Wir alle brauchen etwas mehr Selbstvertrauen, oder? Naja... vielleicht gibt es einen Bereich, in den wir etwas *weniger* Selbstvertrauen haben sollten. Ironischerweise ist dieser Bereich unsere Interpretation von Vertrauensintervalle.
Lassen Sie uns zunächst darüber sprechen, warum Konfidenzintervalle nützlich sind. Wenn wir Inferenzstatistiken erstellen, tun wir dies, weil wir nicht über alle Informationen oder Daten unserer Bevölkerung verfügen. Wir machen fundierte Vermutungen, liegen aber nicht immer genau richtig. Zum Beispiel, wenn wir mithilfe von Statistiken feststellen, ob eine Stichprobe von 200 Studenten an Ihrer örtlichen Hochschule einen höheren IQ haben als die allgemeine Bevölkerung. Wenn wir jeden einzelnen Schüler messen würden, bräuchten wir keine Statistiken. Wir hätten die Wahrheit darüber, wie hoch der durchschnittliche IQ ist und ob er über dem Bevölkerungsdurchschnitt von 100 liegt.
Sie könnten zum Beispiel vermuten, dass der durchschnittliche Ausguss in Ihrer Lieblingsbrauerei 15,7 Unzen beträgt (mit einer Standardabweichung von etwa 0,51 Unzen), basierend auf Ihrer sorgfältigen – wenn nicht übertriebenen – Messung der durchschnittlichen Menge der 10 Biere, die Ihre Freunde konsumiert haben letzte Nacht.
Die Bar gibt an, dass sie 16 Unzen ausgießt, Sie könnten also ein wenig verärgert sein, wenn Sie 0,3 Unzen Ihres belgischen Lieblingsbiers verlieren.
Aber auch wenn 15,7 Unzen Ihre beste Schätzung sind, ist es unwahrscheinlich, dass 15,7 der *exakte* Bevölkerungsmittelwert für die Biermenge ist. Genauer wäre es zu sagen, dass man mit einem Mittelwert von 15,7 Unzen ziemlich sicher sein kann, dass der Bevölkerungsdurchschnitt *nahe* 15,7 Unzen liegt.
Diese Unsicherheit – der gesamte „nahe“ Teil – ist etwas, das wir oft numerisch darstellen möchten. Die Art und Weise, wie wir dies in einem Frequentisten tun, Nullhypothese-Signifikanztest (NHST)-Framework ist mit einem Konfidenzintervall ausgestattet.
Mit einem Konfidenzintervall können Sie Folgendes darstellen: Reichweite von Werten anstelle einer Einzelpunktschätzung. Sie können sich diesen Bereich basierend auf den Daten als sinnvollen Kandidaten für unseren Populationsparameter (hier den Mittelwert) vorstellen. Dieser Bereich ist nützlich, da er die inhärente Unsicherheit unserer Punktschätzungen hervorhebt. Genauso wie man nicht unbedingt davon ausgeht, dass Babys am Geburtstermin geboren werden, sondern eher um diesen herum.
Aber versuchen Sie, mit Konfidenzintervallen Rückschlüsse zu ziehen? Das kann etwas knifflig werden. Konfidenzintervalle werden mit einem Konfidenzniveau wie 95 % oder 99 % gepaart. Sie könnten jedoch auch ein Konfidenzintervall von 90,273612 % berechnen, wenn Sie wirklich Lust dazu hätten ... obwohl wahrscheinlich jeder denken würde, dass Sie wirklich seltsam sind. Aber was bedeutet es, wenn Sie einmal Ihr Konfidenzintervall haben?
Stichprobenverteilungen
Bevor wir darauf antworten, möchte ich einen kleinen Schritt zurücktreten und über das Frequentist-Framework sprechen, das ich zuvor erwähnt habe.
Frequentisten betrachten den Bevölkerungsparameter als einen echten, unveränderlichen Wert – und die von uns gesammelten Datenstichproben als zufällig.
