Nous avons tous besoin d’un peu plus de confiance, n’est-ce pas ? Eh bien… il y a peut-être un domaine dans lequel nous devrions avoir un peu *moins* confiance. Ironiquement, ce domaine est notre interprétation de intervalles de confiance.
Tout d’abord, parlons de l’utilité des intervalles de confiance. Lorsque nous faisons des statistiques inférentielles, nous le faisons parce que nous ne disposons pas de toutes les informations ou données sur notre population. Nous faisons des suppositions éclairées, mais nous n’aurons pas toujours exactement raison. Comme lorsque nous utilisons des statistiques pour voir si un échantillon de 200 étudiants de votre université locale a un QI plus élevé que la population générale. Si nous mesurions chaque élève, nous n’aurions pas besoin de statistiques. Nous saurions la vérité sur le QI moyen et s'il est supérieur à la moyenne de la population de 100.
Par exemple, vous pourriez deviner que le volume moyen versé dans votre brasserie préférée est de 15,7 oz (avec un écart type d'environ 0,51 oz) en vous basant sur votre mesure minutieuse – voire exagérée – du volume moyen des 10 bières consommées par vos amis. la nuit dernière.
Le bar prétend qu'il verse 16 onces, vous pourriez donc vous sentir un peu ennuyé par la perte de 0,3 once de votre bière belge préférée.
Mais même si 15,7 onces est votre meilleure estimation, il est peu probable que 15,7 soit la moyenne *exacte* de la population pour le volume de bière. Il serait plus précis de dire qu'obtenir une moyenne de 15,7 onces vous donne la certitude que la moyenne de la population est *proche* de 15,7 onces.
Cette incertitude – toute la partie « proche » – est quelque chose que nous souhaitons souvent représenter numériquement. La façon dont nous faisons cela chez un Frequentist, Test de signification d’hypothèse nulle (NHST) est doté d’un intervalle de confiance.
Un intervalle de confiance vous permet de présenter un gamme de valeurs au lieu d’une estimation ponctuelle. Vous pouvez considérer cette plage comme des candidats raisonnables pour notre paramètre de population (ici, la moyenne) sur la base des données. Cette fourchette est utile car elle met l’accent sur l’incertitude inhérente à nos estimations ponctuelles. Tout comme vous ne vous attendez pas nécessairement à ce que les bébés naissent *à* la date prévue, mais plutôt aux alentours de celle-ci.
Mais essayer de faire des inférences avec des intervalles de confiance ? Cela peut devenir un peu délicat. Les intervalles de confiance sont associés à un niveau de confiance, comme 95 % ou 99 % – bien que vous puissiez calculer un intervalle de confiance de 90,273612 % si vous en aviez vraiment envie… même si tout le monde penserait probablement que vous êtes vraiment bizarre. Mais une fois que vous avez votre intervalle de confiance, qu’est-ce que cela signifie ?
Distributions d'échantillonnage
Avant de répondre à cela, je souhaite prendre un petit pas en arrière et parler de ce framework Frequentist que j'ai mentionné plus tôt.
Les fréquentistes traitent le paramètre de population comme une valeur vraie et inébranlable – et les échantillons de données que nous collectons comme aléatoires.
Nous pourrions tracer toutes les moyennes d'échantillon possibles que nous pourrions peut-être obtenez en calculant le volume moyen de 10 bières différentes versées dans votre brasserie locale. Puisque nous ne disposons que de nos échantillons de données, c’est notre meilleure estimation de ce à quoi pourrait ressembler cette distribution.
C'est ce qu'on appelle un distribution d'échantillonnage , abréviation de distribution d'échantillonnage des moyennes d'échantillon, ce qui est un peu une bouchée. Et comme je l'ai mentionné, c'est une distribution qui nous indique la probabilité que nous obtenions chaque valeur moyenne si nous prenions un échantillon aléatoire de 10 bières de cette brasserie et calculions sa moyenne.
Et c'est une très bonne façon de représenter notre incertitude quant à savoir si 15,7 onces correspond *exactement* à la moyenne de la population. Sur la base des données dont nous disposons, 15,7 onces est la valeur la plus probable et c'est le point le plus élevé de notre distribution. Mais il est également raisonnable que nous obtenions une moyenne de 15,8. Et il est relativement improbable – mais possible – que nous obtenions un volume moyen supérieur à 16 onces.
Ainsi, si cette distribution représente 100 % des moyens possibles que nous espérons obtenir, nous pouvons couvrir nos paris en l'utilisant pour créer une fourchette de valeurs raisonnables.
