마크 베일리( @마크_베일리 ) SAS 교육 및 훈련 부문 수석 분석 교육 컨설턴트
클레이 바커( @clay_barker ) JMP 수석 연구 통계 개발자, SAS
참고: 이 기사는 원래 JMPer Cable, 28호, 2013년 여름에 게재되었습니다. 2013년 이후 JMP에 적용된 변경 사항을 반영하여 업데이트되었습니다.
변수의 변화에 대한 반응이 선형인 경우가 많이 있습니다. 다른 경우에는 반응이 선형이 아닙니다. 비선형 응답은 때때로 매개변수가 선형인 모델(선형 모델)로 근사화될 수 있습니다. 이러한 모델은 매개변수가 각 항에 단독으로 나타나며 계수로만 나타나는 항의 선형 조합입니다. 비선형 응답에 대한 일반적인 선형 모델은 다음과 같은 다항식 함수입니다.
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22.
마지막으로, 비선형 응답의 다른 경우에는 매개변수가 비선형인 모델(비선형 모델)이 필요합니다. 예를 들어 y = α + β e−γ x 와 같이 광범위한 분야에서 사용되는 수많은 모델이 있습니다.
Fit Curve 플랫폼이 두 가지 일반적인 상황을 처리하는 모습을 살펴보겠습니다.
- 기하급수적 붕괴로 만료(유효 기간) 결정
- 생물검정 또는 면역검정에 사용되는 로지스틱 교정 곡선을 사용하여 샘플을 표준과 비교합니다.
염소 분해 예
염소 분해 데이터 표(여기 표시)에는 다양한 연령(준비 이후 일수)에서 소독제 42개 배치의 염소 수준 측정값이 포함되어 있습니다. 수준이 사양 하한 수준인 0.4(LSL) 아래로 떨어지는 시기를 판단해야 합니다.
따라가려면:
- 분석 > 전문 모델링 > 적합 곡선을 선택합니다.
- 농도를 선택하고 Y, 반응을 클릭합니다.
- 연령을 선택하고 X, 회귀자를 클릭한 다음 확인을 클릭합니다.
시간이 지남에 따라 염소 수준의 감소는 산점도(그림 1)에서 분명하게 나타납니다.
Figure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fits그림 1 탐색 적합성을 사용한 산점도
맞춤 곡선 제목 표시줄에 있는 빨간색 삼각형 메뉴의 명령을 사용하여 데이터의 모양을 탐색할 수 있습니다. 변화는 선형이 아니므로 2차 다항식으로 시작합니다.
- 다항식 > 2차 적합을 선택합니다.
이 모델은 곡률을 포착하지만 연령이 최소점을 넘어 증가함에 따라 포물선 모양이 나타나야 하지만 앞으로 염소 수준은 상승하지 않습니다. 다음으로 간단한 성장(쇠퇴) 모델을 시도해 보세요.
- 지수 증가 및 감쇠 > 지수 2P 적합을 선택합니다.
이 곡선은 Age가 무한대로 갈수록 0이 됩니다. 이는 다항식보다 성능이 떨어집니다. 이제 0이 아닌 점근선을 갖는 성장 곡선을 사용하십시오.
- 지수 증가 및 감소 > 지수 3P 적합을 선택합니다.
이 선택은 합리적인 모델을 제공합니다.
모델 비교
모델 비교 보고서(그림 2)는 필수 성과 지표를 제공합니다. 모델 목록은 AICc별로 정렬됩니다. 최고의 모델은 AICc가 가장 작습니다. 두 번째로 좋은 모델의 AICc는 7.8보다 높으며 이는 데이터의 지원이 상당히 적음을 나타냅니다.
Figure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reports그림 2 모델 비교 보고서
산점도 아래의 예측 모델 보고서(여기 표시)는 모델의 형태와 데이터에 맞는 각 모델에 대한 매개변수의 해석을 제공합니다.
점근선은 저하가 지정된 LSL(하한 사양 수준) 0.40 근처에서 중지됨을 나타냅니다.마이너스 성장률은 붕괴가 하루 0.125단위임을 나타냅니다. 참고: 척도와 점근선의 합은 시작 수준인 0.394464+0.2653471=0.6598111을 나타냅니다.
역예측
만료를 결정하기 위해 역 예측을 수행할 수 있습니다. 지수 3P 제목 표시줄의 빨간색 삼각형에서 사용자 정의 역예측을 선택합니다. 신뢰 수준으로 0.95를 사용합니다. 드롭다운 메뉴에서 Lower One Sided를 선택하고 농도에 0.40을 입력한 후 확인을 클릭합니다.그림 3은 적합 붕괴 곡선과 점 추정치를 보여줍니다. 95% 신뢰 하한은 소독제를 폐기하고 26일 후에 다시 만들어야 함을 나타냅니다.
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiry그림 3 만료를 추정하기 위한 반전 예측 플롯
다중 샘플
이제 Fit Curve 플랫폼을 시청해 보세요. JMP 용량-반응 곡선 분석에 특수 기능을 사용합니다. 표준 및 샘플 용량-반응 분석 데이터 테이블. 그림 4에는 샘플 유형("표준" 또는 샘플"), 농도(농도(ug/mL)) 및 로그 농도(Log Conc)에 대한 표시기(샘플), 표준화된 세 가지 반복 분석 및 평균 분석( 평균 분석).
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data table그림 4 용량-반응 분석 데이터 테이블의 일부 목록
따라가려면:
- 분석 > 전문 모델링 > 적합 곡선을 선택합니다.