Wir könnten alle möglichen Stichprobenmittel darstellen, die wir könnten möglicherweise Berechnen Sie die durchschnittliche Menge von 10 verschiedenen Bieren, die in Ihrer örtlichen Brauerei ausgeschenkt werden. Da uns lediglich unsere Beispieldaten zur Verfügung stehen, ist dies unsere beste Vermutung, wie diese Verteilung aussehen könnte.
Dies nennt man a Stichprobenverteilung , kurz für Sampling Distribution of Sample Means, was ein bisschen wie ein Bissen ist. Und wie ich bereits erwähnt habe, ist es eine Verteilung, die uns sagt, wie wahrscheinlich es ist, dass wir jeden Mittelwert erhalten, wenn wir eine Zufallsstichprobe von 10 Bieren dieser Brauerei nehmen und den Mittelwert berechnen.
Und es ist eine ziemlich gute Möglichkeit, unsere Unsicherheit darüber darzustellen, ob 15,7 Unzen *genau* der Bevölkerungsmittelwert sind. Basierend auf den uns vorliegenden Daten sind 15,7 Unzen der wahrscheinlichste Wert und der höchste Punkt unserer Verteilung. Aber es ist auch vernünftig, dass wir einen Durchschnitt von 15,8 bekommen. Und es ist relativ unwahrscheinlich – aber möglich –, dass wir ein durchschnittliches Volumen von über 16 Unzen erreichen würden.
Wenn diese Verteilung also 100 % der möglichen Mittelwerte darstellt, die wir erwarten, können wir unsere Wetten absichern, indem wir sie verwenden, um eine Reihe angemessener Werte zu erstellen.
Zurück zu den Konfidenzintervallen
Nehmen wir an, wir wollen *wirklich* vorsichtig sein. Wir möchten, dass unser Bereich 99 % der Werte in unserer Verteilung enthält. Wir könnten berechnen, wo die mittleren 99 % der Dichte dieser Verteilung liegen.
Wir tun dies, indem wir uns auf die Tatsache verlassen, dass die Stichprobenverteilung die Form einer t-Verteilung mit n (der Stichprobengröße) minus 1 Freiheitsgrad hat.
Wenn wir die *mittleren* 99 % der Verteilung wollen, bedeutet das, dass wir wollen, dass 1 % der Verteilung außerhalb unseres Bereichs liegt, also 0,5 % auf beiden Seiten. So können wir herausfinden, wo das 0,5. und 99,5. Perzentil dieser Verteilung liegen.
Eine schnelle Google-Suche oder -Berechnung zeigt Ihnen, dass ein t-Wert von -3,249836 das 0,5. Perzentil und ein t-Wert von 3,249836 das 99,5. Perzentil darstellt. Alles zwischen diesen beiden t-Werten liegt also innerhalb unseres 99 %-Konfidenzintervalls.
Aber wir wollen nicht wirklich T-Werte ... wir wollen, dass unser Bereich in unseren regulären Einheiten liegt: Unzen! Zum Glück können wir sie schnell konvertieren.
Ein t-Wert ist der Abstand zwischen zwei Mittelwerten (normalerweise einem beobachteten Mittelwert und einem Basismittelwert), geteilt durch den Standardfehler (der einfach unsere Stichprobenstandardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel von n ist).
Wenn wir beispielsweise den t-Wert für eine Stichprobe von 10 Bieren mit einem durchschnittlichen Volumen von 16 Unzen wissen wollten und der wahre Durchschnitt 15,7 Unzen betragen würde, können wir diesen berechnen.
Um also *von* einem t-Wert *in* Unzen umzurechnen, müssen wir diesen Vorgang rückwärts durchführen. Wir multiplizieren mit dem Standardfehler und addieren den Mittelwert zurück.
Das bedeutet, dass unser Konfidenzintervall von etwa 15,18 bis 16,22 Unzen reicht. 
OK, wir haben also ein 99 %-Konfidenzintervall berechnet und wissen, dass es der Bereich ist, der 99 % der Dichte unserer Stichprobenverteilung enthält ... aber der nächste Schritt besteht darin, dieses Intervall zu *interpretieren* ... was ein wenig sein kann schwierig.
