Introducción
Bienvenidos a la primera parte de nuestra serie de tres artículos sobre diseños de experimentos (DOE) que abarcan todo el espacio disponible. En una era donde el aprendizaje automático, la experimentación computacional y la simulación desempeñan un papel cada vez más importante en la investigación y el desarrollo, los enfoques tradicionales de diseño experimental a veces resultan insuficientes para explorar de manera eficiente espacios de factores complejos y continuos. Aquí es donde los diseños de experimentos que abarcan todo el espacio resultan excepcionales.
¿Qué son los diseños que llenan el espacio?
Los diseños de llenado de espacio son un tipo de diseño de experimentos (DOE) independiente del modelo que busca distribuir uniformemente los puntos de diseño en toda la región experimental, maximizando la distancia entre cualquier par de puntos y la cobertura del espacio de diseño con un número limitado de ejecuciones. El análisis de los resultados suele implicar el uso de modelos sencillos de aprendizaje automático (como procesos gaussianos, máquinas de vectores de soporte y bosques aleatorios) capaces de modelar y aproximar respuestas complejas y no lineales.
Los diseños de relleno espacial se utilizan originalmente para experimentos numéricos, en dominios donde los experimentos son imposibles, complejos, costosos o requieren mucho tiempo. Por lo tanto, los fenómenos se estudian a menudo mediante simulaciones numéricas, pero el tiempo de cálculo puede ser muy largo debido a la creciente complejidad y precisión de los modelos. Para evitar ejecutar simulaciones aleatorias y permitir una buena cobertura del espacio de simulación, se utilizan diseños de relleno espacial para distribuir uniformemente las ejecuciones computacionales en todo el espacio estudiado. Los diseños de relleno espacial generalmente no incluyen réplicas, ya que las simulaciones numéricas son deterministas y producen resultados idénticos para entradas idénticas, eliminando la necesidad de ejecuciones repetidas para estimar la variabilidad. Los diseños de relleno espacial se encuentran en diversas industrias, como la petrolera, la astronómica, la óptica, la nuclear, etc.
Gracias a los diseños que llenan el espacio y a los modelos de aprendizaje automático, se puede obtener rápidamente una aproximación precisa de los modelos de simulación (denominada «modelo sustituto» o metamodelado). Los modelos sustitutos se utilizan para representar y aproximar los resultados de modelos de simulación complejos y, en comparación con estos, son más sencillos, compactos y, por lo general, requieren menos recursos computacionales. Dado que los modelos sustitutos aproximan el comportamiento de sistemas más complejos, permiten explorar el espacio de diseño de un sistema complejo, comprenderlo mejor, optimizarlo y realizar simulaciones de validación en mucho menos tiempo.
Características clave
Los diseños que ocupan espacio ofrecen características clave en cuanto a la redistribución de puntos y su uso previsto:
- Distribución uniforme de los puntos en todo el espacio de diseño.
- No se hace ninguna suposición sobre la forma del modelo subyacente.
- Muy adecuado para fines predictivos en experimentos con bajo nivel de ruido y experimentos informáticos.
- Óptimo para respuestas complejas y no lineales.
¿Por qué elegir diseños que llenen el espacio en lugar de los diseños DOE clásicos?
Figura 1: Enfoques de diseño de experimentos
Limitaciones tradicionales del Departamento de Energía
- Presupone términos específicos del modelo (efectos principales, interacciones, efectos cuadráticos, etc.).
- Puede dejar grandes áreas del espacio de diseño sin explorar.
- Optimizado para objetivos estadísticos específicos (cribado y análisis cuantitativo mediante estimación de efectos, predicción mediante modelos de superficie de respuesta polinomiales).
Ventajas de aprovechar el espacio
- Exploración independiente del modelo.
- Mejor comprensión global y predicción del comportamiento de respuesta complejo.
- Ideal para simulaciones informáticas, metamodelado y modelado predictivo (aprendizaje automático).
Sin embargo, los diseños que llenan el espacio a menudo requieren un mayor número de puntos en comparación con los diseños de experimentos basados en modelos para obtener un modelo relevante y predictivo.
Descripción general de los tipos comunes de diseños para llenar espacios
La plataforma Space Filling Design ofrece múltiples tipos de diseño para diferentes situaciones con diversos tipos de factores. Para factores continuos, los diseños de llenado de espacio tienen dos objetivos:
- Maximizar la distancia entre dos puntos de diseño cualesquiera.
