나는 실험계획법(DoE)을 명확하게 설명하고 싶습니다. 간단한 설명이 포함된 일련의 게시물 사람들이 시작할 때 혼란스러울 수 있는 일부 용어와 개념에 대해 설명합니다. ~ 안에 이 시리즈의 첫 번째 게시물 , 우리는 다중 요인 시스템에서 광대한 가능성 공간의 과제를 살펴보고 요인, 반응 및 완전 요인 설계의 개념을 소개했습니다. ~ 안에 두 번째 게시물 ,우리는 시각적 및 통계적 모델을 사용하여 요인 상호 작용을 포함한 프로세스의 동작을 어떻게 이해할 수 있는지 살펴보았습니다. ~ 안에 세 번째 게시물 , 효율적인 실험에서 얻은 데이터를 사용하여 프로세스 모델을 구축하는 방법을 보여주고 다중 선형 회귀, 주 효과 및 2차 효과의 의미를 설명했습니다.
우리는 GC-MS 분석 시스템에서 LVI(Large Volume Injector)를 설정하는 방법을 이해해야 하는 실제 사례 연구를 통해 이 모든 것을 설명했습니다. 목표는 물 샘플에서 낮은 수준의 오염물질 검출을 최적화하는 것입니다. 이번 포스팅에서는 명확성에 관해 이야기하는 것이 적절할 것 같습니다.
여기서 명확성에 대해 이야기할 때 다양한 요소(주입량, 주입 속도 등)가 응답(모든 피크 높이의 합)에 미치는 영향에 대한 명확성을 의미합니다. 우리가 소개한 26회 실험이 어떻게 이러한 명확성을 거의 유일하게 제공할 수 있는지 살펴보겠습니다.
대조적으로, 이해가 명확하지 않은 데이터의 예도 살펴보겠습니다. 그 과정에서 직교성, 교란 및 앨리어싱에 대해 설명하겠습니다. 나는 이러한 개념에 대한 이해를 명확하게 하고 싶습니다. 그러므로 우리는 간단하게 시작해야 합니다.
상관 효과, 직교성, 앨리어싱 및 교란의 간단한 예
LVI 설정의 처음 두 가지 요소와 세 가지 다른 실험 설계에 대해 생각해 보겠습니다.
플롯의 각 점은 세 가지 실험 중 하나의 실행을 나타냅니다.
- 설계 #1은 두 요인의 세 가지 수준(낮음, 중간, 높음 또는 L, M, H)에 대한 완전 요인입니다.
- 디자인 #2는 동일하지만 LH와 HL의 두 조합이 제거되었습니다.
- 디자인 #3에는 LL, MM 및 HH 조합만 있습니다.
가능성 공간의 적용 범위는 #1에서 #2, #3으로 확실히 줄어듭니다. 또 바뀌고 있는 점은 상관관계 우리의 요인 중.
완전 계승은 요인들 사이에 상관관계가 0입니다. 디자인이라고 하더군요 직교 이러한 요인의 주요 선형 효과에 대한 것입니다. #2에 대한 신뢰 타원은 중간 정도의 상관 관계를 갖기 때문에 더 빡빡합니다. 아르 자형 , 0.5. 우리는 있다고 말합니다 부분 앨리어싱 이 디자인의 이러한 효과 사이. #3의 밀도 타원은 완벽한 상관 관계(r = 1)가 있기 때문에 붕괴되어 아무것도 없습니다. 우리는 주요 효과가 다음과 같다고 말합니다. 완전히 앨리어싱됨 또는 혼란스러운 이 디자인에서.
이 앨리어싱의 결과는 무엇입니까? 이를 입증하기 위해 우리는 각 설계의 각 실행에 대한 일부 응답 데이터를 시뮬레이션했습니다. 이제 플롯의 점에는 실행에 대한 반응 값인 SimResp가 표시됩니다.
디자인 #1의 숫자만 봐도 Vol(Inj)와 Speed(Inj)를 변경하는 것이 응답에 미치는 영향을 알 수 있습니다. 디자인 #2에서도 이에 대한 감각을 얻을 수 있지만 명확하지는 않습니다.
