実験計画法 (DoE) を分かりやすく説明したいと思います。簡単な説明付きのシリーズ投稿初心者が混乱する可能性のある用語や概念のいくつかを説明します。 でこのシリーズの最初の投稿では、多因子系における広大な可能性空間の課題に注目し、因子、応答、完全要因計画法の概念を導入しました。 で2番目の投稿では、視覚的および統計的モデルを使用して、因子の相互作用を含むプロセスの動作を理解する方法を検討しました。 で3番目の投稿では、効率的な実験からのデータを使用してプロセスのモデルを構築する方法を示し、重回帰、主効果、二次効果の意味について説明しました。
これらすべてを、GC-MS 分析システムで大容量インジェクター (LVI) を設定する方法を理解する必要がある実際のケース スタディで説明しました。 目的は、水サンプル中の低レベルの汚染物質の検出を最適化することです。 この投稿では明確さについて話すのが適切だと思われます。
ここで明確性について話すときは、さまざまな要因 (射出量、射出速度など) が応答 (すべてのピーク高さの合計) に与える影響についての明確性を意味します。 私たちが紹介した 26 回の実験が、どのようにしてほぼ唯一の方法でこの明確さを提供できるのかを見ていきます。
対照的に、理解を明確にしないデータの例も見ていきます。 その過程で、直交性、交絡、エイリアシングについて説明します。 これらの概念についての理解を明確にしておきたいと思います。 したがって、簡単に始める必要があります。
相関効果、直交性、エイリアシング、交絡の簡単な例
まずは、LVI セットアップの最初の 2 つの要素と、これら 3 つの異なる実験計画について考えてみましょう。
プロット上の各点は、3 つの実験のうちの 1 つの実行を表します。
- 計画 #1 は、2 つの因子の 3 つの水準 (低、中、高、または L、M、H) の完全な階乗です。
- デザイン #2 は同じですが、LH と HL の 2 つの組み合わせが削除されています。
- デザイン #3 には、LL、MM、HH の組み合わせのみがあります。
可能性空間の範囲は、#1、#2、#3 と明らかに減少しています。 もう一つ変化しているのは、相関私たちの要因の。
完全な階乗では、因子間の相関が 0 になります。 私たちが言うデザインとは、直交これらの要因の主な線形効果について。 #2 の信頼楕円は、相関が中程度であるため、より緊密になっています。 r 、0.5の。 あると言います。部分的なエイリアシングこのデザインのこれらの効果の間。 完全な相関 (r = 1) があるため、#3 の密度楕円は完全に崩壊しています。 主な効果は次のとおりであると言われています。完全に別名化されたまたは混乱したこのデザインでは。
このエイリアスの影響は何でしょうか? これを実証するために、各設計の実行ごとにいくつかの応答データをシミュレートしました。 プロット内の点には、実行の応答 SimResp の値がラベル付けされます。
デザイン #1 の数値を見るだけで、Vol(Inj) と Speed(Inj) の変更が応答に及ぼす影響を把握することができます。 デザイン #2 からもこのことを理解できるかもしれませんが、それほど明確ではありません。
設計 #3 のデータから 2 つの要因の影響を理解しようとする場合、明らかな問題があります。要因の影響を分離することは不可能です。 1 つの要素に加えた各変更は、他の要素の変更と正確に一致しました。 これを交絡と呼ぶ理由がわかります。 私たちは要因の影響について完全に明確にしておらず、したがってプロセスの理解も不十分です。
このシリーズの以前の投稿で説明したように、要因の影響を理解する最良の方法は、モデルを当てはめることです。 主効果モデルを各設計のデータに適合させます–あるいは少なくとも私たちはそうするつもりです。
設計 #3 の場合、両方の要因の主効果をモデルに当てはめることは不可能であり、次の結果が得られます。特異点このモデルを当てはめようとしたときの警告JMP :
これは、どちらかの効果を適合させることはできるが、両方を適合させることはできないことを示しています。
設計 #1 と #2 のデータから主効果モデルを当てはめることができます。 プロファイラーのプロットは次のとおりです。
Profiler plot of main effects model from Design #1.Profiler plot of main effects model from Design #1.Profiler plot of main effects model from Design #1.Profiler plot of main effects model from Design #1.設計 #1 の主効果モデルのプロファイラー プロット。
Profiler plot of main effects model from Design #2.Profiler plot of main effects model from Design #2.Profiler plot of main effects model from Design #2.Profiler plot of main effects model from Design #2.設計 #2 の主効果モデルのプロファイラー プロット。
これらのプロットには、要因の真の効果についての不確実性を表す信頼区間が含まれています。 結局のところ、私たちのモデルは単なる推定値にすぎません。 効果を表す線が信頼区間の影付きの帯域内にあることが予想されます。 設計 #2 のモデルの場合、効果についての不確実性がより大きいことがわかります。 これは、データが少なかったこと (9 回の実行に対して 7 回の実行) が原因の 1 つですが、効果の部分的なエイリアシングも原因です。 これは時々呼ばれます分散インフレ。