- Distribuye los puntos uniformemente.
Los diseños que llenan el espacio se pueden encontrar en JMP en DOE>Propósito especial>Diseño que llena el espacio (Figura 2).
Figura 2: Menú de diseño que ocupa todo el espacio
Las opciones de diseño para llenar el espacio incluyen empaquetamiento de esferas, hipercubo latino, uniforme, potencial mínimo, entropía máxima, IMSE óptimo de proceso gaussiano y llenado flexible rápido.
| Diseños |
Uniforme |
Empaquetamiento de esferas (Maximin) |
Hipercubo latino |
Relleno rápido y flexible |
| Fortalezas |
Excelente cobertura espacial, uniformidad matemáticamente óptima. |
Separación de puntos óptima |
Buenas proyecciones unidimensionales, fáciles de generar. |
Equilibrio entre la cobertura del espacio y las propiedades de proyección. |
| Debilidades |
Tiempo para calcular |
Propiedades de proyección deficientes |
Manejo sin restricciones |
Compromiso entre la cobertura del espacio y las propiedades de proyección. |
| Lo mejor para |
Exploración espacial precisa |
Espacios de factores continuos con respuestas ruidosas |
Cribado inicial, experimentos informáticos |
Tipos de factores mixtos, exploración equilibrada, manejo de restricciones |
| Tipo de factores |
Solo factores numéricos continuos |
Solo factores numéricos continuos |
Solo factores numéricos continuos |
Factores numéricos, categóricos y de mezcla continuos y discretos |
Para evaluar la eficacia con la que los puntos de diseño logran una cobertura homogénea del espacio de parámetros, la métrica de discrepancia compara su distribución con una distribución uniforme teórica.
¿Qué es una distribución uniforme?
Una distribución uniforme significa que existe la misma probabilidad entre todos los valores posibles dentro de un rango determinado.
En una distribución uniforme entre 0 y 1, cada valor tiene exactamente la misma probabilidad de ocurrir: no existen regiones ni grupos preferenciales. Gráficamente, esto se representa como una forma rectangular plana donde la densidad de probabilidad permanece constante (Figura 3).
Figura 3: Distribución uniforme aleatoria generada con 1000 puntos
Cuanto mayor sea el número de puntos, más fácil será aproximar una distribución uniforme.
En los diseños que llenan el espacio, la distribución uniforme garantiza que los puntos se coloquen con igual espaciamiento en todo el espacio de parámetros. Esto evita la agrupación en ciertas regiones, dejando otras sin explorar, lo que maximiza la cobertura de información con un mínimo de cálculos. El uso de esta distribución garantiza un muestreo imparcial: cada ubicación en el espacio de diseño tiene la misma probabilidad de ser seleccionada, lo que permite una exploración sistemática y eficiente del dominio del problema.
Tipos comunes de diseños para llenar espacios
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Diseños de uniformes
PrincipioEl principio básico consiste en crear un diseño donde la distribución de puntos de cada factor se ajuste lo más posible a una distribución uniforme. Esto crea un diseño que minimiza la diferencia entre los puntos de diseño (que tienen una distribución uniforme empírica) y una distribución uniforme teórica. Esta diferencia entre las distribuciones uniformes de diseño y teóricas se denomina discrepancia.
- Fortalezas: Excelente cobertura espacial, uniformidad matemáticamente óptima.
- Debilidad: Tiempo de cálculo.
- Lo mejor para: Exploración espacial precisa.
Figura 4: Representación de un diseño uniforme para dos factores con 20 ensayos.
Observe cómo la redistribución de puntos crea una distribución uniforme de puntos para cada factor.
Figura 5: Diagnóstico de diseño de uniforme.
La distancia mínima entre dos puntos vecinos es heterogénea. La discrepancia es baja y la métrica MaxPro (proyección máxima) es alta con este diseño.
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Diseños de empaquetamiento de esferas (también llamados diseños maximin)
PrincipioCrea un diseño que maximiza la distancia mínima entre pares de puntos de diseño. El efecto de esta maximización es dispersar los puntos lo máximo posible dentro de la región de diseño. Como explicación visual, esto representa el problema de apilar esferas del mismo volumen dentro de un volumen determinado con la máxima eficiencia.
