私たちは皆、もう少し自信が必要ですよね？ そうですね…もしかしたら、少し「あまり」自信を持たなくてはいけない領域が 1 つあるかもしれません。 皮肉なことに、その領域は私たちの解釈です信頼区間。
まず最初に、信頼区間がなぜ役立つのかについて説明します。 私たちが推論統計を行うとき、母集団からすべての情報やデータを持っているわけではないのでそれを行っています。 私たちは情報に基づいて推測を行っていますが、常に正確に正しいとは限りません。 たとえば、統計を使用して、地元の大学の 200 人の学生のサンプルの IQ が一般集団よりも高いかどうかを確認するときと同じです。 生徒全員を測定すれば、統計は必要ありません。 私たちは、平均 IQ がどれくらいなのか、そしてそれが母集団平均の 100 よりも高いのかどうかについての真実を知ることになります。
たとえば、友人が飲んだ 10 種類のビールの平均量を、過剰ではないにしても慎重に測定した結果、お気に入りのビール醸造所に注ぐ平均量は 15.7 オンス (標準偏差は約 0.51 オンス) であると推測できます。昨晩。
このバーは16オンス注ぐと主張しているので、お気に入りのベルギーエールが0.3オンスなくなると少しイライラするかもしれません。
しかし、15.7 オンスが最良の推測であるとしても、15.7 オンスがビール量の*正確な* 母集団平均である可能性は高くありません。 平均値 15.7 オンスを取得すると、母集団の平均値が 15.7 オンスに「近い」とかなり確信できると言ったほうが正確でしょう。
この不確実性 (「近い」部分全体) は、多くの場合、数値で表したいものです。 頻度主義者でこれを行う方法は、帰無仮説有意性検定(NHST) フレームワークには信頼区間があります。
信頼区間を使用すると、範囲単一点推定ではなく、複数の値を使用します。 この範囲は、データに基づく母集団パラメータ (ここでは平均) の妥当な候補と考えることができます。 この範囲は、点推定に固有の不確実性を強調するため便利です。 赤ちゃんが予定日*に*生まれるとは限らず、予定日の前後に生まれるのと同じです。
しかし、信頼区間を使用して推論を実行しようとしているでしょうか? それは少し難しいかもしれません。 信頼区間は、95% や 99% などの信頼水準と対になっています。ただし、その気になれば 90.273612% の信頼区間を計算することもできます。おそらく誰もがあなたのことを本当に変だと思うでしょう。 しかし、信頼区間を取得した場合、それは何を意味するのでしょうか?
標本分布
それに答える前に、少し一歩下がって、先ほど述べた頻度主義のフレームワークについて話したいと思います。
頻度主義者は、母集団パラメータを揺るぎない真の値として扱い、私たちが収集したデータのサンプルは無作為に抽出されたものとして扱います。
考えられるすべてのサンプル平均をプロットできます。おそらく地元のビール醸造所で注がれる 10 種類のビールの平均量を計算することで得られます。 私たちが持っているのはサンプル データだけなので、これがその分布がどのようになるかについての最善の推測です。
これはと呼ばれます標本分布, これは、標本平均値の標本分布の略称で、少し長めの表現です。 先ほども述べたように、これは、この醸造所から 10 個のビールを無作為に抽出し、その平均値を計算した場合に、それぞれの平均値が得られる可能性がどの程度かを示す分布です。
そして、これは、15.7 オンスが母集団の平均値と「正確に」一致するかどうかについての不確実性を表す非常に良い方法です。 私たちが持っているデータに基づくと、15.7 オンスが最も可能性の高い値であり、これが私たちの分布の最高点です。 しかし、平均が 15.8 になる可能性があるのも当然です。 そして、平均体積が 16 オンスを超える可能性は比較的低いですが、可能性はあります。
したがって、この分布が、取得が期待される可能な平均値の 100% を表している場合、それを使用して妥当な値の範囲を作成することで、賭けをヘッジできます。
信頼区間に戻る
*本当に*注意したいとしましょう。 範囲に分布内の値の 99% が含まれるようにしたいと考えています。 この分布の密度の中央の 99% がどこにあるかを計算できます。
これを行うには、標本分布が n (サンプル サイズ) から自由度 1 を引いた t 分布のような形状になるという事実を利用します。
分布の *中央* 99% が必要な場合は、分布の 1% が範囲外、つまり両側の 0.5% にあることを意味します。 したがって、0.5 パーセンタイルと 99.5 パーセンタイルがこの分布のどこにあるかを知ることができます。
Google で簡単に検索または計算すると、t 値 -3.249836 が 0.5 パーセンタイルを表し、t 値 3.249836 が 99.5 パーセンタイルを表すことがわかります。 したがって、これら 2 つの t 値の間にあるものはすべて 99% 信頼区間内にあります。
しかし、実際には t 値は必要ありません...範囲を通常の単位であるオンスにしたいのです。 幸いなことに、それらはすぐに変換できます。
t 値は、2 つの平均 (通常は観察された平均とベースラインの平均) 間の距離を標準誤差 (サンプルの標準偏差を n の平方根で割った値) で割ったものです。
たとえば、平均容量が 16 オンスである 10 種類のビールのサンプルを取得するための t 値を知りたい場合、真の平均が 15.7 オンスであれば、それを計算できます。
したがって、t 値を *から* オンスに変換するには、このプロセスを逆方向に実行する必要があります。 標準誤差を掛けて、平均値を加算し直します。
つまり、信頼区間の範囲は約 15.18 オンスから 16.22 オンスになります。 
OK、99% 信頼区間を計算しました。そして、それが標本分布の密度の 99% を含む範囲であることが分かりました...しかし次のステップはその区間を *解釈*することです...これは少し難しいかもしれませんトリッキー。
解釈
この間隔には、観察したデータに基づいて合理的であると考えられる値の「ほとんど」が含まれています。 つまり、*おそらく*、真の母集団平均値が含まれているということでしょうか?
