馬克貝利（ @馬克貝利) SAS 教育與培訓首席分析培訓顧問
克萊·巴克（ @clay_barker ) JMP 資深研究統計師開發人員，SAS
注意：本文原刊於 JMPer Cable，第 28 期，2013 年夏季。 它已進行更新，以反映自 2013 年以來 JMP 所做的更改。
在許多情況下，對變數變化的反應是線性的。 在其他情況下，響應不是線性的。 非線性響應有時可以透過參數為線性的模型（線性模型）來近似。 這些模型是項的線性組合，其中參數單獨出現在每項中並且僅作為係數。 非線性響應的常見線性模型是多項式函數，例如：
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12 x1x2 + β11x12 + β22 x22。
最後，非線性響應的其他情況需要參數非線性的模型（非線性模型）。 這樣的模型有無數種，例如 y = α + β e−γ x ，它們被廣泛應用於各個學科。
讓我們來看看 Fit Curve 平台處理兩種常見情況：
- 確定指數衰減的有效期限（保存期限）
- 使用生物測定或免疫測定中使用的邏輯校準曲線將樣品與標準品進行比較。
氯降解範例
氯降解資料表（此處顯示）包含 42 批次消毒劑在不同期限（製備後的天數）下的氯含量測量值。 您需要確定水平何時低於規格下限 0.4 (LSL)。
跟隨：
- 選擇分析 > 專業建模 > 擬合曲線。
- 選擇濃度並點擊 Y，響應。
- 選擇“年齡”，按一下“X”、“回歸量”，然後按一下“確定”。
從散點圖可以明顯看出氯含量隨時間的下降（圖 1）。
Figure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fitsFigure 1 Scatterplot with exploratory fits圖 1 具有探索性擬合的散佈圖
您可以使用「擬合曲線」標題列上的紅色小三角選單中的指令來探索資料的形狀。 此變化不是線性的，因此從二次多項式開始。
- 選擇多項式 > 擬合二次。
該模型捕捉了曲率，但隨著年齡增加超過最低點，拋物線形狀必須出現，但未來氯含量不會上升。 接下來嘗試一個簡單的成長（衰減）模型。
- 選擇指數成長和衰減 > 擬合指數 2P。
隨著年齡趨向無窮大，這條曲線被迫為零——它的表現比多項式更差。 現在使用漸近線非零的成長曲線。
- 選擇指數成長和衰減 > 擬合指數 3P。
這種選擇提供了一個合理的模型。
比較型號
模型比較報告（圖 2）提供了基本的效能指標。 型號清單按 AICc 排序。 最好的模型具有最小的 AICc。 請注意，第二好的模型的 AICc 高出 7.8，這表示資料的支援要少得多。
Figure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reportsFigure 2 Model Comparison reports圖2 模型比較報告
散點圖下方的預測模型報告（此處所示）提供了模型的形式以及適合數據的每個模型的參數解釋。
漸近線表示退化在給定的 LSL（較低規格等級）0.40 附近停止。負成長率表示每天衰減 0.125 個單位。 註：尺度與漸近線之和表示起始水平，0.394464+0.2653471=0.6598111。
逆預測
您可以執行逆向預測來確定到期時間。 從指數 3P 標題欄上的紅色小三角中選擇自訂逆預測。 使用 0.95 作為置信水準。 從下拉式選單中選擇“Lower One Sided”，輸入“濃度”0.40，然後按“確定”。圖 3 顯示了擬合的衰減曲線和點估計。 95% 信賴區間下限表示消毒劑必須在 26 天後丟棄並重新配製。
Figure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiryFigure 3 Inversion Prediction Plot to estimate expiry圖 3 用於估計到期時間的反轉預測圖
多個樣品
現在觀看擬合曲線平台聯合管理計劃在劑量反應曲線分析中使用特殊功能。 標準品和樣品劑量反應分析資料表。 圖 4 包括樣品類型（「標準」或「樣品」）的指示符（樣品）、濃度（Conc (ug/mL)）和對數濃度（Log Conc）、三個標準化重複測定以及平均測定（平均測定）。
Figure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data tableFigure 4 Partial listing of the Dose-Response Analysis data table圖4 劑量反應分析資料表的部分列表
跟隨：
- 選擇分析 > 專業建模 > 擬合曲線。
- 選擇平均測定並點擊 Y，響應。
- 選擇對數濃度並點選 X，回歸量。
- 選擇範例，按一下分組，然後按一下確定。