- Fortaleza: Separación óptima de puntos.
- Debilidad: Propiedades de proyección deficientes.
- Lo mejor para : Espacios de factores continuos con respuesta ruidosa.
Figura 6: Representación del diseño de empaquetamiento de esferas para dos factores con 20 ensayos.
Observe cómo la redistribución de puntos distribuye los puntos de diseño a una distancia constante entre los puntos vecinos.
Figura 7: Diagnóstico de diseño del empaquetamiento de esferas.
La distancia mínima entre dos puntos vecinos se maximiza y es similar. No se dispone de una evaluación métrica de MaxPro con este diseño, ya que los puntos pueden tener valores idénticos en una dimensión.
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Diseños de hipercubo latino (LHD)
PrincipioEl principio básico consiste en crear un número de compartimentos igual al número de ejecuciones y asegurar que cada punto de diseño pertenezca a un único compartimento para cada factor. Dado que esta generación puede generarse mediante múltiples combinaciones, se aplica otro criterio (MaxPro) para garantizar que la redistribución de puntos no cree correlaciones entre factores y asegurar buenas propiedades de proyección. Este criterio crea un diseño que maximiza la distancia mínima entre los puntos de diseño, pero requiere un espaciado uniforme de los niveles de cada factor. Cada factor tiene tantos niveles como ejecuciones haya en el diseño. Este método produce diseños que imitan la distribución uniforme. El método LHD es un compromiso entre el método de empaquetamiento de esferas y el método de diseño uniforme.
- Fortalezas: Buenas proyecciones unidimensionales, fáciles de generar.
- Debilidad: Ninguno.
- Lo mejor para: Selección inicial, experimentos informáticos.
Figura 8: Representación del diseño de hipercubo latino para dos factores con 20 ensayos.
Obsérvese cómo la redistribución de puntos crea 20 intervalos equidistantes, lo que se aproxima a una distribución uniforme de puntos para cada factor.
Figura 9: Diagnóstico de diseño de hipercubo latino.
La distancia mínima entre dos puntos vecinos es similar. La discrepancia es baja y la métrica MaxPro es alta con este diseño.
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Diseños de llenado rápidos y flexibles
Principio : Crea un diseño utilizando el algoritmo de relleno flexible rápido (FFF). El algoritmo comienza generando una gran cantidad de puntos aleatorios dentro de la región de diseño especificada. Estos puntos se agrupan mediante el algoritmo rápido de Ward en un número de clústeres igual al número de ejecuciones especificado. Los puntos de diseño finales se pueden obtener utilizando el criterio de optimalidad predeterminado de MaxPro o seleccionando el criterio del centroide.
- Fortaleza: Equilibrio entre la cobertura del espacio y las propiedades de proyección.
- Debilidad : Compromiso entre la cobertura espacial y las propiedades de proyección.
- Lo mejor para: Tipos de factores mixtos, exploración equilibrada, manejo de restricciones.
¿Suena complejo? ¡No te preocupes, más adelante te mostraremos una explicación paso a paso del algoritmo FFF!
Figura 10: Representación del diseño de llenado rápido y flexible para dos factores con 20 ensayos.
Figura 11: Diagnóstico de diseño de llenado rápido y flexible.
La distancia mínima entre dos puntos vecinos es heterogénea. La evaluación métrica de MaxPro es bastante alta con este diseño.
EXTRA: Tutorial del algoritmo de llenado rápido y flexible
En esta sección, reproducimos los pasos del algoritmo de llenado flexible rápido para comprender mejor sus mecanismos.
- Creación de columnas para factores: En este ejemplo, creamos dos columnas para los dos factores continuos, cada una con 100.000 filas y una distribución de fórmula uniforme aleatoria (Figura 12).
Figura 12: Creación de las columnas de factores.
El espacio de diseño debe estar completamente cubierto por los puntos uniformes aleatorios creados con la fórmula (Figura 13).
Figura 13: Espacio de diseño cubierto por 100.000 puntos uniformes aleatorios.
- Agrupamiento: En Analizar > Agrupamiento , elegimos la plataforma de Agrupamiento Jerárquico , especificamos los dos factores X1 y X2 en Y, y seleccionamos Sala rápida como método (Figura 14).
