Vous avez entendu parler des cartes de contrôle CUSUM chez mon collègue @AnnieDudley le message de " Comment détecter de petits changements dans les cartes de contrôle .» Nous avons vu que la carte de contrôle CUSUM était plus efficace pour détecter les petits changements que la carte IMR (Individual and Moving Range). Dans quelle mesure la carte CUSUM est-elle meilleure que la carte IMR pour détecter de petits changements ? Qu’est-ce qui est considéré comme un petit changement ? En d’autres termes, quel est le rendement de la carte CUSUM par rapport à la carte IMR ?
S'il s'agissait d'un test d'hypothèse, nous pourrions mesurer l'erreur α (Type I) et β (Type II). Cette méthode ne peut pas être utilisée pour les cartes de contrôle, car les cartes de contrôle sont une série de tests d'hypothèse échantillon par échantillon. Au lieu des erreurs α et β traditionnelles utilisées pour les tests d’hypothèses, la longueur moyenne d’exécution (ARL) est généralement utilisée pour mesurer les performances des cartes de contrôle.
La longueur d'analyse est le nombre d'échantillons (sous-groupes) prélevés avant l'apparition d'un signal (point au-delà des limites de contrôle). Dans l’image de gauche, la longueur d’exécution est de quatre car quatre échantillons ont été prélevés avant qu’un point ne dépasse la limite de contrôle supérieure. La longueur d'exécution est une variable aléatoire qui ne peut prendre que des valeurs entières. Nous devons utiliser la valeur attendue ou la longueur moyenne d'exécution pour mesurer les performances. ARL (Average RunLength) est la valeur attendue de la longueur de la série, c'est-à-dire le nombre attendu de sous-groupes jusqu'à ce qu'une carte de contrôle le signale pour la première fois.
Vous entendrez parler de deux types d'ARL abordés dans la littérature : l'ARL sous contrôle (ARL 0 ) et ARL hors de contrôle (ARL Δ ). ARL 0 est le nombre attendu d'échantillons jusqu'à ce qu'une carte de contrôle signale, étant donné que le processus est sous contrôle. Vous pouvez également considérer cela comme l’envoi d’une fausse alerte. Puisque le processus est sous contrôle (sur la cible), vous voulez qu'ARL 0 être le plus grand possible. ARL Δ est le nombre attendu d'échantillons jusqu'à ce qu'une carte de contrôle le signale, étant donné que le processus est hors de contrôle (la moyenne s'est décalée). Vous souhaitez pour ARL Δ être le plus petit possible. Si le processus est passé à un niveau insatisfaisant, vous souhaitez en être informé le plus tôt possible.
Comment calcule-t-on l’ARL ?
Considérons l'exemple utilisé dans Le billet de blog d'Annie . Cet exemple a examiné les données d'un thermostat de moteur de voiture. Le moteur a été conçu pour fonctionner dans une plage de températures de [90° C, 110° C]. Examinons d'abord le graphique IMR utilisé dans son message, en utilisant uniquement le test 1. Nous considérons uniquement le test 1 car l’ajout de règles d’exécution rend plus difficile la détermination d’une probabilité de fausse alarme. Avec les règles d'exécution, la probabilité d'une fausse alarme pour une observation donnée dépend des valeurs de l'observation précédente. Cela signifie que la valeur de α n’est pas constante.
ARL sous contrôle (ARL 0 )
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
Pour tout graphique de Shewhart avec les limites habituelles de 3 sigma, α = 0,0027 est la probabilité qu'un seul point tombe en dehors des limites de contrôle lorsque le processus est sous contrôle. Par conséquent, l'ARL 0 est 1/0,0027≈370. Si le processus est maîtrisé, un signal sera émis tous les 370 échantillons en moyenne.
ARL hors de contrôle (ARL Δ )
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
Bien qu'ARL 0 est grand comme nous le souhaitions, ARL Δ est également grand, ce que nous ne voulions pas. En moyenne, il faudrait 119 échantillons pour signaler que la moyenne est passée de 104 à 110.