디자인 #3의 데이터에서 두 가지 요인의 효과를 이해하려고 하면 명백한 문제가 있습니다. 요인의 효과를 분리하는 것은 불가능합니다. 한 요인에 대한 각 변경 사항은 다른 요인의 변경 사항과 정확하게 일치했습니다. 우리가 이것을 혼란스럽다고 부르는 이유를 알 수 있습니다! 우리는 요인의 효과에 대한 명확성이 완전히 부족하여 프로세스에 대한 이해가 부족합니다.
이 시리즈의 이전 게시물에서 설명한 것처럼 요인의 효과를 이해하는 가장 좋은 방법은 모델을 피팅하는 것입니다. 각 설계의 데이터에 주효과 모델을 적용합니다. – 아니면 적어도 우리는 노력할 것입니다.
디자인 #3의 경우 두 요인의 주효과를 사용하여 모형을 적합하는 것이 불가능하며 다음을 얻습니다. 특이 이 모델을 적합하려고 할 때 경고 JMP :
이는 우리가 하나의 효과 또는 다른 효과를 맞출 수 있지만 둘 다를 맞출 수는 없음을 알려줍니다.
설계 #1과 #2의 데이터에서 주효과 모델을 맞출 수 있습니다. 프로파일러 플롯은 다음과 같습니다.
Profiler plot of main effects model from Design #1.Profiler plot of main effects model from Design #1.Profiler plot of main effects model from Design #1.Profiler plot of main effects model from Design #1.디자인 #1의 주효과 모델에 대한 프로파일러 플롯.
Profiler plot of main effects model from Design #2.Profiler plot of main effects model from Design #2.Profiler plot of main effects model from Design #2.Profiler plot of main effects model from Design #2. 디자인 #2의 주효과 모델에 대한 프로파일러 플롯.
이 도표에는 요인의 실제 효과에 대한 불확실성을 나타내는 신뢰 구간이 포함되어 있습니다. 우리 모델은 결국 추정일 뿐입니다. 효과를 나타내는 선이 신뢰 구간의 음영 처리된 대역 내에 있을 것으로 예상합니다. 디자인 #2 모델의 경우 효과에 대한 불확실성이 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 이는 부분적으로 데이터가 적기 때문이기도 하지만(7회 실행 대 9회 실행) 효과의 부분적 앨리어싱 때문이기도 합니다. 이것은 때때로 호출됩니다. 변동 인플레이션 .
집에 가져갈 메시지:
- 직교 실험 설계를 통해 요인의 효과에 대해 가장 명확하게 알 수 있습니다.
- 일부 앨리어싱에 대처할 수 있습니다. 효과에 대해 배울 수 있지만 정확도는 떨어집니다.
- 교락요인의 효과에 대해서는 알 수 없습니다.
명확성을 위한 실험적 디자인
이제 26개 실행 설계를 고려해 보겠습니다.
다음 플롯은 처음 세 가지 요인의 산점도 행렬입니다.
산점도 행렬은 모든 변수 쌍에 대한 산점도를 표시합니다. 이는 이러한 요인의 모든 쌍 사이에 0의 상관 관계를 보여줍니다. 설계는 이러한 주효과에 대해 직교합니다. 이러한 각 효과에 대한 우리의 이해는 다른 효과와 혼동되지 않습니다. 지금까지는 좋은 디자인처럼 보입니다.
상관 색상 맵을 사용하면 효과의 상관 관계를 보다 효율적으로 표현할 수 있습니다.
이 지도에는 산점도 행렬과 동일한 9개의 정사각형이 있습니다. 이제 한 쌍의 효과의 상관관계가 사각형의 색상으로 표시됩니다. 주효과 간의 상관관계 부족은 여기 옅은 파란색 사각형으로 표시됩니다. 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단까지 진한 파란색 대각선은 각 효과 자체와의 상관 관계(물론 1!)이며 완전성을 위해 존재합니다.
상관 관계를 보다 효율적으로 표현하면 모든 주효과를 볼 수 있습니다.
