Mark Bailey ( @Mark_Bailey ) Principale consulente di formazione analitica, istruzione e formazione, SAS
Clay Barker ( @clay_barker ) Sviluppatore senior di ricerca statistica JMP, SAS
NOTA: questo articolo è apparso originariamente su JMPer Cable, numero 28, estate 2013. È stato aggiornato per riflettere le modifiche apportate a JMP dal 2013.
Esistono molti casi in cui la risposta a un cambiamento in una variabile è lineare. In altri casi, la risposta non è lineare. Una risposta non lineare può talvolta essere approssimata da un modello lineare nei parametri (modelli lineari). Questi modelli sono una combinazione lineare di termini in cui i parametri compaiono singolarmente in ciascun termine e solo come coefficiente. Un modello lineare comune per una risposta non lineare è una funzione polinomiale, come ad esempio:
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22.
Infine, altri casi di risposte non lineari richiedono un modello non lineare nei parametri (modelli non lineari). Esistono una miriade di modelli di questo tipo, ad esempio y = α + β e−γ x , utilizzati in un'ampia gamma di discipline.
Osserviamo come la piattaforma Fit Curve gestisce due situazioni comuni:
- Determinazione della scadenza (shelf life) con un decadimento esponenziale
- Confronto di un campione con uno standard con curve di calibrazione logistica utilizzate nei test biologici o immunologici.
Esempio di degradazione del cloro
La tabella dei dati sulla degradazione del cloro (mostrata qui) contiene misurazioni del livello di cloro di 42 lotti di disinfettante a varie età (giorni dalla preparazione). È necessario determinare quando il livello scende al di sotto del livello di specifica inferiore di 0,4 (LSL).
Per seguire:
- Selezionare Analizza > Modellazione specializzata > Adatta curva.
- Selezionare Concentrazione e fare clic su Y, Risposta.
- Selezionare Età, fare clic su X, Regressore, quindi fare clic su OK.
La diminuzione del livello di cloro nel tempo è evidente dal grafico a dispersione (Figura 1).
Figure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigura 1 Grafico a dispersione con adattamenti esplorativi
Puoi esplorare la forma dei dati utilizzando i comandi nel menu del triangolo rosso sulla barra del titolo Adatta curva. Il cambiamento non è lineare, quindi inizia con un polinomio quadratico.
- Selezionare Polinomi > Adatta quadratico.
Questo modello cattura la curvatura, ma la forma parabolica deve aumentare man mano che l'età aumenta oltre il punto minimo, ma il livello di cloro non aumenta in futuro. Quindi prova un semplice modello di crescita (decadimento).
- Selezionare Crescita e decadimento esponenziale > Adatta esponenziale 2P.
Questa curva è forzata a zero quando l'età tende all'infinito: ha prestazioni peggiori del polinomio. Ora usa una curva di crescita con un asintoto diverso da zero.
- Selezionare Crescita e decadimento esponenziale > Adatta esponenziale 3P.
Questa scelta fornisce un modello ragionevole.
Confronta i modelli
Il report di confronto dei modelli (Figura 2) fornisce indicatori di prestazione essenziali. L'elenco dei modelli è ordinato per AICc. Il modello migliore ha l'AICc più piccolo. Si noti che il secondo modello migliore ha un AICc superiore di 7,8, il che indica un supporto notevolmente inferiore da parte dei dati.
Figure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigura 2 Rapporti di confronto dei modelli
I report del modello di previsione sotto il grafico a dispersione (mostrato qui) forniscono la forma del modello e l'interpretazione dei parametri per ciascun modello adattato ai dati.
L'asintoto indica che il degrado si ferma vicino al dato LSL (livello di specifica inferiore) di 0,40.Il tasso di crescita negativo indica che il decadimento è di 0,125 unità al giorno. Nota: la somma della scala e dell'asintoto indica il livello iniziale, 0,394464+0,2653471=0,6598111.
Previsione inversa
È possibile eseguire una previsione inversa per determinare la scadenza. Selezionare Previsione inversa personalizzata dal triangolo rosso sulla barra del titolo Esponenziale 3P. Utilizzare 0,95 per il livello di confidenza. Selezionare Lower One Sided dal menu a discesa, immettere 0,40 per Concentrazione e fare clic su OK.La Figura 3 mostra la curva di decadimento adattata e la stima puntuale. Il limite di confidenza inferiore del 95% suggerisce che il disinfettante deve essere scartato e rifatto dopo 26 giorni.
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigura 3 Grafico di previsione dell'inversione per stimare la scadenza
Campioni multipli
Ora guarda la piattaforma Fit Curve JMP utilizzare caratteristiche speciali in un'analisi della curva dose-risposta. La tabella dei dati dell'analisi dose-risposta standard e campione. La Figura 4 include un indicatore (Campione) per il tipo di campione (“Standard” o Campione”), la concentrazione (Conc (ug/mL)) e la concentrazione logaritmica (Log Conc), tre test replicati standardizzati e il test medio ( Valore medio).
