Marc Bailey ( @Mark_Bailey ) Consultant principal en formation analytique, Éducation et formation, SAS
Aboyeur d'argile ( @clay_barker ) Développeur Statisticien de Recherche Senior JMP, SAS
REMARQUE : Cet article a été initialement publié dans JMPer Cable, numéro 28, été 2013. Il a été mis à jour pour refléter les modifications apportées à JMP depuis 2013.
Il existe de nombreux cas où la réponse à un changement dans une variable est linéaire. Dans d’autres cas, la réponse n’est pas linéaire. Une réponse non linéaire peut parfois être approchée par un modèle dont les paramètres sont linéaires (modèles linéaires). Ces modèles sont une combinaison linéaire de termes dans laquelle les paramètres apparaissent individuellement dans chaque terme et uniquement sous forme de coefficient. Un modèle linéaire courant pour une réponse non linéaire est une fonction polynomiale, telle que :
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22.
Enfin, d'autres cas de réponses non linéaires nécessitent un modèle non linéaire dans les paramètres (modèles non linéaires). Il existe une myriade de modèles de ce type, par exemple y = α + β e−γ x , qui sont utilisés dans un large éventail de disciplines.
Observons comment la plateforme Fit Curve gère deux situations courantes :
- Détermination de la date de péremption (durée de conservation) avec une décroissance exponentielle
- Comparaison d'un échantillon à un étalon avec des courbes d'étalonnage logistique telles qu'utilisées dans les essais biologiques ou les essais immunologiques.
Exemple de dégradation du chlore
Le tableau des données de dégradation du chlore (affiché ici) contient des mesures du niveau de chlore de 42 lots d'un désinfectant à différents âges (jours depuis la préparation). Vous devez déterminer quand le niveau tombe en dessous du niveau de spécification inférieur de 0,4 (LSL).
A suivre :
- Sélectionnez Analyser > Modélisation spécialisée > Ajuster la courbe.
- Sélectionnez Concentration et cliquez sur Y, Réponse.
- Sélectionnez Âge, cliquez sur X, Régresseur, puis cliquez sur OK.
La diminution du niveau de chlore au fil du temps est visible sur le nuage de points (Figure 1).
Figure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 : Nuage de points avec ajustements exploratoires
Vous pouvez explorer la forme des données à l'aide des commandes du menu triangulaire rouge de la barre de titre Ajuster la courbe. Le changement n’est pas linéaire, alors commencez par un polynôme quadratique.
- Sélectionnez Polynômes > Ajuster quadratique.
Ce modèle capture la courbure, mais la forme parabolique doit apparaître à mesure que l'âge dépasse le point minimum, mais le niveau de chlore n'augmente pas à l'avenir. Essayez ensuite un modèle de croissance (décroissance) simple.
- Sélectionnez Croissance et décroissance exponentielles > Ajuster Exponential 2P.
Cette courbe est forcée à zéro à mesure que Age tend vers l'infini – elle est moins performante que le polynôme. Utilisez maintenant une courbe de croissance avec une asymptote non nulle.
- Sélectionnez Croissance et décroissance exponentielles > Ajuster Exponential 3P.
Ce choix fournit un modèle raisonnable.
Comparez les modèles
Le rapport de comparaison des modèles (Figure 2) fournit des indicateurs de performance essentiels. La liste des modèles est triée par AICc. Le meilleur modèle a le plus petit AICc. Notez que le deuxième meilleur modèle a un AICc supérieur de 7,8, ce qui indique un support considérablement moindre des données.
Figure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Rapports de comparaison de modèles
Les rapports du modèle de prévision sous le nuage de points (illustré ici) fournissent la forme du modèle et l'interprétation des paramètres pour chaque modèle ajusté aux données.
L'asymptote indique que la dégradation s'arrête près du LSL (niveau de spécification inférieur) donné de 0,40.Le taux de croissance négatif indique que la dégradation est de 0,125 unités par jour. Remarque : La somme de l'échelle et de l'asymptote indique le niveau de départ, 0,394464+0,2653471=0,6598111.
Prédiction inverse
Vous pouvez effectuer une prédiction inverse pour déterminer l'expiration. Sélectionnez Prédiction inverse personnalisée dans le triangle rouge de la barre de titre Exponential 3P. Utilisez 0,95 pour le niveau de confiance. Sélectionnez Lower One Side dans le menu déroulant, entrez 0,40 pour Concentration et cliquez sur OK.La figure 3 montre la courbe de désintégration ajustée et l'estimation ponctuelle. La limite inférieure de confiance de 95 % suggère que le désinfectant doit être jeté et refait après 26 jours.
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 : Graphique de prévision d'inversion pour estimer l'expiration
Plusieurs échantillons
Regardez maintenant la plateforme Fit Curve dans JMP utiliser des fonctionnalités spéciales dans une analyse de courbe dose-réponse. Le tableau de données de l’analyse dose-réponse standard et échantillon. La figure 4 comprend un indicateur (échantillon) pour le type d'échantillon (« Standard » ou échantillon »), la concentration (Conc (ug/mL)) et le log de concentration (Log Conc), trois analyses répétées standardisées et l'analyse moyenne ( Analyse moyenne).