まあ、おそらく。 99% 信頼区間の 99% は、この正確な手順を使用してさまざまな 99% 信頼区間の束を計算した場合、それらの約 99% に真の母集団平均が含まれることも示しています。
しかし、その真実の事実を受け入れて、単一の 99% 信頼区間には母集団の真の平均値が 99% 含まれる可能性があるという一般的な誤解と混同してしまうのは非常に簡単です。 それは真実ではない。
私たちが持っている「信頼」は、特定の信頼区間ではなく、信頼区間を計算する *プロセス* にあります。
例
また、信頼区間は意思決定にも使用できます。 あなたがビール工場で働いているとします。 もしかしたら、あなたのお気に入りの地元の醸造所でおいしいビールを提供しているのと同じものかもしれません。 そして、ビールに独特のかび臭い風味を与えるホップである、ホップのバッチ中の「柔らかい」樹脂と「硬い」樹脂の割合を測定できる機械があります。
この値を約 8% にしたいと考えているため、ホップを新たに出荷するたびに、いくつかのサンプルを採取し、「軟質」樹脂の割合を記録します。 次に、「軟質」樹脂の割合の 95% 信頼区間を計算します。
8% はサンプルに基づいて「妥当」であると判断される母集団の値の 1 つであるため、その信頼区間に 8% が含まれている限り、このバッチは問題ないと想定されます。 それで、工場に送ります。
信頼区間に 8% が「含まれていない」場合、このバッチのホップは標準以下であるとみなし、動物の飼料として使用するために農場に送ります。
ホップに問題が「まったく」なく、「柔らかい」樹脂の真の割合が常に 8% または 95% の場合、信頼区間には 8% が含まれます。
そして、5％の確率でそうではありません。 この 5% はいわゆる偽陽性 – またはタイプ I エラー –完璧に優れたホップのバッチを基準以下であると誤ってフラグを立ててしまったからです。 ただし、良いニュースは、これが発生する頻度を制御できることです。
この誤検知率は常に 100% から信頼レベルを引いたものになります。 したがって、企業としては、どれくらいの頻度で良質なホップを誤って廃棄してもよいかを決めることができます。
本質的には、豚に良質なホップを数バッチ与えることによる経済的損失と、「実際には」悪いホップを捕獲できる能力とを引き換えにしていることになる。
推論
推論に信頼区間を使用することは、同じデータに対して t 検定を行うことと非常に似ています。
地元の醸造所で注がれるビールのオンスの 99% 信頼区間は 15.18 ～ 16.22 オンスでした。 16 オンス (醸造所が真実であると主張する平均値) は信頼区間内にあるため、注ぎが不足しているという証拠があるとは主張できません。 私たちは、観察したデータに基づいて、16 オンスが比較的「妥当な」値であると依然として考えています。
「妥当な」とは、15.7 オンスの標準誤差が 3.25 以内であることを意味します。3.25 は、99% 信頼区間の臨界 t 値を見つけることから得られます。 これは、サンプリング分布の 99% が存在する部分のカットオフを示し、どちらの裾にも分布の 0.5% だけが残ります。
値が 15.7 オンスからの標準誤差が 3.25 未満である場合、その値は「妥当」であると見なされます。
そして、アルファ = 100% 信頼水準 (つまり、p < 0.01) を使用して t 検定を実行すると、2 つの数値が標準誤差 3.25 以上離れているかどうかも検定していることがわかります。 しかし今回は、サンプル平均値 (15.7 オンス) が仮説平均値 (16 オンス) から標準誤差 3.25 以上離れているかどうかを調べます。何かが 16 オンスから標準誤差 3.25 を超えて離れている場合 (n = 10)、帰無仮説を棄却します。 距離が 3.25 標準誤差未満の場合、失敗帰無仮説を棄却します。
16 オンスは 99% 信頼区間内にあるため、16 オンスからの距離は標準誤差 3.25 未満であることがすでにわかっているため、p < 0.01 レベルでは平均 15.7 オンスは 16 オンスと大きく異なりません*。
実際、信頼区間内の値は、アルファ = 100% (信頼水準) の場合、サンプル平均値と「大きく変わらない」値です。
JMP の信頼区間
スーパーヒーローの身長の信頼区間を作成しましょう。 Kaggle データセット(添付のデータ表も参照してください)。使用できます分析>分布のメニューJMP。 選択する身長に追加します。 Y_列。 [OK] を選択し、表示されるウィンドウで変数の横にある赤い三角形を探します。 選択する信頼区間メニューから希望の信頼レベルを選択します。 ブーム！ 自信レベルが得られました! デフォルトでは 95% 信頼区間が表示されますが、メニューを使用して他の信頼区間レベルを選択することもできます。
また、パラメーター推定値 (平均値や回帰勾配など) の信頼区間を作成することもできます。フィットモデルプラットホーム。 スーパーヒーローの身長と体重の回帰モデルなど、Fit Model プラットフォームを使用してモデルを作成し、下にスクロールします。パラメータの推定値。 テーブルを右クリックして選択します95%未満そして上位95% 。 パラメータ推定値テーブルに信頼区間が含まれるようになりました。
さらに効率的にしたい場合は、Option キーを押しながら右クリックして、テーブルの設定パネルを表示し、両方のボックスを一度にチェックします。
信頼区間についてもう少し理解できたので、その解釈にさらに自信が持てるようになりました (ああ、そうしなければならなかったのはわかっているでしょう…)。 分析を楽しんでください!