Retour aux intervalles de confiance
Disons que nous voulons être *vraiment* prudents. Nous souhaitons que notre gamme contienne 99% des valeurs de notre distribution. Nous pourrions calculer où se situent les 99 % médians de la densité de cette distribution.
Pour ce faire, nous nous appuyons sur le fait que la distribution d'échantillonnage aura la forme d'une distribution t avec n (la taille de l'échantillon) moins 1 degrés de liberté.
Si nous voulons que les 99 % *milieu* de la distribution, cela signifie que nous voulons que 1 % de la distribution soit en dehors de notre plage, soit 0,5 % de chaque côté. Nous pouvons ainsi savoir où se situent les 0,5ème et 99,5ème centiles sur cette distribution.
Une recherche ou un calcul rapide sur Google vous indiquera qu'une valeur t de -3,249836 représente le 0,5e centile et qu'une valeur t de 3,249836 représente le 99,5e centile. Ainsi, tout ce qui se situe entre ces deux valeurs t se situe dans notre intervalle de confiance de 99 %.
Mais nous ne voulons pas vraiment de valeurs T... nous voulons que notre gamme soit dans nos unités habituelles : les onces ! Heureusement, nous pouvons les convertir rapidement.
Une valeur t est la distance entre deux moyennes (généralement une moyenne observée et une moyenne de référence), divisée par l'erreur type (qui est simplement l'écart type de notre échantillon divisé par la racine carrée de n).
Par exemple, si nous voulions connaître la valeur t pour obtenir un échantillon de 10 bières ayant un volume moyen de 16 onces, si la vraie moyenne était de 15,7 onces, nous pouvons la calculer.
Ainsi, pour convertir *d'une* valeur t *en* onces, nous devons effectuer ce processus à l'envers. Nous multiplions par l’erreur type et nous rajoutons la moyenne.
Cela signifie que notre plage d’intervalle de confiance va d’environ 15,18 à 16,22 onces. 
OK, nous avons donc calculé un intervalle de confiance à 99 %, et nous savons que c'est la plage qui contient 99 % de la densité de notre distribution d'échantillonnage... mais la prochaine étape consiste à *interpréter* cet intervalle... ce qui peut être un peu difficile.
Interprétation
Cet intervalle contient *la plupart* des valeurs que nous pensons raisonnables sur la base des données que nous avons observées. Donc, il contient *probablement* la vraie moyenne de la population, n'est-ce pas ?
Nous allons probablement. Les 99 % dans un intervalle de confiance à 99 % vous indiquent également que si vous calculez un GROUPE de différents intervalles de confiance à 99 % en utilisant cette procédure exacte, environ 99 % d'entre eux contiendront la véritable moyenne de la population.
Mais il est assez facile de prendre ce fait réel et de le confondre avec l’idée fausse commune selon laquelle un seul intervalle de confiance de 99 % a 99 % de chances de contenir la véritable moyenne de la population. Ce n'est pas vrai.
La « confiance » que nous avons réside dans le *processus* de calcul des intervalles de confiance... et non dans notre intervalle de confiance spécifique.
Exemple
Et les intervalles de confiance peuvent également être utilisés pour la prise de décision. Disons que vous travaillez dans une usine de bière. Peut-être le même qui fournit les délicieuses bières de votre brasserie locale préférée. Et vous disposez d’une machine capable de mesurer le pourcentage de résines « molles » par rapport aux résines « dures » dans un lot de houblon, la substance qui donne à la bière sa saveur distincte de moisi.
Vous souhaitez que cette valeur soit d'environ 8 %, donc pour chaque nouvelle expédition de houblon, vous prélevez quelques échantillons et enregistrez le pourcentage de résines « molles ». Ensuite, vous calculez l'intervalle de confiance de 95 % pour votre pourcentage de résine « molle ».
Tant que cet intervalle de confiance contient 8 %, vous supposez que ce lot est correct, puisque 8 % est l'une des valeurs de population que nous trouvons « raisonnables » sur la base de notre échantillon. Donc, vous l'envoyez à l'usine.
Si votre intervalle de confiance *ne contient pas* 8 %, vous considérez ce lot de houblon comme inférieur à la moyenne et vous l'envoyez dans une ferme pour être utilisé dans l'alimentation animale.
S'il n'y avait *jamais* de problème avec votre houblon et que le véritable pourcentage de résines « molles » était toujours de 8 %, 95 % du temps, votre intervalle de confiance contiendrait 8 %.