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Liste partielle du tableau de données de l'analyse dose-réponse
A suivre :
- Sélectionnez Analyser > Modélisation spécialisée > Ajuster la courbe.
- Sélectionnez Mean Assay et cliquez sur Y, Réponse.
- Sélectionnez Log Conc et cliquez sur X, Regressor.
- Sélectionnez Échantillon, cliquez sur Groupe, puis cliquez sur OK.
Vous voyez dans la figure 5 que les données des deux échantillons sont tracées ensemble et individuellement (le bleu est « Standard », le rouge est « Échantillon »).
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Tracés de total et de groupe pour le test moyen par Log Conc
Ajustez maintenant les données à l'aide d'un modèle logistique :
- Sélectionnez Courbes sigmoïdes > Courbes logistiques > Ajuster Logistique 3P dans le triangle rouge de la barre de titre Ajuster la courbe.
Ce modèle prend en compte les deux asymptotes, ce qui n'est pas possible avec un modèle polynomial. Considérons un modèle plus complexe :
- Sélectionnez Courbes sigmoïdes > Courbes logistiques > Ajuster Logistique 4P dans le triangle rouge de la barre de titre Ajuster la courbe.
La flexibilité supplémentaire offerte par ce modèle s'adapte mieux aux données.
L'ajout d'encore un autre paramètre permet une asymétrie dans les asymptotes :
- Sélectionnez Courbes sigmoïdes > Courbes logistiques > Ajuster la logistique 5P dans le triangle rouge de la barre de titre Ajuster la courbe.
Consultez le tableau de comparaison des modèles de la figure 6 pour constater que le meilleur modèle est Logistic 4P. Le modèle logistique 3P ne s'appuie essentiellement sur aucune donnée (le delta AICc est de 92,80 – 60,38 = 32,42). Le modèle Logistic 5P, plus flexible, n’offre pas de réelle amélioration. Le poids AICc facilite la sélection du modèle (Figure 6). Vous pouvez interpréter ce cas comme disant que, étant donné que l'un des trois modèles ajustés est vrai, il y a alors 83 % de chances que le Logistic 4P soit le vrai modèle (AICcWeight = 0,8259).
Figure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 Résultats AICc pour le modèle Logistique 4P
Étant donné que la variable Echantillon est une variable de groupe dans l'analyse, il existe des ensembles distincts d'estimations de paramètres pour chaque groupe.
Figure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Estimations des paramètres pour chaque groupe
La figure 8 montre les courbes basées sur le modèle ajusté tracées ensemble et séparément pour chaque groupe. Il semble que l’asymptote inférieure soit différente pour l’échantillon et pour l’étalon.
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Courbes ajustées pour le test moyen total et les groupes d'échantillons
L'échantillon et la courbe standard semblent avoir une forme similaire. Si tel est le cas, la puissance relative peut être estimée. Pour ce faire, sélectionnez Test Parallélisme dans le menu triangle rouge de la barre de titre Logistic 4P.
Deux tests d'hypothèse sont proposés. Les deux tests comparent le modèle complet au modèle réduit. Le modèle complet estime chaque paramètre séparément pour l'échantillon et la norme.
Le modèle réduit estime chaque paramètre pour les données combinées, à l'exception du point d'inflexion. Dans cet exemple, le test F est significatif (0,0219) mais le test χ2 n'est pas à α=0,05. Le résultat du test F peut être une erreur de type I ou indiquer que l'asymptote inférieure n'est pas la même pour l'échantillon et l'étalon.
La puissance relative peut être utilisée lorsque les courbes sont jugées parallèles. Dans ce cas, la puissance de l’échantillon est similaire à celle du standard. La puissance est la concentration logarithmique correspondant à la réponse EC50.
JMP propose une approche plus récente pour décider de la forme relative en général, et du parallélisme en particulier, basée sur un test d'équivalence pour chaque paramètre.
L'approche la plus récente est basée sur l'approche à deux tests t = unilatéraux (TOST), mais elle est présentée graphiquement avec des intervalles de confiance pour une interprétation plus facile. L'intervalle de confiance pour le rapport entre les estimations des paramètres de forme pour l'échantillon et l'étalon doit se situer dans une plage jugée équivalente. Le paramètre du point d'inflexion peut dépasser cette plage, indiquant un changement dans la puissance relative.
Pour voir cette approche :
- Sélectionnez Test d'équivalence dans le menu triangulaire rouge de la barre de titre Logistic 4P.
- Sélectionnez « Standard » comme groupe de référence, puis cliquez sur OK.
Les deux tests t= unilatéraux déterminent si les estimations des paramètres dépassent une différence par défaut de 25 % par rapport.Il est évident que l’asymptote inférieure n’est pas équivalente à l’étalon, donc ces courbes ne sont pas parallèles (Figure 9). Ceci est confirmé par le tableau récapitulatif des équivalences.
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Résultats graphiques du test d’équivalence TOST
Les références
Burnham, Kenneth P. et Anderson, David R. (2002) Sélection de modèles et inférence multimodèle : une approche pratique de la théorie de l'information (deuxième édition), Springer, New York, NY, page 70.
SAS Institute Inc. (2012), Modélisation et méthodes multivariées, Cary, Caroline du Nord : SAS Institute Inc.