持ち帰りのメッセージ:
- 直交実験計画を使用すると、因子の影響が最も明確になります。
- 多少のエイリアシングには対処できますが、その影響については知ることができますが、精度は低くなります。
- 複雑な要因の影響については知ることができません。
明確にするための実験計画
次に、26 回の実行計画を考えてみましょう。
次のプロットは、最初の 3 つの因子の散布図行列です。
散布図マトリックスには、変数のペアごとに散布図が表示されます。 これは、これらの因子のすべてのペア間の相関が 0 であることを示しています。計画はこれらの主効果に対して直交しています。 これらのそれぞれの効果についての私たちの理解には、他の効果との混同はありません。 今のところ、これは良いデザインのように見えます。
相関カラー マップを使用すると、効果の相関関係をより効率的に表現できます。
このマップには、散布図マトリックスと同じ 9 つの正方形があります。 効果のペアの相関関係が四角形の色で表されるようになりました。 主効果間に相関関係がないことが、ここの淡い青色の四角で見られます。 左上から右下への濃い青色の対角線は、各効果とそれ自体の相関関係 (もちろん 1 つです!) であり、完全を期すためにあります。
この相関関係のより効率的な表現により、すべての主効果を調べることができます。
連続主効果はすべて互いに直交しています。 これによってもたらされる明確さは、これら 26 回の実行によって非常に有用なデザインが得られる主な理由の 1 つです。 Liner の下のわずかに濃い青色の四角形は、カテゴリ別 Liner 効果と他の主効果との部分的なエイリアシングがあることを示しています (r = 0.0836)。 これは心配する必要はありません。 実際、これによって信頼区間が直交計画 (2.5% 以下) と比較してどれだけ大きくなるかを計算することが可能です。
すべての主効果と二次効果の相関カラー マップを確認することもできます[1]。 以下のカラー マップは、解釈しやすいように右側のプロット内の 2 つの正方形にラベルを付けていることを除いて同じです。
右上象限の淡い青色の領域は、主効果と二次効果の間の相関関係を表しています。 たとえば、注入量の主効果と二次効果、Vol(Inj) と Vol(Inj)*Vol(Inj) の間には相関関係がないことがわかります。 このマップは、すべての二次効果とすべての主効果の間に 0 の相関があることを示しています。つまり、二次効果と主効果は互いに直交しています。 これは偶然ではありません。 繰り返しになりますが、これがこの実験デザインを選択した理由の 1 つでした。
右下の青色が強いほど、二次効果内の相関が高いことを表します。 たとえば、射出量と射出速度の二次効果、Vol(Inj)*Vol(Inj) と Speed(Inj)*Speed(Inj) の間には 0.4091 の相関関係があることがわかります。 このマップは、すべての二次効果間に 0.4091 の同じ相関関係があることを示しています。二次効果は相互に部分的にエイリアシングされています。 これは、この状況では許容できる妥協案です。 これは、どの因子の重要な曲線的な挙動も、多少精度が落ちても理解できる必要があることを意味します。 重要なことは、私たちが注目している影響に混乱がないことです。
効果の相関関係が最小限に抑えられているため、26 回の実験計画から得られたデータが、プロセスにおける重要な動作の理解をどのように明確にすることができるかを見てきました。 のようなソフトウェアのメソッドがなければ、 JMPの場合、比較的少ない実行回数とこれらの有用な相関特性の両方を備えた実験計画を見つけるのは困難です。
泥のように透明
計画なしにデータが収集されると、必然的に相関関係が高まり、何がシステム内の動作を引き起こしているのかを理解することがより困難になります。 典型的な例は、この計量経済データ (Longley データセット) です。 JMP サンプル データ ディレクトリで入手可能
y は雇用の尺度で、x1 から x6 は潜在的な予測変数です (x6 は暦年のように見えます)。 主効果の相関カラー マップは、1 に非常に近い x1、x2、x5、および x6 間の相関を示します。
因子の影響の理解に対する影響は、完全な主効果モデルのプロファイラー プロットから見ることができます。
最も広い信頼区間は、最も相関関係のある効果のものであり、相関性の高い因子を含むデータからシステムを理解しようとすることの難しさを示しています。 たとえば、モデルでは、x2 が増加すると y が減少すると推定されますが、信頼区間は、その係数の効果が非常に正である可能性があることを示しています。 x2 の効果についてはほとんど何もわかっていません。
プロセスとシステムを明確に理解したい場合は、関心のある効果間の相関関係が最小限となる実験からデータを生成する必要があることがわかりました。 相関カラー マップは、この点でデザインがどれほど優れているかを理解するための強力な視覚ツールであることがわかりました。 ここまでは主効果と二次効果のみを見てきました。 前に述べたインタラクションのような、より複雑な動作についてはどうすればよいでしょうか? このシリーズの次回の投稿では、これらの効果を検討し、これらの複雑な動作によってシステムの理解が曖昧にならないようにするには、実験で 26 回の実行が適切な選択である理由を説明します。
ノート
