Mark Bailey ( @Mark_Bailey ) Consultor Principal de Capacitación Analítica, Educación y Capacitación, SAS
Barker de arcilla ( @clay_barker ) JMP Desarrollador Estadístico de Investigación Senior, SAS
NOTA: Este artículo apareció originalmente en JMPer Cable, número 28, verano de 2013. Se ha actualizado para reflejar los cambios realizados en JMP desde 2013.
Hay muchos casos en los que la respuesta a un cambio en una variable es lineal. En otros casos, la respuesta no es lineal. En ocasiones, una respuesta no lineal puede aproximarse mediante un modelo que sea lineal en los parámetros (modelos lineales). Estos modelos son una combinación lineal de términos en los que los parámetros aparecen individualmente en cada término y sólo como un coeficiente. Un modelo lineal común para una respuesta no lineal es una función polinómica, como por ejemplo:
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22.
Finalmente, otros casos de respuestas no lineales requieren un modelo que sea no lineal en los parámetros (modelos no lineales). Existen innumerables modelos de este tipo, por ejemplo y = α + β e−γ x, que se utilizan en una amplia gama de disciplinas.
Observemos cómo la plataforma Fit Curve maneja dos situaciones comunes:
- Determinación de la caducidad (vida útil) con una caída exponencial
- Comparar una muestra con un estándar con curvas de calibración logística como las que se utilizan en bioensayos o inmunoensayos.
Ejemplo de degradación del cloro
La tabla de datos de degradación del cloro (que se muestra aquí) contiene mediciones del nivel de cloro de 42 lotes de un desinfectante en distintas edades (días desde su preparación). Debe determinar cuándo el nivel cae por debajo del nivel de especificación inferior de 0,4 (LSL).
Para seguir:
- Seleccione Analizar > Modelado especializado > Ajustar curva.
- Seleccione Concentración y haga clic en Y, Respuesta.
- Seleccione Edad, haga clic en X, Regresor y luego haga clic en Aceptar.
La disminución del nivel de cloro a lo largo del tiempo es evidente en el diagrama de dispersión (Figura 1).
Figure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigura 1 Diagrama de dispersión con ajustes exploratorios
Puede explorar la forma de los datos usando comandos en el menú del triángulo rojo en la barra de título Ajustar curva. El cambio no es lineal, así que comience con un polinomio cuadrático.
- Seleccione Polinomios > Ajustar cuadrático.
Este modelo captura la curvatura, pero la forma parabólica debe aparecer a medida que la edad aumenta más allá del punto mínimo, pero el nivel de cloro no aumenta en el futuro. A continuación, pruebe con un modelo simple de crecimiento (decaimiento).
- Seleccione Crecimiento y caída exponencial > Ajustar 2P exponencial.
Esta curva se fuerza a cero a medida que Age llega al infinito: su rendimiento es peor que el polinomio. Ahora use una curva de crecimiento con una asíntota distinta de cero.
- Seleccione Crecimiento y caída exponencial > Ajustar 3P exponencial.
Esta elección proporciona un modelo razonable.
Comparar modelos
El informe de comparación de modelos (Figura 2) proporciona indicadores de desempeño esenciales. La lista de modelos está ordenada por AICc. El mejor modelo tiene el AICc más pequeño. Tenga en cuenta que el segundo mejor modelo tiene un AICc que es 7,8 mayor, lo que indica un apoyo considerablemente menor de los datos.
Figure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigura 2 Informes de comparación de modelos
Los informes del modelo de predicción debajo del diagrama de dispersión (que se muestra aquí) proporcionan la forma del modelo y la interpretación de los parámetros para cada modelo ajustado a los datos.
La asíntota indica que la degradación se detiene cerca del LSL (nivel de especificación inferior) dado de 0,40.La tasa de crecimiento negativa indica que la caída es de 0,125 unidades por día. Nota: La suma de la escala y la asíntota indica el nivel inicial, 0,394464+0,2653471=0,6598111.
Predicción inversa
Puede realizar una predicción inversa para determinar el vencimiento. Seleccione Predicción inversa personalizada en el triángulo rojo de la barra de título 3P exponencial. Utilice 0,95 para el nivel de confianza. Seleccione Inferior a una cara en el menú desplegable, ingrese 0,40 para Concentración y haga clic en Aceptar.La Figura 3 muestra la curva de decaimiento ajustada y la estimación puntual. El límite inferior de confianza del 95% sugiere que el desinfectante se debe desechar y volver a preparar después de 26 días.
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigura 3 Gráfico de predicción de inversión para estimar el vencimiento
Varias muestras
Ahora mira la plataforma Fit Curve en JMP utilizar características especiales en un análisis de curva dosis-respuesta. La tabla de datos del análisis de dosis-respuesta estándar y de muestra. La Figura 4 incluye un indicador (Muestra) para el tipo de muestra (“Estándar” o Muestra”), la concentración (Conc (ug/mL)) y la concentración logarítmica (Log Conc), tres ensayos replicados estandarizados y el ensayo medio ( Ensayo medio).
