«La classe de plans d'expériences la plus utilisée dans de nombreux laboratoires industriels est la factorielle à deux niveaux.» - Greenfield (1976). Cette déclaration audacieuse était vraie en 1976, et je ne serais pas surpris si c'était encore le cas aujourd'hui. Certes, les conceptions factorielles à deux niveaux sont une fonctionnalité standard dans un premier cours en conception expérimentale . Après avoir appris la conception factorielle complète, l’élève découvre des moyens d’éviter d’exécuter toutes les combinaisons possibles de paramètres de facteurs grâce à la conception factorielle fractionnée. Le sujet suivant est souvent comment exécuter des conceptions factorielles fractionnaires dans des groupes d’analyses (ou de blocs).
Le concepteur en sélection JMP fournit des conceptions bloquées orthogonalement pour les cas où le nombre de passages dans chaque bloc est une puissance de 2 (c'est-à-dire 2, 4, 8, 16, etc.). Le concepteur de la sélection et la plupart des textes qui introduisent des conceptions de sélection bloquées traitent les blocs comme fixes plutôt que de manière aléatoire.
Quelle est la différence entre des blocs fixes et aléatoires?
Une différence importante entre les blocs fixes et aléatoires est la manière dont ils entrent dans le modèle mathématique. Un bloc fixe est traité comme un facteur catégorique avec autant de niveaux qu'il y a de blocs. Une expérience avec un facteur de blocage fixe comportant 8 blocs nécessite l'ajustement de 7 paramètres.
En revanche, un facteur de blocage aléatoire nécessite l'ajustement d'un seul paramètre supplémentaire, la variance de bloc. Ainsi, l’avantage évident des blocs aléatoires est la possibilité d’adapter davantage d’effets de facteurs à un nombre donné de cycles.
Pouvez-vous donner un exemple?
Pour être plus spécifique, considérons un scénario expérimental impliquant quatre facteurs dans lesquels il est possible d'effectuer deux analyses par jour. L’équipe d’ingénierie a le sentiment que les courses qui se déroulent un jour donné sont plus semblables les unes aux autres qu’elles ne le sont comme des courses effectuées les autres jours. Ils veulent donc supprimer tous les effets quotidiens en bloquant la conception. L'équipe pourrait utiliser un modèle standard disponible via l'outil de conception de filtrage JMP. La figure 1 illustre les choix de conceptions pour quatre facteurs. Le dernier choix, une factorielle complète en 8 blocs de taille 2 correspond à notre scénario.
Notez cependant que la conception est la résolution IV. Cela signifie que toutes les interactions à deux facteurs ne peuvent être estimées indépendamment. Cela est compréhensible lorsque vous réfléchissez au nombre d’effets à estimer. Comme je l'ai mentionné précédemment, il y a 7 paramètres de bloc. Le modèle des effets principaux nécessite 5 paramètres supplémentaires - un pour le terme constant et 4 autres pour chaque effet de facteur linéaire. Il y a 6 interactions à deux facteurs, donc il y a 18 paramètres dans un modèle contenant tous ces effets. Vous ne pouvez pas contenir 18 inconnus avec seulement 16 courses. Il s'avère que la conception standard confond les interactions à deux facteurs avec les effets de bloc fixes.
Comment l'utilisation de blocs aléatoires va-t-elle aider?
Il semble que l’équipe technique ait un problème insurmontable s’ils veulent estimer toutes les interactions à deux facteurs tout en regroupant leurs expériences par blocs de deux analyses par jour. Des blocs aléatoires à la rescousse!
Il n'y a que 11 paramètres impliquant des effets de facteurs dans le modèle à blocs fixes. L'équipe d'ingénieurs peut traiter la variation quotidienne sur les 8 jours de l'expérience comme un échantillon aléatoire d'une population de jours. Pour ce faire, le modèle nécessite une estimation de la variance de bout en bout en quelques jours, ainsi qu'une estimation de la variance des processus au jour le jour. Ainsi, notre modèle de blocs aléatoires a 13 paramètres inconnus, ce qui est bien inférieur au nombre d'essais budgétisés.
Cette approche semble trop belle pour être vraie.
Habituellement, quand les choses semblent trop belles pour être vraies, elles le sont. Mais essayez de suivre vous-même les étapes ci-dessous pour vous convaincre que cela fonctionne vraiment.
Le concepteur personnalisé dans JMP permet de créer des conceptions optimales de blocs aléatoires. La figure 2 montre la configuration de notre scénario.
Vous pouvez voir que le modèle inclut tous les effets principaux et les interactions à deux facteurs. J'ai coché la case située sous le noeud hiérarchique de la génération de conception pour regrouper mes exécutions en blocs aléatoires de taille 2. Notez que j'ai également demandé 4 exécutions répliquées. Ceci est très utile dans ce cas car il permet de mieux estimer la variance d'erreur pure et la variance de bloc. Le tableau 1 montre la conception résultante.
J'ai généré les valeurs des réponses (colonne Y) à l'aide du choix Simuler les réponses du menu triangle rouge du concepteur personnalisé. Lorsque vous créez la table, vous voyez une fenêtre contenant les valeurs des coefficients.
Voici la véritable équation de prédiction:
Y = 34 - 9 X1 + 6 X2 + 5 X3 + 3 X1 X2 + 3 X1 X3 - 4 X2 X3 1)
J'ai ajouté des erreurs normales aléatoires indépendantes avec un écart-type de 2 à chaque bloc et une erreur normale aléatoire indépendante avec un écart-type de 1 pour chaque exécution.
Notez que tous les termes du modèle impliquant le facteur X4 sont manquants. C'est-à-dire que X4 n'est pas actif.
Le tableau 2 présente les estimations de paramètres obtenues.
Les coefficients de tous les termes contenant X4 ne sont pas significatifs. Si nous les supprimons du modèle, nous obtenons le modèle réduit présenté dans le tableau 3.
Comparez les coefficients ajustés avec leurs valeurs vraies dans l'équation 1.
La ligne du bas…
Les conceptions optimales de blocage aléatoire sont nouvelles et potentiellement très utiles. Cela est particulièrement vrai lorsque vous avez des blocs avec seulement 2 ou 3 pistes. L'utilisation de blocs fixes signifie que vous perdez un cycle par bloc pour estimer l'effet de bloc fixe. Cette perte d'un cycle par bloc n'est pas nécessaire si vous utilisez des blocs aléatoires. Cela signifie que vous pouvez adapter un modèle plus volumineux à un nombre de tirages réduit, ce qui vous permet d'économiser du temps et de l'argent.
