダドリー手伝ってくれてどうもありがとう！
賭け金を計算するときに φ として使用される関数を教えてください。
Excelで以下を計算しようとしましたが、phi関数を使用すると結果は同じではありません。
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
どうぞよろしくお願いいたします。
一般的に、ターゲットまたはμ は特定のデータによって定義されます。 JMP では、μ の推定値としてサンプル平均がデフォルトで使用されますが、ターゲットの「理想的な」値に関する詳細情報があれば、それに応じて変更できます。
この値とシフト (k) を合計し、個々の点から減算して差の累積和を形成します。
こんにちは、
kを計算しようとしているときに問題が発生しました。μ1にどの数値を使用すればよいのかわかりません。
手伝ってもらえますか？
