您在我的同事那裡了解了 CUSUM 控製圖@安妮達德利的帖子“如何檢測控製圖中的微小變化”。我們發現 CUSUM 控製圖比 IMR（個體和移動極差）圖更能檢測小變化。 在檢測小變化方面，CUSUM 圖比 IMR 圖好多少？ 什麼被認為是小轉變？ 換句話說，CUSUM 圖與 IMR 圖相比表現如何？
如果這是一個假設檢驗，我們可以測量 α（I 型）和 β（II 型）誤差。 此方法不能用於控製圖，因為控製圖是一系列逐個樣本的假設檢驗。 平均遊程 (ARL) 通常用於衡量控製圖的性能，而不是用於假設檢驗的傳統 α 和 β 誤差。
遊程長度是在出現信號（超出控制限的點）之前採集的樣本（子組）數量。 在左圖中，遊程長度為 4，因為在某個點超出控制上限之前採集了四個樣本。 遊程長度是一個只能取整數值的隨機變量。 我們需要使用期望值或平均運行長度來衡量性能。 ARL（平均遊程長度）是遊程長度的預期值，即，直到控製圖首次發出信號之前的預期子組數量。
您將聽到文獻中討論的兩種類型的 ARL： 受控 ARL（ARL 0 ) 和失控 ARL (ARL Δ ）。 ARL 0是在控製圖發出信號之前的預期樣本數（假定過程處於受控狀態）。 您也可以將其視為發送誤報。 由於過程處於控制之中（達到目標），因此您需要 ARL 0盡可能大。 ARL Δ是在過程失控（均值發生變化）的情況下，在控製圖發出信號之前的預期樣本數。 您想要 ARL Δ盡可能小。 如果流程已達到令人不滿意的程度，您希望儘早了解它而不是稍後。
如何計算 ARL？
讓我們考慮一下中使用的示例安妮的博客文章。 此示例檢查了汽車發動機恆溫器的數據。 該發動機設計運行溫度範圍為 [90° C, 110° C]。 首先讓我們看一下她的帖子中使用的 IMR 圖，僅使用測試 1。 我們只考慮測試 1，因為添加運行規則使得誤報概率的確定更加困難。 對於運行規則，給定觀察的誤報概率取決於先前觀察的值。 這意味著α的值不是恆定的。
受控 ARL (ARL 0 ）
α=Pr[Shewhart control chart signals for a given sample | the process is in-control]
1-α=Pr[Shewhart control chart does not signal for a given sample | the process is in-control]
對於任何具有通常 3-sigma 限值的休哈特圖，α=0.0027 是過程受控時單個點落在控制限值之外的概率。 因此，ARL 0為 1/0.0027≈370。 如果過程受控，平均每 370 個樣本就會發出一個信號。
失控 ARL (ARL Δ ）
1-β=Pr[Shewhart control chart signals for a particular sample | the process is out-of-control]
β =Pr[Shewhart control chart does not signal for a particular sample | the process is out-of-control]
β=φ(zα/2-k)- φ(-zα/2-k)
With 3-sigma limits, zα/2=0.0027/2=3
k=|µ1- µ0|/σ0=|110-103.9632|/ 9.730≈.60204
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)=0.9916
ARLΔ=1/(1- β)=1/(1-.9916) ≈119
雖然ARL 0如我們所願大，ARL Δ也很大，這是我們不想要的。 平均而言，當均值從 104 變為 110 時，需要 119 個樣本才能發出信號。
累積和 ARL
不幸的是，CUSUM 圖的 ARL 計算並不那麼簡單。 繪製的點是累積偏差，因此不是獨立的。 您可以在教科書中找到 ARL 計算表。 對我們來說幸運的是，聯合管理計劃可以為您執行這些計算。 單擊 CUSUM 控製圖 - Y 旁邊的紅色三角形，然後選擇“顯示 ARL”。
我們來看看受控的ARL：ARL 0 =465.44，這很好（甚至高於 IMR 圖表）。 如果過程受控，我們預計平均每 465 個樣本就會收到一個信號。 現在讓我們看看失控的 ARL： ARL Δ =10.38。 這個數字很低，這很好（比 ARL 低得多） Δ對於 IMR 圖）。 如果過程均值偏移了 10°C，則預計平均每 10 個樣本會獲得一個信號。
下表說明了 Shewhart 控製圖和 k=0.5 且 h=5（JMP 默認值）的 CUSUM 圖的 ARL 性能。
平移，以倍數為單位σ
|
休哈特 ARL
|
累積和ARL
|
0
|
370
|
第465章
|
0.25
|
第281章
|
139
|
0.5
|
155
|
38
|
0.75
|
81.83
|
17 號
|
1
|
43.96
|
10.4
|
1.5
|
15.97
|
5.75
|
2
|
6.3
|
4.01
|
2.5
|
3.24
|
3.11
|
3
|
2
|
2.57
|
4
|
1.19
|
2.01
|
5
|
1.02
|
1.69
|
您可以看到，當偏移小於 2.5*σ 時，CUSUM 圖比 Shewhart 圖更快地檢測到偏移。 對於大於 2.5*σ 的偏移，休哈特圖會更快地檢測到偏移。
h 和 k 如何影響 ARL
聯合管理計劃還提供了一個漂亮的 ARL Profiler。 您可以在 CUSUM 控製圖 – Y 旁邊的紅色三角形下找到此選項。
ARL 輪廓儀，雙面
該圖告訴我們，當 h=5 且 k=0.5 時，則 ARL 2*k/σ =ARL 2*0.5/10 =ARL .1 =348.6502。 當您將滑塊移動 h 時，您會發現減少 h 會降低 ARL，增加 h 會增加 ARL。 相反，如果將滑塊移動 k 左右，您會發現減小 k 會增加 ARL，增加 k 會減小 ARL。 您可以使用這些 h 和 k 滑塊來確定一起更改這些值如何影響 ARL。
結論
ARL 可用於查看特定控製圖的性能或比較不同控製圖的性能。 如果偏移很小（小於 2.5*σ），CUSUM 圖將在 Shewhart 控製圖之前檢測到偏移。 如果偏移較大（超過 2.5*σ），休哈特圖將比 CUSUM 圖更快地檢測到偏移。
這就是正態分佈函數。您可以在JMP中運行以下命令來查看。
正態分佈(3-.60204)-正態分佈(-3-.60204)
這產生
0.991598802362608
@安妮達德利非常感謝你的幫助！
你能告訴我當我們計算賭注時用作 φ 的函數是什麼嗎？
我嘗試在 Excel 中計算以下內容，但使用 phi 函數結果不一樣。
β=φ(3-.60204)- φ(-3-.60204)
非常感謝您。
一般來說，目標或µ 由您的具體數據定義。 JMP 默認將樣本平均值作為 µ 的估計值，但是，如果您有有關目標“理想”值的更多信息，則可以相應地更改它。
正是這個值與從每個單獨的點中減去的偏移 (k) 相加，形成了差異的累積和。
你好，
我在嘗試計算 k 時遇到問題，我不明白該使用什麼數字來表示 µ1。
你能幫助我嗎？
