¿Debería utilizar el análisis de componentes principales (ACP) o el análisis factorial exploratorio (AFE) en mi trabajo? Esta es una pregunta frecuente que enfrentan habitualmente los analistas que trabajan con datos multivariables, como científicos sociales, investigadores del consumo o ingenieros.
En esta publicación, comparto mi ejemplo favorito para explicar una diferencia clave entre el PCA y el EFA. Esta distinción permite explicar otras diferencias importantes y resulta útil para determinar qué técnica es la más adecuada para una aplicación determinada. Una elección incorrecta podría resultar en resultados engañosos o una interpretación incorrecta de los datos.
Un ejemplo ilustrativo
Comencemos creando datos que siguen una distribución normal estándar (adjunto un script JSL para todos los análisis de esta publicación, si desea seguirlo). En concreto, creo una tabla de datos con 1000 observaciones de cuatro variables no correlacionadas.
Podemos usar la plataforma Multivariante de JMP para analizar las correlaciones entre variables y confirmar su independencia. Me gusta especialmente usar el Mapa de Color de Correlaciones para ilustrar las correlaciones nulas fuera de la diagonal:
Figure 1. Correlation coefficients and corresponding heat map for four simulated variables. Figura 1. Coeficientes de correlación y mapa de calor correspondiente para cuatro variables simuladas. Ahora, podemos plantearnos una pregunta importante: ¿Cómo se verían los resultados si utilizo el ACP con estos datos? ¿Y cómo se verían los resultados si utilizo el AFE? Si no está seguro, siga leyendo.
Utilicemos la plataforma de Análisis Factorial de JMP para realizar simultáneamente un ACP y un AFE con estos datos. Conservaré solo un componente/factor porque tenemos pocas variables. Esto también elimina la necesidad de rotación.
Las cargas de los componentes o factores de los análisis son cruciales para comprender la representación del componente o factor; las variables con cargas altas (generalmente definidas como 0,4 en valor absoluto o superior, ya que esto sugiere que al menos el 16 % de la varianza de la variable medida se superpone con la varianza del factor) son las más representativas del componente o factor. A continuación, podemos comparar las cargas de los componentes resultantes (mostradas primero) con las cargas factoriales (mostradas después).
Figure 2. Component and factor loadings from a principal components analysis and exploratory factor analysis on four simulated variables that are uncorrelated.Figura 2. Cargas de componentes y factoriales de un análisis de componentes principales y un análisis factorial exploratorio en cuatro variables simuladas que no están correlacionadas.
¡Podemos ver que los resultados son sorprendentemente diferentes! El ACP nos arrojó tres cargas superiores a 0,4 en valor absoluto, mientras que el AFE no arrojó ninguna. ¿Por qué? Porque al realizar el AFE, implícitamente solicitamos un análisis en una matriz de correlación reducida , para la cual las de la diagonal se han reemplazado por correlaciones múltiples al cuadrado (CML). De hecho, un vistazo rápido al Mapa de Color de Correlaciones de la matriz de correlación reducida explica por qué se obtendrían resultados tan diferentes:
Figure 3. Heat map of reduced correlation matrix, where unities in the diagonal have been replaced by squared multiple correlations.Figura 3. Mapa de calor de la matriz de correlación reducida, donde las unidades en la diagonal han sido reemplazadas por correlaciones múltiples al cuadrado.
En este ejemplo, cada entrada de la matriz de correlación reducida es muy pequeña (¡casi cero!). Los valores reales son 0,002, 0,002, 0,004 y 0,001). En el ACP, se realiza una descomposición en valores propios de la matriz de correlación completa (Figura 1); sin embargo, para el AFE, la descomposición en valores propios se realiza en la matriz de correlación reducida (Figura 3). Las diferencias en los datos analizados ayudan a explicar las diferencias entre los análisis, pero nada de esto nos dice qué significan dichas diferencias desde un punto de vista práctico.
Significado práctico del análisis de una matriz de correlación completa frente a una reducida
PCA y EFA tienen objetivos diferentes: el PCA es una técnica para reducir la dimensionalidad de los datos, mientras que el EFA es una técnica para identificar y medir variables que no pueden medirse directamente (es decir, variables latentes o factores). Por lo tanto, en el PCA, toda la varianza de los datos —reflejada por la matriz de correlación completa— se utiliza para obtener una solución, y los componentes resultantes son una combinación de lo que las variables pretendían medir y otras fuentes de varianza, como el error de medición (véase el panel izquierdo de la Figura 4).
Por el contrario, en el AFE no toda la varianza de los datos proviene de la variable latente subyacente (véase el panel derecho de la Figura 4). Esta característica se refleja en el algoritmo del AFE al reducir la matriz de correlación con los valores de SMC. Esto es apropiado porque un SMC es la estimación de la varianza que el o los factores subyacentes explican en una variable dada (también conocida como comunalidad). Si realizáramos el AFE con unidades en la diagonal, estaríamos diciendo implícitamente que los factores explican toda la varianza de las variables medidas, y estaríamos utilizando un ACP en lugar de un AFE.
Figure 4. Graphic comparison of principal components analysis and exploratory factor analysis.Figura 4. Comparación gráfica del análisis de componentes principales y el análisis factorial exploratorio.