Deutung
Dieses Intervall enthält *die meisten* Werte, die wir aufgrund der von uns beobachteten Daten für angemessen halten. Es enthält also *wahrscheinlich* den wahren Bevölkerungsmittelwert, oder?
Wir werden wahrscheinlich. Die 99 % in einem 99 %-Konfidenzintervall sagen Ihnen auch, dass, wenn Sie eine Reihe verschiedener 99 %-Konfidenzintervalle mit genau diesem Verfahren berechnet haben, etwa 99 % davon den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit enthalten.
Aber es ist ziemlich einfach, diese wahre Tatsache zu nehmen und sie mit dem weit verbreiteten Missverständnis zu verwechseln, dass ein einzelnes 99-Prozent-Konfidenzintervall eine 99-Prozent-Wahrscheinlichkeit hat, den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit zu enthalten. Das ist nicht wahr.
Das „Vertrauen“, das wir haben, liegt im *Prozess* der Berechnung von Konfidenzintervallen ... nicht in unserem spezifischen Konfidenzintervall.
Beispiel
Und Konfidenzintervalle können auch zur Entscheidungsfindung verwendet werden. Angenommen, Sie arbeiten in einer Bierfabrik. Vielleicht derselbe, der die köstlichen Biere Ihrer Lieblingsbrauerei vor Ort liefert. Und Sie haben eine Maschine, die den Anteil von „weichen“ Harzen zu „harten“ Harzen in einer Hopfencharge messen kann, dem Stoff, der dem Bier seinen ausgeprägten, muffigen Geschmack verleiht.
Sie möchten, dass dieser Wert bei etwa 8 % liegt, also nehmen Sie für jede neue Hopfenlieferung ein paar Proben und notieren den Anteil an „weichen“ Harzen. Dann berechnen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für Ihren „weichen“ Harzanteil.
Solange dieses Konfidenzintervall 8 % enthält, gehen Sie davon aus, dass diese Charge in Ordnung ist, da 8 % einer der Grundgesamtheitswerte ist, die wir basierend auf unserer Stichprobe als „angemessen“ erachten. Also schicken Sie es an die Fabrik.
Wenn Ihr Konfidenzintervall *nicht* 8 % enthält, betrachten Sie diese Hopfencharge als unterdurchschnittlich und schicken sie zur Verwendung als Tierfutter an einen Bauernhof.
Wenn es *nie* ein Problem mit Ihrem Hopfen gäbe und der tatsächliche Prozentsatz an „weichen“ Harzen in 95 % der Fälle immer 8 % wäre, würde Ihr Konfidenzintervall 8 % enthalten.
Und in 5 % der Fälle war dies nicht der Fall. Diese 5 % würden wir als a bezeichnen falsch positiv – oder Typ-I-Fehler – da Sie fälschlicherweise eine völlig gute Hopfenmenge als unterdurchschnittlich gekennzeichnet haben. Die gute Nachricht ist jedoch, dass Sie die Kontrolle darüber haben, wie oft dies geschieht.
Diese Falsch-Positiv-Rate beträgt immer 100 % minus Ihrem Konfidenzniveau. Als Unternehmen können Sie also entscheiden, wie oft Sie bereit sind, versehentlich guten Hopfen wegzuwerfen.
Im Wesentlichen tauschen Sie den finanziellen Verlust aus, wenn Sie den Schweinen ein paar gute Hopfenmengen verfüttern, gegen die Möglichkeit, *eigentlich* schlechte Hopfenmengen zu fangen.
Inferenz
Die Verwendung des Konfidenzintervalls für die Schlussfolgerung ist ziemlich ähnlich wie die Durchführung eines T-Tests für dieselben Daten.
Unser 99 %-Konfidenzintervall für die in Ihrer örtlichen Brauerei ausgeschenkten Unzen Bier lag bei 15,18 bis 16,22 Unzen. Da 16 Unzen – der von der Brauerei behauptete Durchschnitt – innerhalb unseres Konfidenzintervalls liegt, können wir nicht behaupten, Beweise dafür zu haben, dass sie zu wenig ausschenkt. Basierend auf den von uns beobachteten Daten halten wir 16 Unzen immer noch für einen relativ „vernünftigen“ Wert.