LARs CUSUM
Malheureusement, les calculs ARL pour les cartes CUSUM ne sont pas aussi simples. Les points tracés sont des écarts cumulés et ne sont donc pas indépendants. Vous pouvez trouver des tableaux de calculs ARL dans les manuels. Heureusement pour nous, JMP peut effectuer ces calculs pour vous. Cliquez sur le triangle rouge à côté de la carte de contrôle CUSUM – Y et choisissez « Afficher ARL ».
Jetons un coup d'œil à l'ARL sous contrôle : ARL 0 =465,44, ce qui est bien (encore plus élevé que le graphique IMR). Si le processus est maîtrisé, nous nous attendons à recevoir un signal tous les 465 échantillons en moyenne. Regardons maintenant l'ARL incontrôlable : ARL Δ =10,38. Ce nombre est faible, ce qui est bien (beaucoup inférieur à l'ARL Δ pour la carte IMR). Si la moyenne du processus s'est décalée de 10°C, attendez-vous à recevoir un signal tous les 10 échantillons en moyenne.
Le tableau ci-dessous illustre les performances ARL d'une carte de contrôle Shewhart et de la carte CUSUM avec k=0,5 et h=5 (valeurs par défaut de JMP).
Décalage, en multiples de σ
|
Shewhart ARL
|
CUSUM ARL
|
0
|
370
|
465
|
0,25
|
281
|
139
|
0,5
|
155
|
38
|
0,75
|
81,83
|
17
|
1
|
43,96
|
10.4
|
1,5
|
15.97
|
5,75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2,57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1,69
|
Vous pouvez voir que la carte CUSUM détectera un décalage plus tôt que les cartes Shewhart lorsque le décalage est inférieur à 2,5*σ. Pour les décalages supérieurs à 2,5*σ, une carte de Shewhart détectera le décalage plus tôt.
Comment h et k affectent l'ARL
JMP fournit également un astucieux profileur ARL. Vous pouvez trouver cette option sous le triangle rouge à côté de la carte de contrôle CUSUM – Y.
Profileur ARL, recto-verso
Ce graphique nous indique que lorsque h=5 et k=0,5, alors ARL 2*k/σ =ARL 2*0,5/10 =ARL .1 =348,6502. Lorsque vous déplacez le curseur de h, vous voyez que la diminution de h diminue l'ARL et l'augmentation de h augmente l'ARL. À l’inverse, si vous déplacez le curseur pour k, vous constatez que la diminution de k augmente l’ARL et l’augmentation de k diminue l’ARL. Vous pouvez jouer avec ces curseurs h et k pour déterminer comment la modification de ces valeurs affecte ensemble l'ARL.
Conclusion
ARL peut être utilisé pour visualiser les performances d'une carte de contrôle particulière ou pour comparer les performances de différentes cartes de contrôle. Si le décalage est faible (inférieur à 2,5*σ), une carte CUSUM détectera le décalage avant une carte de contrôle Shewhart. Si le décalage est plus important (plus de 2,5*σ), une carte de Shewhart détectera le décalage plus tôt qu'une carte CUSUM.
C'est la fonction de distribution normale.Vous pouvez exécuter ce qui suit dans JMP pour voir.
distribution normale (3-.60204)-distribution normale (-3-.60204)
Cela donne
0.991598802362608
@AnnieDudley je vous remercie beaucoup pour votre aide!
Pouvez-vous me dire quelle est la fonction utilisée comme φ lorsque nous calculons les paris ?
J'ai essayé de calculer ce qui suit dans Excel mais en utilisant la fonction phi, le résultat n'est pas le même.
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
Merci beaucoup d'avance.
Généralement, la cible ou µ est défini par vos données spécifiques. JMP utilise par défaut la moyenne de l'échantillon comme une estimation de µ. Cependant, si vous disposez de plus d'informations sur une valeur « idéale » pour la cible, vous pouvez la modifier en conséquence.
C'est cette valeur, additionnée au décalage (k) qui est soustraite de chaque point individuel pour former la somme cumulée des différences.