Et 5 % du temps, ce ne serait pas le cas. Ces 5 % sont ce que nous appellerions un faux positif – ou erreur de type I – puisque vous avez signalé par erreur un lot de houblon parfaitement bon comme étant inférieur à la moyenne. Mais la bonne nouvelle est que vous contrôlez la fréquence à laquelle cela se produit.
Ce taux de faux positifs sera toujours de 100 % moins votre niveau de confiance. Ainsi, en tant qu'entreprise, vous pouvez décider à quelle fréquence vous êtes prêt à jeter par erreur du bon houblon.
Essentiellement, vous échangez la perte financière liée à l'alimentation de quelques bons lots de houblon aux porcs contre la possibilité d'attraper des lots de houblon qui sont *en réalité* mauvais.
Inférence
L'utilisation de l'intervalle de confiance pour l'inférence est assez similaire à la réalisation d'un test t sur les mêmes données.
Notre intervalle de confiance à 99 % pour les onces de bière versées dans votre brasserie locale était de 15,18 à 16,22 onces. Étant donné que 16 onces – la moyenne que la brasserie prétend être vraie – se situent dans notre intervalle de confiance, nous ne pouvons pas prétendre avoir la preuve qu'ils sont sous-versés. Nous pensons toujours que 16 oz est une valeur relativement « raisonnable » sur la base des données que nous avons observées.
Et par « raisonnable », nous entendons qu'il se situe dans les 3,25 erreurs types de 15,7 onces.Le 3,25 provient de la recherche de la valeur t critique pour un intervalle de confiance de 99 %. Il marque les seuils où se trouvent 99 % de la distribution d'échantillonnage, ne laissant que 0,5 % de la distribution dans chaque queue.
Si une valeur est inférieure à 3,25 erreurs types par rapport à 15,7 onces, alors nous la considérons comme « raisonnable ».
Et il s'avère que si nous effectuons un test t en utilisant alpha = niveau de confiance de 100 % (c'est-à-dire p < 0,01), nous testons également si deux nombres sont séparés de plus de 3,25 erreurs types. Mais cette fois, nous cherchons à savoir si la moyenne de notre échantillon – 15,7 onces – est à plus de 3,25 erreurs types de notre moyenne hypothétique – 16 onces.Lorsque quelque chose est à plus de 3,25 erreurs types de 16 onces (avec n = 10), nous rejetons l'hypothèse nulle. S'il est à moins de 3,25 erreurs types, nous échouer rejeter l’hypothèse nulle.
Puisque 16 onces se trouvaient dans notre intervalle de confiance de 99 %, nous savons déjà qu'il y a moins de 3,25 erreurs types par rapport à 16 onces, et donc une moyenne de 15,7 onces ne serait *pas* significativement différente de 16 onces au niveau p < 0,01.
En fait, toute valeur à l'intérieur de votre intervalle de confiance est une valeur qui ne serait *pas* significativement différente de la moyenne de votre échantillon lorsque alpha = 100 % - niveau de confiance.
Intervalles de confiance dans JMP
Créons un intervalle de confiance pour les hauteurs des super-héros de un ensemble de données Kaggle (voir également le tableau de données ci-joint).Vous pouvez utiliser le Analyser>Distributions menu dans JMP. Sélectionner Hauteur , et ajoutez-le à Y_colonnes . Sélectionnez OK et recherchez le triangle rouge à côté de votre variable dans la fenêtre qui apparaît. Sélectionner Intervalle de confiance dans le menu et choisissez le niveau de confiance souhaité. Boom! Vous avez un niveau de confiance ! L'intervalle de confiance de 95 % s'affichera par défaut, mais vous pouvez utiliser le menu pour sélectionner d'autres niveaux d'intervalle de confiance.
Vous pouvez également créer des intervalles de confiance pour vos estimations de paramètres (comme les moyennes et les pentes de régression) à partir du Modèle adapté plate-forme. Créez votre modèle à l'aide de la plateforme Fit Model – comme ce modèle de régression des tailles et poids des super-héros – et faites défiler jusqu'à Estimations des paramètres . Faites un clic droit sur le tableau et sélectionnez Inférieur à 95 % et Supérieur 95 % . Votre tableau d’estimations de paramètres inclut désormais des intervalles de confiance !
Si vous souhaitez être encore plus efficace, vous pouvez également maintenir la touche Option + Clic droit enfoncée pour révélez le panneau de paramètres du tableau et cochez les deux cases à la fois.
Maintenant que vous en savez un peu plus sur les intervalles de confiance, j'espère que vous pourrez être plus confiant (oh, allez, vous savez que je devais le faire…) dans leur interprétation. Bonne analyse !