Und mit „angemessen“ meinen wir, dass es innerhalb von 3,25 Standardfehlern von 15,7 Unzen liegt.Die 3,25 ergibt sich aus der Ermittlung des kritischen t-Werts für ein 99 %-Konfidenzintervall. Es markiert die Grenzwerte für 99 % der Stichprobenverteilung, so dass in beiden Enden nur 0,5 % der Verteilung verbleiben.
Wenn ein Wert weniger als 3,25 Standardfehler von 15,7 Unzen entfernt ist, betrachten wir ihn als „angemessen“.
Und es stellt sich heraus, dass wir, wenn wir einen t-Test mit Alpha = 100 %-Konfidenzniveau (d. h. p < 0,01) durchführen, auch testen, ob zwei Zahlen mehr als 3,25 Standardfehler voneinander entfernt sind. Aber dieses Mal schauen wir uns an, ob unser Stichprobenmittelwert – 15,7 Unzen – mehr als 3,25 Standardfehler von unserem hypothetischen Mittelwert – 16 Unzen – entfernt ist.Wenn etwas mehr als 3,25 Standardfehler von 16 Unzen entfernt ist (mit n = 10), lehnen wir die Nullhypothese ab. Wenn es weniger als 3,25 Standardfehler entfernt ist, dann wir scheitern die Nullhypothese abzulehnen.
Da 16 Unzen in unserem 99 %-Konfidenzintervall lagen, wissen wir bereits, dass es weniger als 3,25 Standardfehler von 16 Unzen entfernt ist, und daher würde sich ein Mittelwert von 15,7 Unzen *nicht* signifikant von 16 Unzen auf dem Niveau p < 0,01 unterscheiden.
Tatsächlich ist jeder Wert innerhalb Ihres Konfidenzintervalls ein Wert, der *nicht* signifikant von Ihrem Stichprobenmittelwert abweichen würde, wenn Alpha = 100 % – Konfidenzniveau.
Konfidenzintervalle in JMP
Erstellen wir ein Konfidenzintervall für die Körpergröße von Superhelden ein Kaggle-Datensatz (siehe auch beigefügte Datentabelle).Du kannst den ... benutzen Analysieren>Verteilungen Menü in JMP. Wählen Höhe , und fügen Sie es hinzu Y_Spalten . Wählen Sie „OK“ und suchen Sie im daraufhin angezeigten Fenster nach dem roten Dreieck neben Ihrer Variablen. Wählen Konfidenzintervall aus dem Menü und wählen Sie das gewünschte Konfidenzniveau aus. Boom! Du hast ein Selbstvertrauen! Standardmäßig wird das 95 %-Konfidenzintervall angezeigt, Sie können jedoch über das Menü andere Konfidenzintervallniveaus auswählen.
Sie können aus dem auch Konfidenzintervalle für Ihre Parameterschätzungen (wie Mittelwerte und Regressionssteigungen) erstellen Modell anpassen Plattform. Erstellen Sie Ihr Modell mithilfe der Fit Model-Plattform – wie dieses Regressionsmodell der Superheldengrößen und -gewichte – und scrollen Sie nach unten zu Parameterschätzungen . Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Tabelle und wählen Sie aus Niedrigere 95 % Und Obere 95 % . Ihre Parameterschätzungstabelle enthält jetzt Konfidenzintervalle!
Wenn Sie noch effizienter sein möchten, können Sie auch die Wahltaste + Rechtsklick gedrückt halten Öffnen Sie das Einstellungsfeld für die Tabelle und aktivieren Sie beide Kontrollkästchen gleichzeitig.
Jetzt, da Sie ein wenig mehr über Konfidenzintervalle wissen, können Sie sich hoffentlich sicherer auf ihre Interpretation verlassen (ach komm schon, du weißt ja, dass ich es tun musste). Viel Spaß beim Analysieren!