Figura 14: Ventana de lanzamiento del clúster jerárquico
En el triángulo rojo junto a Agrupamiento jerárquico, haga clic en Número de clústeres y especifique 20 (20 es el número de puntos recomendado por JMP para cualquier diseño de relleno de espacio con dos factores numéricos continuos). A continuación, en el mismo triángulo rojo, tras seleccionar Guardar medias de clúster (Figura 15) , aparecerá una nueva tabla con las medias de los 20 clústeres.
Figura 15: Opción de agrupamiento jerárquico para guardar las medias de los clústeres.
También podemos guardar los clústeres en nuestra tabla original y agregar las filas de medias de clúster de la tabla Medias de clúster. Luego podemos visualizar nuestro espacio de diseño dividido por clústeres (Figura 16).
Figura 16: Espacio de diseño dividido en 20 clústeres.
- Filtración:A continuación, filtramos los puntos aleatorios y conservamos solo los puntos medios de los clústeres. ¡Nuestro diseño de relleno rápido y flexible (con criterio de centroide) está terminado!
Luego podemos comparar la generación del diseño siguiendo estos pasos con el resultado que obtendríamos al generar directamente un diseño de llenado flexible rápido de 20 ejecuciones con criterio de centroide (Figura 17).
Figura 17: Comparación de los diseños de llenado flexible rápido creados manualmente con el flujo de trabajo (izquierda) y el creado por JMP con el criterio del centroide (derecha).
¡Los dos diseños se ven muy similares!
Se podría crear un diseño de relleno rápido y flexible con el criterio MaxPro predeterminado utilizando el mismo flujo de trabajo, pero la selección de los puntos representativos del clúster no será la media de los clústeres; serían puntos pertenecientes a cada clúster y que maximicen el criterio MaxPro:Detalles del diseño de llenado rápido y flexible
Criterios de selección de diseño
Al elegir entre diseños que llenan el espacio, tenga en cuenta lo siguiente:
- Objetivo:Dependiendo del objetivo (cribado, exploración, modelado predictivo preciso, etc.) y del énfasis en la generación geométrica/distributiva, algunos diseños pueden ser preferibles.
- Dimensionalidad del espacio de diseño:La generación de algunos diseños que llenan el espacio (como los diseños uniformes) puede requerir un tiempo de cálculo elevado para dimensiones altas.
- Tipos de factores:Si solo dispone de factores continuos, puede elegir un diseño adecuado en función de su objetivo y dimensionalidad. Si utiliza otros tipos de factores (numéricos discretos, categóricos, mixtos, etc.), su única opción será utilizar un diseño de llenado rápido y flexible.
- Características de respuestae integración con enfoques de modelado : Dependiendo del ruido esperado en la respuesta, así como de los enfoques de modelado utilizados (proceso gaussiano, SVM, modelos basados en árboles, etc.), se pueden adaptar diferentes configuraciones de diseño.
- Número de carreras disponibles:Dependiendo del objetivo, las respuestas a analizar y el presupuesto experimental disponible, puede elegir un diseño que se ajuste a sus limitaciones. Por ejemplo, si desea explorar de forma homogénea un espacio experimental de alta dimensión utilizando únicamente factores continuos y con una posible respuesta ruidosa, un diseño de empaquetamiento de esferas (maximin) puede ser una buena opción.
- Complejidad computacional de la generación de diseños:Dependiendo del número de iteraciones y la dimensionalidad, se puede optar por un diseño con menor complejidad de generación. Los diseños de empaquetamiento uniforme y de esferas suelen ser más complejos de generar que los de relleno flexible rápido y los de hipercubo latino.
- Estrategias de aumentopara experimentación secuencial: Cualquieraumento del diseñoEl uso de un enfoque de llenado de espacios se realizará utilizando la metodología de llenado rápido y flexible.
Próximamente
En nuestra próxima publicación, estableceremos el marco para comparar estos diseños de aprovechamiento del espacio. Definiremos respuestas, factores y métricas de evaluación específicas para valorar sistemáticamente el rendimiento de diferentes enfoques de aprovechamiento del espacio en diversos escenarios.
Esta es la primera parte de una serie de tres artículos sobre diseños de experimentos que llenan el espacio:
- Introducción a los tipos comunes de diseños que llenan el espacio(esta publicación)
- Marco comparativo y métricas de evaluación
- Resultados, análisis y directrices para la selección del diseño