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigura 4 Listado parcial de la tabla de datos del Análisis Dosis-Respuesta
Para seguir:
- Seleccione Analizar > Modelado especializado > Ajustar curva.
- Seleccione Ensayo medio y haga clic en Y, Respuesta.
- Seleccione Log Conc y haga clic en X, Regresor.
- Seleccione Muestra, haga clic en Grupo y luego haga clic en Aceptar.
En la Figura 5 se ve que los datos de ambas muestras se trazan juntos e individualmente (el azul es "Estándar", el rojo es "Muestra").
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigura 5 Gráficos totales y de grupo para el ensayo de media por concentración logarítmica
Ahora ajuste los datos usando un modelo logístico:
- Seleccione Curvas sigmoideas > Curvas logísticas > Ajustar Logistic 3P en el triángulo rojo en la barra de título Ajustar curva.
Este modelo tiene en cuenta ambas asíntotas, lo que no es posible con un modelo polinómico. Considere un modelo más complejo:
- Seleccione Curvas sigmoideas > Curvas logísticas > Ajustar Logistic 4P en el triángulo rojo en la barra de título Ajustar curva.
La flexibilidad adicional que ofrece este modelo se ajusta mejor a los datos.
La adición de otro parámetro más permite la asimetría en las asíntotas:
- Seleccione Curvas sigmoideas > Curvas logísticas > Ajustar Logistic 5P en el triángulo rojo en la barra de título Ajustar curva.
Mire la tabla de Comparación de modelos en la Figura 6 para ver que el mejor modelo es Logistic 4P. El modelo Logistic 3P esencialmente no tiene respaldo de los datos (delta AICc es 92,80 – 60,38 = 32,42). El modelo Logistic 5P, más flexible, no ofrece ninguna mejora real. El peso AICc ayuda con la selección del modelo (Figura 6). Se puede interpretar este caso en el sentido de que, dado que uno de los tres modelos ajustados es verdadero, existe un 83 % de posibilidades de que Logistic 4P sea el modelo verdadero (AICcWeight = 0,8259).
Figure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigura 6 Resultados AICc para el modelo Logístico 4P
Dado que la variable Muestra es una variable de Grupo en el análisis, existen conjuntos separados de estimaciones de parámetros para cada grupo.
Figure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigura 7 Estimaciones de parámetros para cada grupo
La Figura 8 muestra las curvas basadas en el modelo ajustado trazadas juntas y por separado para cada grupo. Parece que la asíntota inferior es diferente para la muestra que para el estándar.
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigura 8 Curvas ajustadas para la media total de ensayos y grupos de muestras
La curva muestral y estándar parecen tener una forma similar. Si es así, se puede estimar la potencia relativa. Para hacer esto, seleccione Probar paralelismo en el menú del triángulo rojo en la barra de título de Logistic 4P.
Se proporcionan dos pruebas de hipótesis. Ambas pruebas comparan el modelo completo con el modelo reducido. El modelo completo estima cada parámetro por separado para la muestra y el estándar.
El modelo reducido estima cada parámetro para los datos combinados, excepto el punto de inflexión. En este ejemplo, la prueba F es significativa (0,0219) pero la prueba χ2 no es α=0,05. El resultado de la prueba F podría ser un error de tipo I o podría indicar que la asíntota inferior no es la misma para la muestra y el estándar.
La potencia relativa se puede utilizar cuando se considera que las curvas son paralelas. En este caso, la potencia de la muestra es similar a la del estándar. La potencia es la concentración logarítmica correspondiente a la respuesta de EC50.
JMP ofrece un enfoque más nuevo para decidir sobre la forma relativa en general y el paralelismo en particular, que se basa en una prueba de equivalencia para cada parámetro.
El enfoque más nuevo se basa en el método de dos pruebas t=unilaterales (TOST), pero se presenta gráficamente con intervalos de confianza para facilitar la interpretación. El intervalo de confianza para la relación de las estimaciones de los parámetros de forma para la muestra y el estándar debe estar dentro de un rango considerado equivalente. El parámetro del punto de inflexión puede exceder este rango, lo que indica un cambio en la potencia relativa.
Para ver este enfoque:
- Seleccione Prueba de equivalencia en el menú del triángulo rojo en la barra de título de Logistic 4P.
- Seleccione "Estándar" como grupo de referencia y luego haga clic en Aceptar.
Las dos pruebas t= unilaterales determinan si las estimaciones de los parámetros exceden una diferencia predeterminada del 25 por ciento por proporción.Es evidente que la asíntota inferior no es equivalente a la estándar, por lo que estas curvas no son paralelas (Figura 9). Esto lo confirma la Tabla Resumen de Equivalencia.
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigura 9 Resultados gráficos de la prueba de equivalencia TOST
Referencias
Burnham, Kenneth P. y Anderson, David R. (2002) Selección de modelos e inferencia multimodelo: un enfoque teórico de la información práctica (segunda edición), Springer, Nueva York, NY, página 70.
SAS Institute Inc. (2012), Modelado y métodos multivariados, Cary, Carolina del Norte: SAS Institute Inc.