La Figura 4 también ilustra otra distinción importante entre el ACP y el AFE. Nótese que las flechas en el ACP apuntan desde las variables medidas hacia el componente principal, mientras que en el AFE es al revés. Las flechas representan relaciones causales, de modo que la variabilidad de las variables medidas en el ACP causa la varianza en el componente principal. Esto contrasta con el AFE, donde el factor latente se considera la causa de la variabilidad y el patrón de correlaciones entre las variables medidas (Marcoulides y Hershberger, 1997).
En aras de la claridad, es importante que esboce algunas observaciones más. Primero, la mayoría de los datos multivariados están correlacionados hasta cierto punto, por lo que las diferencias entre el ACP y el AFE no tienden a ser tan marcadas como las de este ejemplo. Segundo, a medida que aumenta el número de variables involucradas en el análisis, los resultados del ACP y el AFE se vuelven cada vez más similares. Los investigadores han argumentado que los análisis con al menos 40 variables conducen a diferencias menores (Snook y Gorsuch, 1989). Tercero, si la comunalidad de las variables medidas es alta (es decir, se acerca a 1), entonces los resultados entre el ACP y el AFE también son similares. Finalmente, este ejemplo favorito mío se basa en el uso del método de factorización del "Eje Principal", pero existen otros métodos de estimación para los cuales los resultados variarían. Todas estas observaciones deben tenerse en cuenta cuando los analistas hacen la elección entre el AFE y el ACP. Pero quizás lo más importante para los psicometristas (aquellos que desarrollaron el AFE en primer lugar) es el hecho de que el AFE postula una teoría sobre las variables que se analizan; una teoría que se remonta a Spearman (1904) y sugiere que factores no observados determinan lo que podemos medir directamente.
A continuación enumeraré algunos puntos clave, pero tenga en cuenta que una excelente fuente para seguir aprendiendo sobre este tema es Widaman (2007).
Puntos clave
- El PCA es útil para reducir el número de variables y al mismo tiempo conservar la mayor cantidad de información en los datos, mientras que el EFA es útil para medir variables no observadas (latentes) y libres de errores.
- Cuando las variables no tienen nada en común, como en el ejemplo anterior, el EFA no encontrará un factor subyacente bien definido, pero el PCA encontrará un componente principal bien definido que explique la cantidad máxima de varianza en los datos.
- Cuando el objetivo es medir una variable latente sin errores, pero se utiliza el ACP, las cargas de los componentes probablemente serán mayores que si se hubiera utilizado el AFE. Esto podría inducir a error a los analistas, quienes pensarían que tienen un factor bien definido y sin errores, cuando en realidad tienen un componente bien definido que es una amalgama de todas las fuentes de varianza en los datos.
- Cuando el objetivo es obtener un pequeño subconjunto de variables que conserven la mayor variabilidad en los datos, pero se utiliza el AFE, las cargas factoriales probablemente serán menores que si se hubiera utilizado el ACP. Esto podría inducir a error a los analistas, quienes pensarían que mantuvieron la máxima varianza en los datos, cuando en realidad mantuvieron la varianza común a las variables medidas.
- La diferencia entre el ACP y el AFE es relevante para los análisis que amplían estas técnicas, como el modelado de ecuaciones estructurales (SEM). El SEM de mínimos cuadrados parciales (PLS-SEM) modela las relaciones estructurales entre las variables componentes, mientras que el SEM basado en la covarianza modela las relaciones estructurales entre las variables latentes sin errores.
Referencias
Marcoulides, GA, y Hershberger, SL (1997). Métodos estadísticos multivariantes: Un primer curso . Psychology Press.
Snook, SC, y Gorsuch, RL (1989). Análisis de componentes versus análisis factorial común: Un estudio de Monte Carlo. Boletín Psicológico , 106 , 148-154.
Spearman, C. (1904). «Inteligencia general», determinada y medida objetivamente. La Revista Americana de Psicología , 15 , 201-293.
Widaman, KF (2007). Factores comunes versus componentes: Principios, errores y conceptos erróneos. Análisis factorial a los 100: desarrollos históricos y direcciones futuras , 177-203.
@Peter_Hersh Creo que sería más apropiado decir que el Análisis de Correspondencias Múltiples (MCA) es similar al PCA para variables categóricas. Además, la teoría de respuesta al ítem (TRI) es comparable al análisis factorial [confirmatorio] (AFC) para variables categóricas [observadas], y el ACV es como el TRI pero con variables latentes categóricas.
Para aclarar más, en EFA no se conoce a priori la estructura "configuracional" de los datos. Es decir, ¿qué variables observadas son causadas por las variables latentes? En cambio, en el CFA esto se sabe y el analista especifica el modelo según ese conocimiento. Esto último también es válido para IRT y LCA.
También podemos distinguir todas estas técnicas en función de su capacidad para estimar variables latentes. Desde esta perspectiva, EFA, CFA, IRT y LCA son modelos para estimar variables latentes "legítimas". Utilizo la palabra legítimo porque las variables latentes en estos modelos causan las variables observadas. Por otro lado, MCA y PCA son modelos de reducción de dimensiones, sin entender que una variable no observada/latente causa las variables observadas.
