Sie haben von meinem Kollegen etwas über CUSUM-Kontrollkarten erfahren @AnnieDudley 's Beitrag „ So erkennen Sie kleine Verschiebungen in Regelkarten .“ Wir haben gesehen, dass die CUSUM-Kontrollkarte kleine Verschiebungen besser erkennen konnte als die IMR-Karte (Individual and Moving Range). Wie viel besser ist die CUSUM-Karte bei der Erkennung kleiner Verschiebungen als die IMR-Karte? Was gilt als kleine Schicht? Mit anderen Worten: Wie schneidet das CUSUM-Diagramm im Vergleich zum IMR-Diagramm ab?
Wenn dies ein Hypothesentest wäre, könnten wir den α- (Typ I) und β- (Typ II) Fehler messen. Diese Methode kann nicht für Kontrolldiagramme verwendet werden, da es sich bei Kontrolldiagrammen um eine Reihe von stichprobenweisen Hypothesentests handelt. Anstelle des herkömmlichen α- und β-Fehlers, der für Hypothesentests verwendet wird, wird normalerweise die durchschnittliche Lauflänge (ARL) zur Messung der Leistung von Kontrolldiagrammen verwendet.
Die Lauflänge ist die Anzahl der Proben (Untergruppen), die entnommen werden, bevor ein Signal auftritt (Punkt jenseits der Kontrollgrenzen). Im Bild links beträgt die Lauflänge vier, da vier Proben entnommen wurden, bevor ein Punkt die obere Kontrollgrenze überschritt. Die Lauflänge ist eine Zufallsvariable, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Wir müssen den erwarteten Wert oder die durchschnittliche Lauflänge verwenden, um die Leistung zu messen. ARL (durchschnittliche Lauflänge) ist der erwartete Wert der Lauflänge, dh die erwartete Anzahl von Untergruppen, bis ein Kontrolldiagramm zum ersten Mal Signale sendet.
Sie werden von zwei Arten von ARL hören, die in der Literatur diskutiert werden: ARL unter Kontrolle (ARL 0 ) und außer Kontrolle geratene ARL (ARL Δ ). ARL 0 ist die erwartete Anzahl von Proben, bis ein Kontrolldiagramm ein Signal liefert, vorausgesetzt, dass der Prozess unter Kontrolle ist. Man kann sich das auch so vorstellen, als würde man einen Fehlalarm senden. Da der Prozess unter Kontrolle ist (im Ziel), benötigen Sie ARL 0 möglichst groß sein. ARL Δ ist die erwartete Anzahl von Stichproben, bis ein Kontrolldiagramm ein Signal gibt, vorausgesetzt, der Prozess ist außer Kontrolle (der Mittelwert hat sich verschoben). Sie möchten für ARL Δ so klein wie möglich sein. Wenn sich der Prozess auf ein unbefriedigendes Niveau verschoben hat, möchten Sie dies lieber früher als später erfahren.
Wie berechnet man den ARL?
Betrachten wir das Beispiel aus Annies Blogbeitrag . In diesem Beispiel wurden Daten von einem Automotorthermostat untersucht. Der Motor wurde für den Betrieb in einem Temperaturbereich von [90 °C bis 110 °C] ausgelegt. Schauen wir uns zunächst das IMR-Diagramm an, das in ihrem Beitrag verwendet wurde, und verwenden dabei nur Test 1. Wir betrachten nur Test 1, da die Hinzufügung von Laufregeln die Bestimmung einer Fehlalarmwahrscheinlichkeit schwieriger macht. Bei Laufregeln hängt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms bei einer bestimmten Beobachtung von den Werten der vorherigen Beobachtung ab. Das bedeutet, dass der Wert von α nicht konstant ist.
In-Control ARL (ARL 0 )
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
Für jedes Shewhart-Diagramm mit den üblichen 3-Sigma-Grenzen ist α=0,0027 die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Punkt außerhalb der Kontrollgrenzen liegt, wenn der Prozess unter Kontrolle ist. Daher die ARL 0 ist 1/0,0027≈370. Wenn der Prozess unter Kontrolle ist, wird im Durchschnitt alle 370 Proben ein Signal ausgegeben.
Außer Kontrolle geratene ARL (ARL Δ )
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
Obwohl ARL 0 ist groß wie wir es uns gewünscht haben, ARL Δ ist auch groß, was wir nicht wollten. Im Durchschnitt wären 119 Stichproben nötig, um zu signalisieren, wann sich der Mittelwert von 104 auf 110 verschoben hat.