您可以在圖 5 中看到，兩個樣本的數據分別繪製在一起和單獨繪製（藍色是“標準”，紅色是“樣本”）。
Figure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log ConcFigure 5 Total and group plots for Mean Assay by Log Conc圖 5 按 Log Conc 的平均測定的總圖和分組圖
現在使用邏輯模型擬合資料：
- 從擬合曲線標題列上的紅色小三角中選擇 Sigmoid 曲線 > Logistic 曲線 > 擬合 Logistic 3P。
該模型考慮了兩條漸近線，這對於多項式模型來說是不可能的。 考慮一個更複雜的模型：
- 從擬合曲線標題列上的紅色小三角中選擇 Sigmoid 曲線 > Logistic 曲線 > 擬合 Logistic 4P。
此模型提供的額外靈活性更適合數據。
增加另一個參數可以實現漸近線的不對稱性：
- 從擬合曲線標題列上的紅色小三角中選擇 Sigmoid 曲線 > Logistic 曲線 > 擬合 Logistic 5P。
查看圖 6 的模型比較表，可以看到最好的模型是 Logistic 4P。 Logistic 3P 模型基本上沒有資料支援（增量 AICc 為 92.80 – 60.38 = 32.42）。 更靈活的 Logistic 5P 模型並沒有提供任何真正的改進。 AICc 權重有助於模型選擇（圖 6）。 您可以將此情況解釋為，假設三個擬合模型之一為真，則 Logistic 4P 為真模型的可能性為 83% (AICcWeight = .8259)。
Figure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P modelFigure 6 AICc results for Logistic 4P model圖 6 Logistic 4P 模型的 AICc 結果
由於樣本變數是分析中的群組變量，因此每個組別都有單獨的參數估計值集。
Figure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each groupFigure 7 Parameter estimates for each group圖 7 每組的參數估計
圖 8 顯示了基於擬合模型的曲線，這些曲線繪製在一起並為每組單獨繪製。 樣本的下漸近線似乎與標準的下漸近線不同。
Figure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample GroupsFigure 8 Fitted curves for total Mean Assay and Sample Groups圖 8 總平均含量和樣品組的擬合曲線
樣品和標準曲線看起來具有相似的形狀。 如果是這樣，則可以估計相對效力。 為此，請從 Logistic 4P 標題列上的紅色小三角選單中選擇測試並行性。
提供了兩個假設檢定。 兩項測試都將完整模型與簡化模型進行比較。 完整模型分別估計樣本和標準的每個參數。
簡化模型估計組合資料的每個參數（拐點除外）。 在此範例中，F 檢定顯著 (0.0219)，但 χ2 檢定在 α=0.05 時不顯著。 F 檢定結果可能是 I 類錯誤，也可能表示樣本和標準的下漸近線不同。
當判斷曲線平行時可以使用相對效力。 在這種情況下，樣本的效力與標準品的效力相似。 效力是對應於 EC50 反應的濃度對數。
JMP 提供了一種更新的方法來決定一般的相對形狀，特別是並行性，該方法基於每個參數的等效性測試。
較新的方法是基於兩種單側 t= 檢定 (TOST) 方法，但它以圖形方式呈現並帶有置信區間，以便於解釋。 樣品和標準的形狀參數估計值之比的置信區間應在被視為等效的範圍內。 拐點參數可能超出此範圍，表示相對效力發生變化。
要查看此方法：
- 從 Logistic 4P 標題列上的紅色小三角選單中選擇等效測試。
- 選擇“標準”作為參考組，然後按一下“確定”。
兩個單側 t= 檢定確定參數估計值是否超出預設的 25% 比率差異。很明顯，下漸近線與標準不等效，因此這些曲線不平行（圖 9）。 等價總結表證實了這一點。
Figure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence TestFigure 9 Graphical Results of TOST Equivalence Test圖 9 TOST 等價測試的圖形結果
參考
Burnham, Kenneth P. 和 Anderson, David R. (2002) 模型選擇與多模型推理：實用資訊理論方法（第二版），施普林格，紐約州，第 70 頁。
SAS Institute Inc. (2012)，建模和多元方法，北卡羅來納州卡里：SAS Institute Inc.