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigura 4 Elenco parziale della tabella dei dati dell'analisi dose-risposta
Per seguire:
- Selezionare Analizza > Modellazione specializzata > Adatta curva.
- Selezionare Media Assay e fare clic su Y, Risposta.
- Selezionare Log Conc e fare clic su X, Regressor.
- Selezionare Esempio, fare clic su Gruppo, quindi su OK.
Nella Figura 5 si vede che i dati per entrambi i campioni vengono tracciati insieme e individualmente (il blu è "Standard", il rosso è "Campione").
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigura 5 Grafici totali e di gruppo per il dosaggio medio mediante Log Conc
Ora adatta i dati utilizzando un modello logistico:
- Selezionare Curve sigmoidali > Curve logistiche > Adatta logistica 3P dal triangolo rosso sulla barra del titolo Adatta curva.
Questo modello tiene conto di entrambi gli asintoti, cosa non possibile con un modello polinomiale. Consideriamo un modello più complesso:
- Selezionare Curve sigmoidali > Curve logistiche > Adatta logistica 4P dal triangolo rosso sulla barra del titolo Adatta curva.
La flessibilità aggiuntiva offerta da questo modello si adatta meglio ai dati.
L'aggiunta di un altro parametro consente l'asimmetria negli asintoti:
- Selezionare Curve sigmoidali > Curve logistiche > Adatta logistica 5P dal triangolo rosso sulla barra del titolo Adatta curva.
Osserva la tabella di confronto dei modelli nella Figura 6 per vedere che il modello migliore è Logistic 4P. Il modello Logistico 3P non ha essenzialmente alcun supporto dai dati (delta AICc è 92,80 – 60,38 = 32,42). Il modello più flessibile Logistic 5P non offre alcun miglioramento reale. Il peso AICc aiuta nella selezione del modello (Figura 6). Puoi interpretare questo caso dicendo che, dato che uno dei tre modelli montati è vero, allora c'è una probabilità dell'83% che Logistic 4P sia il modello vero (AICcWeight = .8259).
Figure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigura 6 Risultati AICc per il modello Logistic 4P
Poiché la variabile Campione è una variabile Gruppo nell'analisi, esistono serie separate di stime dei parametri per ciascun gruppo.
Figure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigura 7 Stime dei parametri per ciascun gruppo
La Figura 8 mostra le curve basate sul modello adattato tracciate insieme e separatamente per ciascun gruppo. Sembra che l'asintoto inferiore sia diverso per il campione rispetto allo standard.
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigura 8 Curve adattate per la media totale del dosaggio e i gruppi di campioni
La curva campione e quella standard sembrano avere una forma simile. Se è così, è possibile stimare la potenza relativa. Per fare ciò, seleziona Test Parallelism dal menu del triangolo rosso sulla barra del titolo Logistic 4P.
Sono previsti due test di ipotesi. Entrambi i test confrontano il modello completo con il modello ridotto. Il modello completo stima ciascun parametro separatamente per il campione e lo standard.
Il modello ridotto stima ciascun parametro per i dati combinati, ad eccezione del punto di flesso. In questo esempio, il test F è significativo (0,0219) ma il test χ2 non è a α=0,05. Il risultato del test F potrebbe essere un errore di tipo I o potrebbe indicare che l'asintoto inferiore non è lo stesso per il campione e lo standard.
La potenza relativa può essere utilizzata quando si ritiene che le curve siano parallele. In questo caso, la potenza del campione è simile a quella dello standard. La potenza è la concentrazione logaritmica corrispondente alla risposta EC50.
JMP offre un approccio più nuovo per decidere sulla forma relativa in generale, e sul parallelismo in particolare, basato su un test di equivalenza per ciascun parametro.
L'approccio più recente si basa sull'approccio TOST (two one-sided t=test), ma è presentato graficamente con intervalli di confidenza per una più semplice interpretazione. L'intervallo di confidenza per il rapporto tra le stime dei parametri di forma per il campione e lo standard dovrebbe rientrare in un intervallo ritenuto equivalente. Il parametro del punto di flesso può superare questo intervallo, indicando un cambiamento nella potenza relativa.
Per vedere questo approccio:
- Selezionare Test di equivalenza dal menu del triangolo rosso sulla barra del titolo Logistic 4P.
- Selezionare "Standard" come gruppo di riferimento e quindi fare clic su OK.
I due test t=unilaterali determinano se le stime dei parametri superano una differenza predefinita del 25% in base al rapporto.È evidente che l'asintoto inferiore non è equivalente allo standard, quindi queste curve non sono parallele (Figura 9). Ciò è confermato dalla tabella riepilogativa delle equivalenze.
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigura 9 Risultati grafici del test di equivalenza TOST
Riferimenti
Burnham, Kenneth P. e Anderson, David R. (2002) Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach (Seconda edizione), Springer, New York, NY, pagina 70.
SAS Institute Inc. (2012), Modellazione e metodi multivariati, Cary, Carolina del Nord: SAS Institute Inc.