연속 주효과는 모두 서로 직교합니다. 이것이 가져오는 명확성은 이러한 26개의 실행이 유용한 디자인을 만드는 주요 이유 중 하나입니다. 라이너 아래의 약간 더 어두운 파란색 사각형은 다른 주효과(r = 0.0836)와 함께 범주형 라이너 효과의 부분적 앨리어싱이 있음을 나타냅니다. 이는 걱정할 필요가 없습니다. 실제로 직교 설계(2.5% 이하)에 비해 신뢰 구간이 얼마나 커지는지 계산할 수 있습니다.
또한 모든 주 효과와 2차 효과에 대한 상관 색상 맵을 볼 수도 있습니다[1]. 아래의 색상 맵은 해석을 돕기 위해 오른쪽 플롯에 두 개의 사각형을 표시한 것을 제외하고는 동일합니다.
오른쪽 위 사분면의 연한 파란색 영역은 주효과와 2차 효과 간의 상관관계를 나타냅니다. 예를 들어, 주입량 Vol(Inj)와 Vol(Inj)*Vol(Inj)의 주효과와 2차 효과 사이에는 상관관계가 0이라는 것을 알 수 있습니다. 맵은 모든 2차 효과와 모든 주효과 사이에 0의 상관관계가 있음을 보여줍니다. 2차 효과와 주효과는 서로 직교합니다. 이것은 우연이 아닙니다. 다시 말하지만, 이것이 실험 설계를 선택한 이유 중 하나였습니다.
오른쪽 아래의 더 강한 파란색은 2차 효과 내에서 더 높은 상관 관계를 나타냅니다. 예를 들어, 주입량과 주입 속도의 2차 효과 Vol(Inj)*Vol(Inj) 및 Speed(Inj)*Speed(Inj) 사이에는 0.4091의 상관관계가 있음을 알 수 있습니다. 맵은 모든 2차 효과 사이에 0.4091의 동일한 상관 관계가 있음을 보여줍니다. 2차 효과는 서로 부분적으로 앨리어싱됩니다. 이것이 바로 이 상황에서 우리가 받아들일 수 있는 타협입니다. 이는 우리가 약간의 정확도만으로 요인의 중요한 곡선적 동작을 이해할 수 있어야 함을 의미합니다. 중요한 것은 우리가 보고 있는 효과에 혼란이 없다는 것입니다.
우리는 26회 실험 설계의 데이터가 효과의 최소 상관 관계로 인해 프로세스의 중요한 동작에 대한 이해를 어떻게 명확하게 할 수 있는지 확인했습니다. 다음과 같은 소프트웨어의 방법 없이 JMP , 상대적으로 적은 수의 실행과 이러한 유용한 상관 관계 속성을 모두 갖춘 실험 계획을 찾는 것은 어려울 것입니다.
진흙처럼 맑은
계획 없이 데이터를 수집하면 필연적으로 더 많은 상관관계가 발생하여 시스템 동작을 주도하는 요소를 이해하기가 더 어려워집니다. 전형적인 예는 다음과 같은 계량경제적 데이터(Longley 데이터 세트)입니다. JMP 샘플 데이터 디렉터리에서 사용 가능 
y는 고용의 척도이고 x1~x6은 잠재적 예측 변수입니다(x6은 역년인 것으로 나타남). 주효과에 대한 상관 색상 맵은 1에 매우 가까운 x1, x2, x5 및 x6 간의 상관 관계를 보여줍니다.
요인의 효과에 대한 이해에 미치는 영향은 전체 주효과 모델의 프로파일러 플롯에서 확인할 수 있습니다.
가장 넓은 신뢰 구간은 가장 상관 관계가 높은 효과에 대한 신뢰 구간이며, 상관 관계가 높은 요인이 있는 데이터에서 시스템을 이해하려는 어려움을 보여줍니다. 예를 들어, 모델은 x2가 증가함에 따라 y가 감소한다고 추정하지만 신뢰 구간은 해당 요인의 효과가 매우 긍정적일 수도 있음을 나타냅니다. 우리는 x2의 효과에 대해 거의 아무것도 모릅니다.
