"Die in vielen Industrielaboren am häufigsten verwendete Klasse des experimentellen Designs ist die zweistufige Fakultät." - Greenfield (1976). Diese mutige Aussage war 1976 wahr, und ich wäre nicht überrascht, wenn sie heute noch wahr wäre. Zweistufige faktorielle Konstruktionen sind in einem ersten Kurs in der Regel eine Standardfunktion Experiment Design . Nach dem Erlernen des vollständigen faktoriellen Designs lernt ein Schüler, wie er durch das Verwenden von fraktionalen faktoriellen Designs jede mögliche Kombination von Faktoreinstellungen ausführen kann. Das nächste Thema ist häufig, wie fraktionelle faktorielle Entwürfe in Gruppen von Läufen (oder Blöcken) ausgeführt werden.
Der Screening-Designer in JMP bietet orthogonal blockierte Designs für Fälle, in denen die Anzahl der Läufe in jedem Block eine Potenz von 2 ist (dh 2, 4, 8, 16 usw.). Sowohl der Screening-Designer als auch die meisten Texte, die blockierte Screening-Designs einführen, behandeln die Blöcke nicht als zufällig, sondern als fixiert.
Was ist der Unterschied zwischen festen und zufälligen Blöcken?
Ein wichtiger Unterschied zwischen festen und zufälligen Blöcken besteht darin, wie sie in das mathematische Modell eintreten. Ein fester Block wird wie ein Kategoriefaktor mit so vielen Ebenen behandelt, wie Blöcke vorhanden sind. Ein Experiment mit einem festen Blockierungsfaktor von 8 Blöcken erfordert die Anpassung von 7 Parametern.
Im Gegensatz dazu erfordert ein zufälliger Blockierungsfaktor die Anpassung nur eines zusätzlichen Parameters, der Blockvarianz. Der offensichtliche Vorteil von Zufallsblöcken ist also die Möglichkeit, bei einer gegebenen Anzahl von Durchläufen mehr Faktoreffekte anzupassen.
Kannst du ein Beispiel geben?
Um genau zu sein, betrachten Sie ein experimentelles Szenario mit vier Faktoren, bei denen es möglich ist, täglich zwei Läufe durchzuführen. Das Entwicklungsteam ist der Meinung, dass die Läufe, die an einem bestimmten Tag stattfinden, einander ähnlicher sind als die Läufe, die an anderen Tagen ausgeführt werden. Sie möchten also jeden täglichen Effekt durch Blockieren des Designs entfernen. Das Team könnte ein Standarddesign verwenden, das über das JMP-Screening-Design-Tool verfügbar ist. Abbildung 1 zeigt die Auswahlmöglichkeiten für vier Faktoren. Die letzte Wahl, eine vollständige Fakultät in 8 Blöcken der Größe 2, entspricht unserem Szenario.
Beachten Sie jedoch, dass das Design die Auflösung IV ist. Dies bedeutet, dass nicht alle Zwei-Faktor-Wechselwirkungen unabhängig voneinander geschätzt werden können. Dies ist verständlich, wenn Sie daran denken, wie viele Effekte zu schätzen sind. Wie ich bereits erwähnt habe, gibt es 7 Blockparameter. Das Haupteffektmodell erfordert weitere 5 Parameter - einen für den konstanten Term und vier weitere für jeden linearen Faktoreffekt. Es gibt 6 Zwei-Faktor-Wechselwirkungen, also 18 Parameter in einem Modell, das alle diese Effekte enthält. Sie können nicht 18 Unbekannte mit nur 16 Durchläufen aufnehmen. Es zeigt sich, dass das Standarddesign die Zwei-Faktor-Wechselwirkungen mit den festen Blockeffekten verwechselt.
Wie hilft die Verwendung von Zufallsblöcken?
Es scheint, als hätte das Entwicklungsteam ein unüberwindliches Problem, wenn es alle Zwei-Faktor-Wechselwirkungen abschätzen möchte und dennoch seine Experimente in Blöcken von zwei Läufen pro Tag zusammenfasst. Zufällige Blöcke zur Rettung!
Es gibt nur 11 Parameter, die Faktoreffekte im festen Blockmodell betreffen. Das Entwicklungsteam kann die tägliche Variation der 8 Tage des Experiments als Stichprobe aus einer Population von Tagen behandeln. Das Modell dafür erfordert eine Schätzung für die Laufvarianz innerhalb von Tagen sowie eine Schätzung für die tägliche Prozessvarianz. Unser Zufallsblockmodell hat also 13 unbekannte Parameter, was günstiger ist als die Anzahl der budgetierten Läufe.
Dieser Ansatz klingt zu gut, um wahr zu sein.
Wenn die Dinge zu gut klingen, um wahr zu sein, sind sie es normalerweise. Führen Sie die folgenden Schritte jedoch selbst aus, um sich davon zu überzeugen, dass dies wirklich praktikabel ist.
Der Custom Designer in JMP bietet die Möglichkeit, optimale Random-Block-Designs zu erstellen. Abbildung 2 zeigt den Aufbau unseres Szenarios.
Sie sehen, dass das Modell alle Haupteffekte und Zwei-Faktor-Interaktionen enthält. Ich habe das Kontrollkästchen unter dem Gliederungsknoten "Design Generation" aktiviert, um meine Läufe in zufälligen Blöcken der Größe 2 zu gruppieren. Beachten Sie, dass ich auch nach 4 replizierten Läufen gefragt habe. Dies ist in diesem Fall sehr nützlich, da dadurch die reine Fehlervarianz und die Blockvarianz besser geschätzt werden kann. Tabelle 1 zeigt das resultierende Design.
Ich habe die Werte für die Antworten (Y-Spalte) mit der Option "Antworten simulieren" aus dem roten Dreieckmenü des benutzerdefinierten Designers generiert. Wenn Sie die Tabelle erstellen, wird ein Fenster mit den Werten für die Koeffizienten angezeigt.
Hier ist die wahre Vorhersagegleichung:
Y = 34 - 9 X1 + 6 X2 + 5 X3 + 3 X1 X2 + 3 X1 X3 - 4 X2 X3 1)
Ich fügte unabhängige zufällige Normalfehler mit einer Standardabweichung von 2 zu jedem Block und separat unabhängige zufällige Normalfehler mit einer Standardabweichung von 1 für jeden Lauf hinzu.
Beachten Sie, dass alle Modellbegriffe mit Faktor X4 fehlen. Das heißt, X4 ist nicht aktiv.
Tabelle 2 zeigt die resultierenden Parameterschätzungen.
Die Koeffizienten aller Terme, die X4 enthalten, sind nicht signifikant. Wenn wir sie aus dem Modell entfernen, wird das in Tabelle 3 gezeigte reduzierte Modell angezeigt.
Vergleichen Sie die angepassten Koeffizienten mit ihren wahren Werten in Gleichung 1.
Die Quintessenz…
Optimale zufällige Blockierungsentwürfe sind neu und möglicherweise sehr nützlich. Dies gilt insbesondere für Blöcke mit nur 2 oder 3 Durchläufen. Die Verwendung fester Blöcke bedeutet, dass Sie einen Durchlauf pro Block verlieren, um den festen Blockeffekt abzuschätzen. Dieser Verlust eines Durchlaufs pro Block ist nicht erforderlich, wenn Sie Zufallsblöcke verwenden. Das bedeutet, dass Sie ein größeres Modell mit einer kleineren Anzahl von Läufen einbauen können, was Zeit und Geld spart.