- 평균 분석을 선택하고 Y, 반응을 클릭합니다.
- Log Conc를 선택하고 X, Regressor를 클릭합니다.
- 샘플을 선택하고 그룹을 클릭한 다음 확인을 클릭합니다.
그림 5에서 두 샘플의 데이터가 함께 개별적으로 표시되는 것을 볼 수 있습니다(파란색은 "표준", 빨간색은 "샘플").
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log Conc그림 5 로그 농도별 평균 분석에 대한 전체 및 그룹 도표
이제 로지스틱 모델을 사용하여 데이터를 맞춥니다.
- 곡선 맞춤 제목 표시줄의 빨간색 삼각형에서 시그모이드 곡선 > 로지스틱 곡선 > 로지스틱 3P 맞춤을 선택합니다.
이 모델은 다항식 모델에서는 불가능한 두 점근선을 모두 설명합니다. 더 복잡한 모델을 고려해보세요.
- 곡선 맞춤 제목 표시줄의 빨간색 삼각형에서 시그모이드 곡선 > 로지스틱 곡선 > 로지스틱 4P 맞춤을 선택합니다.
이 모델이 제공하는 추가적인 유연성은 데이터에 더 잘 맞습니다.
또 다른 매개변수를 추가하면 점근선의 비대칭성이 허용됩니다.
- 곡선 맞춤 제목 표시줄의 빨간색 삼각형에서 시그모이드 곡선 > 로지스틱 곡선 > 로지스틱 5P 맞춤을 선택합니다.
그림 6의 모델 비교표를 보면 가장 좋은 모델이 Logistic 4P임을 알 수 있습니다. Logistic 3P 모델은 기본적으로 데이터에서 지원되지 않습니다(델타 AICc는 92.80 – 60.38 = 32.42). 보다 유연한 Logistic 5P 모델은 실질적인 개선을 제공하지 않습니다. AICc 가중치는 모델 선택에 도움이 됩니다(그림 6). 세 가지 적합 모델 중 하나가 참인 경우 Logistic 4P가 참 모델일 확률이 83%라고 이 사례를 해석할 수 있습니다(AICcWeight = .8259).
Figure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P model그림 6 Logistic 4P 모델의 AICc 결과
표본 변수는 분석에서 그룹 변수이므로 각 그룹에 대해 별도의 모수 추정치 세트가 있습니다.
Figure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each group그림 7 각 그룹의 모수 추정치
그림 8은 각 그룹에 대해 함께 그리고 별도로 플롯된 적합 모델을 기반으로 한 곡선을 보여줍니다. 표본의 하한 점근선은 표준의 점근선과 다른 것으로 보입니다.
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample Groups그림 8 전체 평균 분석 및 샘플 그룹에 대한 적합 곡선
표본과 표준 곡선의 모양은 비슷한 것으로 보입니다. 그렇다면 상대 효능을 추정할 수 있습니다. 이렇게 하려면 Logistic 4P 제목 표시줄의 빨간색 삼각형 메뉴에서 병렬성 테스트를 선택합니다.
두 가지 가설 검정이 제공됩니다. 두 테스트 모두 전체 모델을 축소 모델과 비교합니다. 전체 모델은 표본과 표준에 대해 개별적으로 각 매개변수를 추정합니다.
축소 모델은 변곡점을 제외하고 결합된 데이터에 대한 각 매개변수를 추정합니다. 이 예에서 F-검정은 유의미하지만(0.0219) χ2-검정은 α=0.05가 아닙니다. F-검정 결과는 제1종 오류일 수도 있고, 하한점근선이 표본과 표준에 대해 동일하지 않음을 나타낼 수도 있습니다.
곡선이 평행하다고 판단되는 경우 상대 효능을 사용할 수 있습니다. 이 경우 샘플의 효능은 표준의 효능과 유사합니다. 효능은 EC50 반응에 해당하는 로그 농도입니다.
JMP는 일반적인 상대적 형태, 특히 병렬성을 결정하는 데 있어 각 매개변수에 대한 동등성 테스트를 기반으로 하는 새로운 접근 방식을 제공합니다.
새로운 접근 방식은 두 개의 단측 t=테스트(TOST) 접근 방식을 기반으로 하지만 더 쉽게 해석할 수 있도록 신뢰 구간을 그래픽으로 표시합니다. 표본과 표준의 형상모수 추정치 비율에 대한 신뢰구간은 동일하다고 간주되는 범위 내에 있어야 합니다. 변곡점 매개변수가 이 범위를 초과할 수 있으며 이는 상대 효능의 변화를 나타냅니다.
이 접근 방식을 보려면 다음을 수행하세요.
- Logistic 4P 제목 표시줄의 빨간색 삼각형 메뉴에서 동등성 테스트를 선택합니다.
- 참조 그룹으로 "표준"을 선택한 다음 확인을 클릭합니다.
두 개의 단측 t=검정은 모수 추정치가 비율별 기본 25% 차이를 초과하는지 확인합니다.낮은 점근선은 표준과 동일하지 않으므로 이 곡선은 평행하지 않습니다(그림 9). 이는 동등성 요약표를 통해 확인됩니다.
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence Test그림 9 TOST 동등성 테스트의 그래픽 결과
참고자료
Burnham, Kenneth P. 및 Anderson, David R. (2002) 모델 선택 및 다중 모델 추론: 실제 정보 이론 접근 방식(제2판), Springer, New York, NY, 70페이지.
SAS Institute Inc.(2012), 모델링 및 다변량 방법, Cary, NC: SAS Institute Inc.