우리는 우리의 프로세스와 시스템을 명확하게 이해하고 싶다면 우리가 관심을 갖는 효과 사이에 최소한의 상관관계가 있는 실험에서 데이터를 생성해야 한다는 것을 확인했습니다. 우리는 상관관계 색상 맵이 이러한 측면에서 디자인이 얼마나 좋은지 이해하기 위한 강력한 시각적 도구라는 것을 확인했습니다. 지금까지 주효과와 2차 효과만 살펴보았습니다. 이전에 언급한 상호 작용과 같은 더 복잡한 동작은 어떻습니까? 이 시리즈의 다음 게시물에서는 이러한 효과를 살펴보고 이러한 복잡한 동작으로 인해 시스템에 대한 이해가 흐려지지 않도록 하려면 실험에서 26번의 실행이 왜 좋은 선택인지 알아보겠습니다.
노트
[1] 2차 효과의 상관 관계를 수동으로 확인하려는 경우 몇 가지 단계가 있습니다. 예를 들어, X1과 X2라는 두 요인의 2차 효과 상관 관계를 살펴보고 싶다고 가정해 보겠습니다. 먼저 요인이 동일한 규모가 되도록 다시 코드화해야 합니다. -1부터 +1까지의 범위로 요인을 코딩하는 것이 일반적입니다. -1은 범위의 가장 낮은 설정이고 0은 중간점, +1은 가장 높은 값입니다. DoE 관련 책에서 이 코딩을 자주 볼 수 있습니다. 이러한 방식으로 코딩된 요인을 사용하면 2차 효과 X1*X1 및 X2*X2를 계산하고 상관 관계를 확인할 수 있습니다. 상호작용을 포함한 다른 고차 효과를 살펴볼 때도 마찬가지입니다. 다음과 같은 DoE 소프트웨어 도구 JMP에서의 설계 평가 를 사용하면 이러한 단계를 거치지 않고도 효과의 상관 관계를 평가할 수 있습니다.
Why DoE에 대한 이 시리즈의 게시물을 놓치셨나요? 괜찮아요. 보다 시리즈 전체는 여기 .
안녕 @아시어 ,
예, 이것이 얼마나 모순처럼 보이는지 알 수 있습니다. 예측 변수(요인) 간의 상관관계는 좋지 않지만 모델은 좋은 예측을 할 수 있습니다. 사실 모순이 없습니다. 모델이 적합하지 않고 상관 관계가 심한 예측 변수를 가질 이유가 없습니다.
상관 요인의 문제는 좋은 예측을 할 수 없다는 의미가 아닙니다. 상관 요인의 문제는 각 요인의 효과를 제대로 이해할 수 없다는 것입니다.
이 경우 X를 알면 Y(고용)를 잘 예측할 수 있습니다. 그러나 우리가 할 수 없는 것은 각 X의 효과가 무엇인지 이해하는 것입니다.
따라서 요인의 상관 구조는 잘 맞는 모델을 구축하고 정확한 예측을 하는 능력에 대해 아무 것도 알려주지 않습니다. 이는 각 요인의 개별 효과를 얼마나 정확하게 측정할 수 있는지 알려줍니다.
도움이 되었기를 바랍니다.
필
안녕하세요 필,
나는 DoE에 관한 이 훌륭한 시리즈를 다시 읽고 있었는데 또 다른 질문이 내 마음에 떠올랐습니다.
귀하의 분석을 재현하기 위해 Longley 데이터를 사용했습니다. 여기서 언급한 요인들 간에 동일한 상관 관계가 있지만 피팅에 대한 그래프(실제 대 예측)를 보고 놀랐습니다. 아래 피팅이 이렇게 잘 맞고 신뢰 구간이 좁은 것을 본다면 주저 없이 모델이 매우 좋다고 가정할 것 같습니다. 그러나 귀하의 분석과 프로파일러를 통해 x1, x2 및 x5 효과의 영향에 대해 거의 알지 못하는 것으로 나타났습니다.
