Hai appreso delle carte di controllo CUSUM dal mio collega @AnnieDudley il post di " Come rilevare piccoli spostamenti nelle carte di controllo .” Abbiamo visto che la carta di controllo CUSUM era migliore nel rilevare piccoli spostamenti rispetto alla carta IMR (Individual and Moving Range). Quanto è migliore il grafico CUSUM rispetto al grafico IMR nel rilevare piccoli spostamenti? Cosa è considerato un piccolo spostamento? In altre parole, come si comporta il grafico CUSUM rispetto al grafico IMR?
Se questo fosse un test di ipotesi, potremmo misurare l’errore α (Tipo I) e β (Tipo II). Questo metodo non può essere utilizzato per le carte di controllo perché le carte di controllo sono una serie di test di ipotesi campione per campione. Invece del tradizionale errore α e β utilizzato per i test di ipotesi, la lunghezza media della sequenza (ARL) viene generalmente utilizzata per misurare le prestazioni delle carte di controllo.
La lunghezza della corsa è il numero di campioni (sottogruppi) prelevati prima che si verifichi un segnale (punto oltre i limiti di controllo). Nell'immagine a sinistra, la lunghezza della corsa è quattro perché sono stati prelevati quattro campioni prima che un punto superasse il limite di controllo superiore. La lunghezza della sequenza è una variabile casuale che può assumere solo valori interi. Dobbiamo utilizzare il valore previsto o la durata media della corsa per misurare le prestazioni. ARL (Average Run Length) è il valore atteso della lunghezza dell'esecuzione, ovvero il numero previsto di sottogruppi fino al primo segnale di una carta di controllo.
Sentirai parlare di due tipi di ARL discussi in letteratura: ARL in controllo (ARL 0 ) e ARL fuori controllo (ARL Δ ). ARL 0 è il numero previsto di campioni fino al segnale di una carta di controllo, dato che il processo è sotto controllo. Puoi anche pensare a questo come all'invio di un falso allarme. Poiché il processo ha il controllo (sul target), vuoi ARL 0 essere il più grande possibile. ARL Δ è il numero previsto di campioni fino al segnale di una carta di controllo, dato che il processo è fuori controllo (la media si è spostata). Ti piacerebbe per ARL Δ essere il più piccolo possibile. Se il processo è passato a un livello insoddisfacente, vuoi scoprirlo il prima possibile.
Come si calcola l'ARL?
Consideriamo l'esempio utilizzato in Il post sul blog di Annie . In questo esempio sono stati esaminati i dati del termostato del motore di un'auto. Il motore è stato progettato per funzionare in un intervallo di temperature di [90° C, 110° C]. Per prima cosa diamo un'occhiata al grafico IMR utilizzato nel suo post, utilizzando solo il Test 1. Stiamo considerando solo il Test 1 perché l'aggiunta delle regole di esecuzione rende più difficile la determinazione della probabilità di un falso allarme. Con le regole di esecuzione, la probabilità di un falso allarme per una determinata osservazione dipende dai valori dell'osservazione precedente. Ciò significa che il valore di α non è costante.
ARL sotto controllo (ARL 0 )
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
Per qualsiasi grafico di Shewhart con i consueti limiti 3-sigma, α=0,0027 è la probabilità che un singolo punto cada al di fuori dei limiti di controllo quando il processo è sotto controllo. Pertanto, l'ARL 0 è 1/0,0027≈370. Se il processo è sotto controllo, verrà fornito un segnale in media ogni 370 campioni.
ARL fuori controllo (ARL Δ )
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
Sebbene l'ARL 0 è grande come desideravamo, ARL Δ è anche grande, cosa che non volevamo. In media, occorrerebbero 119 campioni per segnalare quando la media è passata da 104 a 110.
ARL CUSUM
Sfortunatamente, i calcoli ARL per i grafici CUSUM non sono così semplici. I punti tracciati sono deviazioni cumulative e pertanto non sono indipendenti. Puoi trovare tabelle di calcoli ARL nei libri di testo. Per nostra fortuna, JMP può eseguire questi calcoli per te. Fai clic sul triangolo rosso accanto a CUSUM Control Chart – Y e seleziona "Mostra ARL".
Diamo un'occhiata all'ARL sotto controllo: ARL 0 =465,44, che è buono (anche superiore al grafico IMR). Se il processo è sotto controllo, prevediamo di ricevere in media un segnale ogni 465 campioni. Ora diamo un'occhiata all'ARL fuori controllo: ARL Δ =10,38. Questo numero è basso, il che è positivo (molto inferiore all'ARL Δ per il grafico IMR). Se la media del processo si è spostata di 10° C, aspettatevi di ricevere in media un segnale ogni 10 campioni.
La tabella seguente illustra le prestazioni ARL di un grafico di controllo Shewhart e del grafico CUSUM con k=0,5 e h=5 (valori predefiniti di JMP).
Shift, in multipli di σ
|
Shewhart ARL
|
CUSUM ARL
|
0
|
370
|
465
|
0,25
|
281
|
139
|
0,5
|
155
|
38
|
0,75
|
81.83
|
17
|
1
|
43,96
|
10.4
|
1.5
|
15.97
|
5,75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2.57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1,69
|
Puoi vedere che il grafico CUSUM rileverà uno spostamento prima rispetto ai grafici Shewhart quando lo spostamento è inferiore a 2,5*σ. Per spostamenti maggiori di 2,5*σ, un grafico di Shewhart rileverà lo spostamento prima.
Come h e k influenzano l'ARL
JMP fornisce anche un elegante ARL Profiler. Puoi trovare questa opzione sotto il triangolo rosso accanto a CUSUM Control Chart – Y.
Profilo ARL, fronte-retro
Questo grafico ci dice che quando h=5 e k=0,5, allora ARL 2*k/σ =ARL 2*0,5/10 =ARL .1 =348.6502. Mentre muovi il cursore per h, vedi che diminuendo h diminuisce l'ARL e aumentando h aumenta l'ARL. Al contrario, se si sposta il cursore per k, si scopre che diminuendo k si aumenta l'ARL e aumentando k si diminuisce l'ARL. Puoi giocare con questi cursori h e k per determinare in che modo la modifica congiunta di questi valori influisce sull'ARL.
Conclusione
L'ARL può essere utilizzato per visualizzare le prestazioni di una particolare carta di controllo o per confrontare le prestazioni di diverse carte di controllo. Se lo spostamento è piccolo (meno di 2,5*σ), una carta CUSUM rileverà lo spostamento prima di una carta di controllo Shewhart. Se lo spostamento è maggiore (più di 2,5*σ), un grafico Shewhart rileverà lo spostamento prima di un grafico CUSUM.
Questa è la funzione di distribuzione normale.È possibile eseguire quanto segue in JMP per vedere.
distribuzione normale(3-.60204)-distribuzione normale(-3-.60204)
Questo produce
0.991598802362608
@AnnieDudley Grazie mille per il vostro aiuto!
Potete dirmi qual è la funzione utilizzata come φ quando calcoliamo le scommesse?
Ho provato a calcolare quanto segue in Excel ma usando la funzione phi il risultato non è lo stesso.
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
Grazie mille in anticipo.
In generale, l'obiettivo o µ è definito dai tuoi dati specifici. Per impostazione predefinita, JMP utilizza la media campionaria come stima di µ, tuttavia, se si dispone di ulteriori informazioni su un valore "ideale" per il target, è possibile modificarlo di conseguenza.
È questo valore, sommato allo spostamento (k) che viene sottratto da ogni singolo punto per formare la somma cumulativa delle differenze.