[1] 二次効果の相関関係を手動で判断するには、いくつかの手順があります。 たとえば、2 つの因子 X1 と X2 の二次効果の相関関係を調べたいとします。 まず、係数が同じスケールになるように係数を再コード化する必要があります。 係数を -1 から +1 のスケールでコーディングするのが一般的です。-1 が範囲内の最低設定、0 が中間点、+1 が最高値です。 このコーディングは DoE に関する書籍でよく見かけられます。 このようにコード化された係数を使用すると、二次効果 X1*X1 および X2*X2 を計算し、相関関係を確認できます。 相互作用を含む他の高次の効果を調べる場合にも同じことが当てはまります。 DoE ソフトウェア ツール: JMPでの設計評価を使用すると、これらの手順を実行せずに効果の相関関係を評価できるようになります。
DoE の理由に関するこのシリーズの投稿を見逃していませんか? 問題ない。 見る全シリーズはこちら。
こんにちは@アシエル、
はい、これが矛盾しているように見えることはわかります。予測子 (因子) 間の相関関係は悪いのに、モデルは適切な予測を行うことができます。 実際、何の矛盾もありません。 モデルが適切に適合せず、予測変数の相関がひどいという理由はありません。
相関係数の問題は、適切な予測ができないということではありません。 相関因子の問題は、各因子の影響を十分に理解できないことです。
この場合、X が分かれば、Y (雇用) を適切に予測できます。 しかし、私たちにできないのは、それぞれの X の効果が何であるかを理解することです。
したがって、因子の相関構造からは、適切なモデルを構築して正確な予測を行う能力については何もわかりません。 これは、各要因の個々の影響をどの程度正確に測定できるかを示します。
それが役立つことを願っています。
フィル
こんにちは、フィルさん
DoE に関するこれらの素晴らしいシリーズをもう一度読んでいると、別の疑問が頭に浮かびました。
Longley データを使用して分析を再作成しました。 ここで言及されている要因間の相関関係は同じですが、フィッティングのグラフ（実際と予測）を見て驚きました。 以下のフィッティングがこれほど良好で、信頼区間が非常に狭いのを見たら、ためらうことなくモデルが非常に優れていると仮定すると思います。 ただし、あなたの分析とプロファイラーから、効果 x1、x2、および x5 の影響についてはほとんどわかっていないこともわかります...
この「矛盾」の理由は何でしょうか？この「明らかな矛盾」には、十分な数学的理由があるに違いありません。
ありがとう
アジア人
コメントと肯定的なフィードバックをありがとう、Asier。
はい、効果の相関関係を調べることは、実験を実行して応答データを収集する前に行うことができます。 効果の相関関係を見るとき、私たちは反応をまったく考慮していません。
強い相関関係のある効果がある場合は、追加の実行でデータを増強して相関関係を減らすことができます。 JMP の DOE メニューの Augment Design プラットフォームは、このためのツールを提供します。
追加の実行を収集できない場合は、モデリングに役立つアプローチがいくつかあります。 主成分分析 (PCA) を使用すると、直交 (相関ゼロ) 変数の数を減らして決定できます。 これらの主成分は、元の変数の組み合わせです。 たとえば、上記の計量経済データの x1、x2、x5、および x6 は、すべて相互に強い相関があるため、効果的に 1 つの主成分に結合されます。 その後、主成分をモデル内の変数として使用できます。 多くの場合、主成分は、システム内の根本的な原因要因を記述する「潜在的な」変数として解釈できます。
ただし、魔法はありません。 効果の相関関係が高まるほど、それらを理解することができなくなります。
これがお役に立てば幸いです。
よろしくお願いします。
フィル
こんにちは、フィルさん
DOE に関する一連の投稿、おめでとうございます。 彼らは DOE について非常に優れており、明確で説明していると思います。 私個人としては、DOE の概念は複雑ではありませんが、その背後にある数学とその概念を実際に理解するのはそれほど簡単ではなく、特に書籍の事例研究から現実の問題への移行はそれほど簡単ではないと感じています...
因子の相関関係または交絡に関するトピックについて 1 つ質問があります。 私は概念を理解しており、正しく理解しています。この相関関係または交絡は、実際に実行が行われる (測定) 前に計算できるため、目の前にある実験 (一連の実行) が適切な実験であるかどうかを知ることができます。あなたの問題をよく理解してください。
良い例は、カラー マップからいくつかの要素 (X1 ～ X2 および X5 ～ X6) の間に重大な相関関係があることがわかる計量経済データの例です。
測定データ（回答Y）をいただく前に、このカラーマップが決定できるかどうか確認していただけますか？ では、カラーマップは因子情報のみから生成されるのでしょうか(したがって、これに対する応答は必要ありません)?
そして、それがわかったら、実際に何ができるでしょうか?
実際に実験を計画している場合、JMP は相関関係を最小化する係数の設定を提供できると思います (正しいでしょうか?)。
しかし、独自の研究を行うために既存のデータ（計量経済データとして）を使用している場合、（あなたが指摘しているように、モデルが実際の情報がほとんどなく「泥のように明確」であることを知ること以上に）できることはありますか？要因 X1、X2、および X5 の影響について (Y1 にマイナスまたはプラスの影響を与える可能性あり)?
これらのシリーズに改めて感謝します。素晴らしいと思います。DOE で何かをしようとしている人にはお勧めします。
アシエ