이 "모순"의 이유는 무엇입니까? 나는 이 "명백한 모순"에 대한 타당한 수학적 이유가 있다고 확신합니다.
감사해요
아시아인
Asier님, 귀하의 의견과 긍정적인 피드백에 감사드립니다.
예, 효과의 상관관계를 살펴보는 것은 실험을 실행하고 반응 데이터를 수집하기 전에 수행할 수 있는 작업입니다. 우리는 효과의 상관관계를 살펴볼 때 반응을 전혀 고려하지 않습니다.
강한 상관 관계가 있는 효과가 있는 경우 추가 실행을 통해 데이터를 늘려 상관 관계를 줄일 수 있습니다. JMP의 DOE 메뉴에 있는 증강 설계 플랫폼은 이를 위한 도구를 제공합니다.
추가 실행을 수집할 수 없는 경우 모델링에 대한 몇 가지 유용한 접근 방식이 있습니다. PCA(주성분 분석)를 사용하여 직교(상관 관계 없음) 변수의 수를 줄일 수 있습니다. 이러한 주성분은 원래 변수의 조합입니다. 예를 들어, 위의 계량경제학 데이터의 x1, x2, x5 및 x6은 모두 서로 강한 상관관계가 있기 때문에 효과적으로 단일 주요 구성 요소로 결합됩니다. 그런 다음 주성분을 모델의 변수로 사용할 수 있습니다. 종종 주성분은 시스템의 기본 원인 요소를 설명하는 "잠재" 변수로 해석될 수 있습니다.
그러나 마법은 없습니다. 효과의 상관관계가 높을수록 효과를 더 잘 이해할 수 없게 됩니다.
이게 도움이 되길 바란다.
문안 인사,
필
안녕하세요 필,
DOE에 관한 일련의 게시물을 작성하신 것을 축하드립니다. 나는 그것이 DOE에 대해 정말 훌륭하고 명확하며 설명적이라고 생각합니다. 나는 개인적으로 DOE의 개념이 복잡하지는 않지만 개념에 대한 수학과 실제 이해가 그렇게 쉽지 않으며 특히 서적 사례 연구에서 실제 문제로의 전환이 쉽지 않다는 것을 알았습니다.
요인의 상관관계 또는 교란에 관한 주제에 대해 한 가지 질문이 있습니다. 나는 개념을 이해하고 있으며 올바르게 이해하고 있습니다. 이 상관 관계 또는 교란은 실행이 실제로 완료되기 전에 계산될 수 있으므로(측정) 앞에 있는 실험(실행 집합)이 좋은지 알 수 있습니다. 당신의 문제를 잘 이해하십시오.
좋은 예는 일부 요인(X1-X2 및 X5-X6) 사이에 심각한 상관 관계가 있음을 컬러 맵에서 알 수 있는 계량 경제학 데이터 예입니다.
측정된 데이터(응답 Y)를 얻기 전에 이 색상 맵을 결정할 수 있는지 확인해 주시겠습니까? 그렇다면 컬러 맵은 요인 정보에서만 생성됩니까(따라서 이에 대한 응답은 필요하지 않습니다)?
그리고 이것을 알고 나면 실제로 무엇을 할 수 있습니까?
실제로 실험을 설계하는 경우 JMP가 상관관계를 최소화하는 요인 설정을 제공하는 데 도움이 될 수 있다고 생각합니다(이게 맞나요?).
하지만 기존 데이터(계량 측정 데이터)를 사용하여 자체 연구를 수행하는 경우 모델이 실제 정보가 거의 없이 "진흙처럼 명확"하다는 점을 아는 것보다 더 할 수 있는 다른 작업이 있습니까? 요인 X1, X2 및 X5의 영향(Y1에 부정적인 또는 긍정적인 영향이 있을 수 있음)에 대해 설명합니까?
이 시리즈에 다시 한번 감사드립니다. 정말 훌륭하다고 생각하며 DOE에서 뭔가를 하려는 누구에게나 추천하고 싶습니다.
아시아어