CUSUM ARLs
Leider sind die ARL-Berechnungen für CUSUM-Diagramme nicht so einfach. Die eingezeichneten Punkte sind kumulative Abweichungen und daher nicht unabhängig. Tabellen zu ARL-Berechnungen finden Sie in Lehrbüchern. Zum Glück für uns, JMP kann diese Berechnungen für Sie durchführen. Klicken Sie auf das rote Dreieck neben CUSUM Control Chart – Y und wählen Sie „ARL anzeigen“.
Werfen wir einen Blick auf die kontrollierte ARL: ARL 0 =465,44, was gut ist (sogar höher als das IMR-Diagramm). Wenn der Prozess unter Kontrolle ist, erwarten wir im Durchschnitt alle 465 Proben ein Signal. Schauen wir uns nun die außer Kontrolle geratene ARL an: ARL Δ =10,38. Diese Zahl ist niedrig, was gut ist (viel niedriger als der ARL). Δ für das IMR-Diagramm). Wenn sich der Prozessmittelwert um 10 °C verschoben hat, können Sie damit rechnen, dass Sie im Durchschnitt alle 10 Proben ein Signal erhalten.
Die folgende Tabelle veranschaulicht die ARL-Leistung einer Shewhart-Regelkarte und der CUSUM-Karte mit k=0,5 und h=5 (Standardeinstellungen von JMP).
Verschiebung, in Vielfachen von σ
|
Shewhart ARL
|
CUSUM ARL
|
0
|
370
|
465
|
0,25
|
281
|
139
|
0,5
|
155
|
38
|
0,75
|
81,83
|
17
|
1
|
43,96
|
10.4
|
1.5
|
15.97
|
5,75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2,57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1,69
|
Wie Sie sehen, erkennt das CUSUM-Diagramm eine Verschiebung früher als Shewhart-Diagramme, wenn die Verschiebung weniger als 2,5*σ beträgt. Bei Verschiebungen von mehr als 2,5*σ erkennt ein Shewhart-Diagramm die Verschiebung früher.
Wie sich h und k auf die ARL auswirken
JMP bietet außerdem einen praktischen ARL-Profiler. Sie finden diese Option unter dem roten Dreieck neben CUSUM Control Chart – Y.
ARL Profiler, zweiseitig
Dieser Graph zeigt uns, dass ARL gilt, wenn h=5 und k=0,5 2*k/σ =ARL 2*0,5/10 =ARL .1 =348,6502. Wenn Sie den Schieberegler für h bewegen, sehen Sie, dass eine Verringerung von h den ARL verringert und eine Erhöhung von h den ARL erhöht. Wenn Sie umgekehrt den Schieberegler für k bewegen, stellen Sie fest, dass eine Verringerung von k den ARL erhöht und eine Erhöhung von k ihn verringert. Sie können mit diesen h- und k-Schiebereglern experimentieren, um zu bestimmen, wie sich die gemeinsame Änderung dieser Werte auf den ARL auswirkt.
Abschluss
ARL kann verwendet werden, um die Leistung einer bestimmten Regelkarte anzuzeigen oder die Leistung verschiedener Regelkarten zu vergleichen. Wenn die Verschiebung gering ist (weniger als 2,5*σ), erkennt ein CUSUM-Diagramm die Verschiebung vor einem Shewhart-Kontrolldiagramm. Wenn die Verschiebung größer ist (mehr als 2,5*σ), erkennt ein Shewhart-Diagramm die Verschiebung früher als ein CUSUM-Diagramm.
@AnnieDudley vielen Dank für deine Hilfe!
Können Sie mir sagen, welche Funktion als φ verwendet wird, wenn wir Wetten berechnen?
Ich habe versucht, Folgendes in Excel zu berechnen, aber mit der Phi-Funktion ist das Ergebnis nicht dasselbe.
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
Vielen Dank im Voraus.
Im Allgemeinen ist das Ziel bzw µ wird durch Ihre spezifischen Daten definiert. JMP verwendet standardmäßig den Stichprobenmittelwert als Schätzung von µ. Wenn Sie jedoch weitere Informationen über einen „idealen“ Wert für das Ziel haben, können Sie ihn entsprechend ändern.
Dieser Wert wird zusammen mit der Verschiebung (k) von jedem einzelnen Punkt subtrahiert, um die kumulative Summe der Differenzen zu bilden.
